Общие математические и естественнонаучные дисциплины 1 часть

Федеральный компонент

МАТЕМАТИКА

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.

Основные цели дисциплины – развитие у студентов навыков математического мышления; навыков использования математических методов и основ математического моделирования; математической культуры.

Задачи дисциплины:

– научить студентов использовать в своей практической деятельности математические и экономико-математические методы и модели;

– привить студентам навыки самостоятельного математического анализа сложных социально-экономических процессов.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Математика» студент должен:

· знать:

– о математическом моделировании;

– о роли математики в гуманитарных исследованиях;

– основы математического анализа;

– основы алгебры, геометрии и дискретной математики;

– основы теории дифференциальных уравнений и численных методов;

– основы теории вероятностей и математической статистики.

· уметь:

– решать задачи, примеры и выполнять расчетно-графические работы с помощью теорем, персональных компьютеров, таблиц и справочников;

– самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе по специальности.

· получить навыки:

– в решении оптимизационных задач;

– в постановке и решении задач экономико-математического содержания.

ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Раздел 1: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Введение

Основные этапы развития математики и структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический подход.

Тема 1.Линейная алгебра

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

Практическое занятие 1:

Матрицы, операции над ними.

Практическое занятие 2:

Определители.

Практическое занятие 3:

Обратная матрица. Ранг матрицы.

Практическое занятие 4:

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Практическое занятие 5:

Контрольная работа №1.

Тема 2.Векторная алгебра

Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Разложение вектора по базису. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Понятие о линейном векторном пространстве. Базис и размерность.

Практическое занятие 1:

Операции над векторами.

Практическое занятие 2:

Операции над векторами.

Тема 3.Аналитическая геометрия

Декартова система координат, полярная система координат. Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном отношении, расстояние между двумя точками). Прямая на плоскости. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Кривые II-го порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Понятие об уравнении поверхности.

Практическое занятие 1:

Простейшие задачи на плоскости.

Практическое занятие 2:

Прямая на плоскости.

Практическое занятие 3:

Кривые второго порядка.

Практическое занятие 4:

Плоскость и прямая в пространстве. Выдача заданий для РГР (контр. раб. № 2).

Раздел 2: Дифференциальное исчисление

Тема 4.Введение в анализ

Основные понятия теории множеств. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции. Элементарные функции. Числовые последовательности. Предел функции, основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Бесконечно малые функции, их свойства. Непрерывность функции, точки разрыва.

Практическое занятие 1:

Вычисление пределов.

Практическое занятие 2:

Вычисление пределов.

Практическое занятие 3:

Непрерывность функции.

Тема 5.Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции и функций, заданных неявно. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Элементы функционального анализа.

Практическое занятие 1:

Производная сложной функции.

Практическое занятие 2:

Производная неявной и параметрически заданной функции.

Практическое занятие 3:

Производные высших порядков.

Практическое занятие 4:

Контрольная работа № 3.

Тема 6. Приложения производных

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование функций: монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба, вертикальные и наклонные асимптоты. Общая схема исследования функции. Численные методы: приближенное решение алгебраических уравнений методом хорд и касательных.

Практическое занятие 1:

Правило Лопиталя. Монотонность, экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Практическое занятие 2:

Полное исследование функции. Построение графика. Выдача заданий для РГР (контр. раб. № 4)

Практическое занятие 3:

Зачетное занятие. Компьютерное тестирование.

Раздел 3: Комплексные числа

Тема 7.Комплексные числа

Комплексные числа, изображение на плоскости. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера.

Практическое занятие 1:

Комплексные числа.

Практическое занятие 2:

Комплексные числа.

Раздел 4: Интегральное исчисление

Тема 8. Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл, свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование, по частям, интегрирование дробно-рациональных функций, интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

Практическое занятие 1:

Интегрирование функций (простейшие случаи). Замена переменной.

Практическое занятие 2:

Интегрирование по частям.

Практическое занятие 3:

Интегрирование рациональных дробей.

Практическое занятие 4:

Интегрирование тригонометрических функций.

Практическое занятие 5:

Интегрирование иррациональных функций.

Практическое занятие 6:

Контрольная работа № 5.

Тема 9.Определенный интеграл

Определенный интеграл, геометрический смысл, свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Численные методы вычисления определенных интегралов по формулам трапеций и Симпсона. Несобственные интегралы первого и второго рода. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин дуг плоских и пространственных линий, объемов и площадей поверхности тел вращения. Приложение определенного интеграла к решению физических задач.

Практическое занятие 1:

Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.

Практическое занятие 2:

Несобственные интегралы.

Практическое занятие 3:

Приложения определенного интеграла. Выдача заданий для РГР (контр. раб. № 6).

Раздел 5: Дифференциальные уравнения

Тема 10.Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1 порядка. Общее, частное и особое решения. Задача Коши, теорема о существовании и единственности решения. Приближенное решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Решение линейных дифференциальных уравнений 1 порядка методом вариации произвольной постоянной. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Общие свойства. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка. Теорема о структуре общего решения Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Системы линейных дифференциальных уравнений 1 порядка с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие 1:

Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Практическое занятие 2:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Практическое занятие 3:

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Практическое занятие 4:

Понижение порядка в дифференциальных уравнениях.

Практическое занятие 5:

Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Практическое занятие 6:

Контрольная работа № 7.

Практическое занятие 7:

Системы линейных дифференциальных уравнений 1 порядка.

Практическое занятие 8:

Зачетное занятие. Компьютерное тестирование.

Раздел 6: Функции нескольких переменных

Тема 11. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функции двух и трех переменных, основные определения. Предел и непрерывность. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал, инвариантность формы, применение в приближенных вычислениях. Частные производные высших порядков. Дифференцирование сложной и неявной функций. Элементы теории поля: производная по направлению вектора, градиент скалярного поля. Экстремум функции двух переменных, необходимое и достаточные условия. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Практическое занятие 1:

Частные производные функции нескольких переменных.

Практическое занятие 2:

Частные производные высших порядков.

Практическое занятие 3:

Производная по направлению вектора, градиент.

Практическое занятие 4:

Экстремум функции двух переменных.

Практическое занятие 5:

Контрольная работа № 8.

Тема 12. Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Задачи, приводящие к понятиям кратных и криволинейных интегралов. Двойной интеграл как предел интегральных сумм, свойства, вычисление повторным интегрированием. Тройной интеграл. Приложения двойных и тройных интегралов к вычислению объемов и площадей. Криволинейные интегралы I-го и II-го рода и их вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина.

Практическое занятие 1:

Двойной интеграл.

Практическое занятие 2:

Тройной интеграл.

Практическое занятие 3:

Приложения кратных интегралов.

Практическое занятие 4:

Криволинейные интегралы первого и второго рода.

Тема 13.Векторный анализ и элементы теории поля

Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность. Вычисление потока. Дивергенция векторного поля, ее вычисление. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Поверхностный интеграл. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса.

Практическое занятие:

Элементы теории поля.

Раздел 7: Уравнение математической физики

Тема 14. Уравнения математической физики

Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

Практическое занятие:

Уравнение колебаний струны. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Выдача заданий для РГР. (контр. раб. № 9).

Раздел 8: Ряды

Тема 15.Числовые ряды

Числовой ряд. Сумма ряда, свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный и интегральный). Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда.

Практическое занятие 1:

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Практическое занятие 2:

Условная и абсолютная сходимость.

Практическое занятие 3:

Степенные ряды. Область сходимости.

Практическое занятие 4:

Контрольная работа № 10.

Тема 16.Функциональные ряды

Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Биномиальный ряд. Численные методы: вычисление определенных интегралов с помощью рядов; интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Гармонический анализ:тригонометрические ряды Фурье для функций с периодом 2П. Разложение в ряд Фурье непериодических функций. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2П. Тригонометрические ряды Фурье для функций любого периода.

Практическое занятие 1:

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Практическое занятие 2:

Ряды Фурье.

Практическое занятие 3:

Зачетное занятие. Компьютерное тестирование.

Раздел 9:Функции комплексного переменного

Тема 17. Функции комплексного переменного

Элементарные аналитические функции. Дифференцируемость, условия Коши-Римана. Конформные отображения. Интегрирование по комплексному аргументу. Ряд Лорана. Основная теорема теории вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Практическое занятие 1:

Дифференцирование и интегрирование функций комплексной переменной.

Практическое занятие 2:

Вычисление вычетов и контурных интегралов.

Раздел 10: Элементы операционного исчисления

Тема 18.Элементы операционного исчисления

Оригиналы и изображения. Изображения некоторых функций. Некоторые теоремы операционного исчисления. Дифференцирование и интегрирование оригиналов. Таблица оригиналов и изображений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

Практическое занятие 1:

Оригиналы и изображения.

Практическое занятие 2:

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.

Практическое занятие 3:

Контрольная работа № 11.

Раздел 11: Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 19.Теория вероятностей

Комбинаторика. Случайные события, основные понятия. Алгебра событий. Статистическое, классическое, геометрическое определения вероятности. Формула полной вероятности и формулы Бейеса. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Основные комбинаторные функции. Формулы бинома и полиномы. Подставка. Размещения. Сочетание. Случайные величины. Ряд распределения. Плотность распределения, функция распределения. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Нормальное распределение, нормальная кривая. Основные законы распределения. Закон больших чисел. Предельные теоремы. Приложение теории вероятностей к обработке результатов измерений (вероятность попадания в заданный интервал). Случайные процессы. Простейший поток событий. Цепи Маркова.

Практическое занятие 1:

Элементы комбинаторики. Вероятность события.

Практическое занятие 2:

Алгебра событий.

Практическое занятие 3:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса. Повторение испытаний.

Практическое занятие 4:

Закон распределения дискретных величин. Числовые характеристики.

Практическое занятие 5:

Закон распределения непрерывных случайных величин. Числовые характеристики.

Практическое занятие 6:

Интегральная и дифференциальная функции распределения.

Практическое занятие 7:

Контрольная работа № 12.

Тема 20.Элементы математической статистики

Основные задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Статистические оценки параметров распределения. Статистические методы обработки экспериментальных данных.Точность оценки, доверительный интервал и доверительная вероятность. Критерий согласия.Статистическая проверка гипотез.

Практическое занятие 1:

Полигон, гистограмма. Статистические оценки параметров распределения.

Практическое занятие 2:

Точность оценки, доверительный интервал. Проверка статистических гипотез.

Практическое занятие 3:

Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии.

Раздел 12: Элементы дискретной математики

Тема 21.Элементы дискретной математики

Основные понятия математической логики.Бинарные отношения. Логические операции, их свойства. Алгебра высказываний и предикатов. Графы и сети. Преобразование графов. Транспортные сети. Матричное представление графов. Упрощение направленных графов. Оптимизационные задачи на графах. Задача о кратчайшем пути в графе.

Практическое занятие 1:

Логические операции.

Практическое занятие 2:

Преобразование графов. Задача о кратчайшем пути в графе. Выдача заданий для РГР (контр. раб. № 13).

Практическое занятие 3:

Зачетное занятие. Компьютерное тестирование.

Раздел 13: Специальные разделы математики

Тема 22. Математическая логика

Алгебра высказываний. Калькуляция высказываний. Калькуляция предикатов. Конъюнкция. Дидъюнкция. Эквивалентность и импликация.

Практическое занятие:

Алгебра высказываний. Калькуляция высказываний. Калькуляция предикатов. Конъюнкция. Дидъюнкция. Эквивалентность и импликация.

Тема 23. Элементы теории игр

Понятие об игровых моделях. Планетная матрица. Решение игр в смешанных стадиях. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Практическое занятие 1:

Понятие об игровых моделях. Планетная матрица.

Практическое занятие 2:

Решение игр в смешанных стадиях. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Тема 24. Математическое, линейное и динамическое программирование

Геометрический метод решения. Симплексный метод. Двойственные задачи. Транспортная задача. Применение математического программирования в сервисе. Теория массового обслуживания.

Практическое занятие 1:

Геометрический метод решения. Симплексный метод. Двойственные задачи.

Практическое занятие 2:

Транспортная задача. Применение математического программирования в сервисе. Теория массового обслуживания.

Тема 25. Элементы числовых методов

Приближенные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Погрешности, вычислительные методы. Реализация численной модели в сервисе.

Практическое занятие 1:

Погрешности, вычислительные методы.

Практическое занятие 2:

Реализация численной модели в сервисе.

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА

Самостоятельная работа студентов по дисциплине включает:

– самостоятельное изучение теоретических разделов дисциплины по заданию лектора;

– повторение и углубленное изучение лекционного материала;

– решение практических задач и подготовку к практическим занятиям;

– выполнение расчетно-графических работ;

– выполнение контрольных работ;

– подготовку к зачету и экзамену.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

(для студентов заочного обучения)

1 семестр

1. Линейная алгебра.

2. Аналитическая геометрия.

3. Дифференциальные исчисления.

2 семестр

4. Интегральное исчисление.

5. Дифференциальные уравнения.

6. Комплексные числа.

3 семестр

7. Функции нескольких переменных.

8. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

9. Элементы теория поля.

10. Ряды.

4 семестр

11. Функции комплексного переменного.

12. Операционное исчисление.

13. Теория вероятностей.

14. Элементы математической статистики.

ФОРМЫ И ВИДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

1. Текущий контроль:

- опрос на практических занятиях;

- проверка выполнения контрольных заданий и задач;

- защита контрольных работ;

- рубежный контроль.

2. Промежуточная аттестация – зачетно-экзаменационная сессия:

- зачет – по результатам проведения всех форм текущего контроля в соответствии с учебным планом;

- экзамен проводится в устной или письменной форме при условии выполнения всех форм текущего контроля и в соответствии с учебным планом.

3. Контроль остаточных знаний студентов (тесты).

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Линейная алгебра

1. Матрицы, операции над ними.

2. Определители и их свойства.

3. Ранг матрицы.

4. Обратная матрица.

5. Теорема Кронекера-Капелли.