Узагальнюючі характеристики потоків платежів

1. Нарощена сума.

2. Сучасна величина.

Названі показники являють собою узагальнення потоку платежів за повний строк з урахуванням моменту часу, коли вони виплачуються, у вигляді одного числа.

Нарощена сума — це сума всіх членів ренти з нарахованими на них відсотками на кінець її строку. Необхідність визначення цього показника виникає при визначенні накопиченої заборгованості.

Сучасна величина ренти — це сума всіх членів ренти, дисконтованих на деякий момент часу, який збігається з початком рента або попереджує його.

6.2. Нарощена сума звичайної ренти

Річна рента.

Введемо позначення: S — нарощена сума ренти; R — розмір членів ренти; і — ставка відсотків; п — строк ренти (число років).

(44)

де S_n; S_i = — коефіцієнт нарощення ренти.

S_n;i = Rs_n;i

Приклад. Створюється фонд, внески роблять протягом 10 років наприкінці кожного року по 40 тис. грн. На зібрані кошти нараховуються відсотки за ставкою 10% річних. Необхідно визначити розмір фонду до кінця строку.

Розв'язання:

= 40000 = 40000 -15,937 = 637497 грн.

Річна рента, нарахування відсотків т разів на рік.

Розглянемо випадок, коли відсотки нараховуються т разів на рік. Відсотки нараховуються за ставкою j/т.

(45)

Приклад. Знайти нарощену суму ренти за умови, що відсотки нараховуються щоквартально. Внески робляться протягом 10 років наприкінці кожного року по 40 тис. грн. На зібрані кошти нараховуються відсотки за ставкою 12% річних.

=40000 =40000*18,023=720918 грн.

Рента p-термінова (m = 1). Визначимо нарощену суму за умови, що рента виплачується р разів на рік рівними платежами, а відсоток нараховується один раз у кінці року. Якщо річна сума платежу R, то кожний раз виплачується R/р.

(46)

Ренти р-термінові (р = т). Число членів ренти на рік дорівнює числу нарахувань відсотків протягом року р = т.

(47)

Рента p-термінова (р т). Загальний випадок p-термінової ренти з нарахуванням відсотків т разів на рік:

(48)

Розв'язання.

= = 23098 грн.

6.3. Сучасна величина звичайної ренти

Річна рента.

Під сучасною величиною ренти розуміють суму всіх дисконтованих членів ренти на попередній момент. Сучасну величину також називають капіталізованою або приведеною величиною ренти. Сучасна величина еквівалентна у фінансовому значенні всім платежам, які охоплюються рентою. Цей показник знаходить широке застосування в розрахунках при погашенні довгострокових позичок, оцінці та порівнянні різного роду зобов'язань і надходжень, ефективності інвестицій, розрахунків по страхуванню. Сучасна величина ренти використовується при розробці компенсаційних або інших видів довгострокових угод, що передбачають взаємні зобов'язання сторін.

Формула розрахунку сучасної величини річної звичайної ренти має вигляд

(49)

де a_n;j — коефіцієнт приведення ренти. Цей коефіцієнт показує, у скільки разів сучасна величина більша за її член.

Приклад. Рента виплачується в кінці року, член ренти R = 500 грн. ставка 6% річних. Знайти сучасну величину ренти при умові, що рент виплачується 10 років.

=3680,04 грн.

Річна рента з нарахуванням відсотків m разів на рік.

(50)

Сучасна величина р-термінової ренти (т = 1).

Якщо платежі здійснюються не один, а р разів на рік, а відсотки нараховуються один раз на рік, то коефіцієнт приведення мас вигляд:

(51)

а сучасна величина ренти розраховується за формулою

Приклад. Власник хімічного підприємства в Бхопалі запропонував компенсацію індійській стороні 200 млн. дол., які будуть виплачуватися протягом 35 років. Уряд Індії відмовився від цієї пропозиції. Якщо платежі повинні робитися рівномірно протягом 35 років, то це постійна рента, річна сума платежів дорівнює 200/35 = 5,714 тис. дол. Нехай платежі робляться в кінці кожного місяця. Тоді, якщо прийняти відсоткову ставку 10%, сучасна величина ренти, яка характеризує реальну вартість запропонованої компенсації, становитиме відповідно

А = 5,714 =57,59 млн. дол.

Загальний випадок визначення сучасної величини відсотки нараховуються m разів на рік, а р т.

(52)

Приклад. Необхідно визначити суму, яка потрібна для того, щоб можна було виплачувати кредиторові щомісячно 50 грн. протягом 8 років, якщо на ваш рахунок у банку відсотки нараховуються кожні півроку за річною ставкою 5%.

Розв'язання.

= =3957,4 грн.

6.4. Визначення параметрів фінансової ренти

Послідовність платежів у вигляді постійної звичайної ренти характеризується такими параметрами, як R, п, і. Для загального виду ренти необхідні ще параметри Р і т. Перераховані дані достатні для розрахунку основних узагальнюючих показників — майбутньої суми ренти та сучасної її величини. Однак при розробці контрактів або в деяких задачах фінансового аналізу виникають випадки, коли заданими є одна з двох узагальнених характеристик і неповний набір параметрів ренти. У таких випадках треба знайти недостатні параметри.

Визначення члена ренти.

Якщо сума боргу визначена на якийсь момент у майбутньому і передбачається, що борг буде сплачено шляхом створення спеціального фонду на основі послідовних внесків протягом п років при нарахуванні на них відсотків. Отже, член ренти необхідно визначити на основі формул, які характеризують нарощену суму S.

(53)

Якщо поточний борг сплачується послідовними платежами, сума боргу дорівнює сучасній величині ренти.

(54)

Приклад. Необхідно визначній розмір внесків (R) у кінці року для двох ситуацій, в кожній з яких передбачається нарахування на внески річних відсотків за ставкою 8%:

а) створити до кінця п'ятиріччя фонд, що досягає 1 млн. грн.;

б) сплатити поточну заборгованість, яка дорівнює 1 млн. грн.

Розв'язання.

= = 170456,2 грн.

б) для визначення щорічної суми погашення поточного боргу в 1 млн. грн. прирівняємо його до сучасної величини ренти, члени якої сплачують борг.

= = 250456

Визначення строку ренти.

Необхідність у визначенні строку ренти (і числа платежів) виникає при розробці умов контракту. Дана величина може бути визначена за всіма іншими параметрами ренти і нарощеної суми або сучасної її величини.

Якщо рента річна й відсотки капіталізуються за річною ставкою і, то

; (55)

Приклад. Сума інвестицій, яка здійснюється за рахунок залучених коштів, дорівнює 10 млн. гри. Передбачається, що віддача від них становитиме 1 млн. грн. щорічно (отримуваних наприкінці року).

За який строк окупляться інвестиції, якщо на борг нараховуються відсотки за ставкою 6% річних?

Розв'язання. Припустімо, що окупність має місце у випадку, коли сучасна вартість надходжень (А) дорівнює сумі інвестицій. Визначимо необхідний строк окупності.

= 15,7 року.

Задачі до розділу “Фінансова математика”

1. Банк видав позику розміром 100 000 грн 30.01 до 05.10 включно під 5% річних. Рік високосний. Знайти з точністю до тис. грн розмір погашувального платежу, обчислюючи точну кількість днів позики.

2. Надана позика 25 000 грн. В перше півріччя простий відсоток складає 30%. В другому півріччі - 35%. Термін позики - рік. Знайти розмір боргу на кінець угоди.

3. Позика надана на 100 днів під 45% річних простих. В кінці терміну боржник сплатить 15 000 грн. Рік високосний. Який кредит отримав боржник?

4. В умовах задачі 3 знайти суму дисконту.

5. Кредит 25 000 грн. видано на рік під облікову ставку 19%. Знайти суму отриманих грошей.

6. В умовах задачі 5 знайти дисконт.

7. Вексель номіналом 100 000 грн. облікований у банку за 100 днів до терміну погашення по обліковій ставці 20%. Знайти суму, отриману векселетримачем.

8. В умовах задачі 7 знайти дисконт, отриманий банком.

9. Вексель, виданий на 15 000грн. з сплатою 17.11. Власник векселя облікував його у банку 23.09. по обліковій ставці 15%. Знайти отриману суму.

10. 10 000 грн. видається на 96 днів під просту облікову ставку 20%. Знайти суму, що треба сплатити боржнику.

11. Борг 10 000 грн. зріс до 12 000 грн. На суму боргу зарахувались прості відсотки - 40 %. Рік невисокосний. Знайти тривалість позики у днях.

12. Початкова сума боргу 10 000 грн. За 90 днів передбачається погашення у розмірі 11 000 грн. Визначити доходність операції для кредитора у вигляді простої відсоткової ставки.

13. За даними задачі 12 визначити доходність операції у вигляді простої облікової ставки.

14. Відсоткова складна ставка рівна 35%. Термін позики 4 роки. Початкова сума 1 000 грн. Знайти нарощену суму.

15. В умовах задачі 14 термін угоди 3 роки 100 днів. Знайти нарощену суму. Мішаний метод нарахувань. Рік невисокосний.

16. За який термін окупляться інвестиції 10 000 грн, якщо планується щорічна віддача по 3 500 грн, а діюча ринкова ставка по кредитах - 30%?

17. Інвестор пропонує підприємцю інвестиції 100 000 грн під 35% річних при терміні окупності 5 років. Яким повинен бути сталий щорічний доход, щоб виконати вимоги інвестора?

18. Дається позика 120 000 грн на 5 років під 20% річних. Погашення рівними терміновими сплатами в кінці року. Скласти план погашення.

19. Страхування передбачає щомісячну виплату 100 грн. Протягом 2 років. Для подібних операцій банком передбачається відсоткова ставка 8% річних, відсотки нараховуються 2 рази на рік. Визначити нарощену суму ренти до кінця строку страхування.

20. Передбачається за 5 років заощадити в банку 45 000 000 грн. для певної мети. Для цього необхідно укласти договір з банком на щомісячне перерахування визначеної суми заощаджень. Ставки відсотків для подібних операцій складають 8% річних. Нарахування відсотків - поквартальне. Визначити суму поквартального внеску.

21. Контракт передбачає протягом 2-х років однакові щоквартальні закупки товарів в кредит. Вартість товарів одноразової поставки (400 грн.) зараховується на спеціальний позичковий рахунок в кінці кварталу. Ставки відсотків - 6% річних. Визначити суму заборгованості в кінці строку поставки.

22. Визначити сучасну величину ренти, якщо сума виплати в рік складає 600 грн. Виплати проводяться поквартально протягом 8 років. Номінальна ставка - 5%, нарахування відсотків - за півріччя.

23. Для спорудження будинку через 5 років потрібно буде 1 млн. грн. Яку суму необхідно щорічно перераховувати на рахунок до банку, щоб накопичити до вказаного строку всю суму, якщо ставки в банку - 8% річних.

24. В кінці кожного кварталу на рахунок до банку перераховується сума грошей. Річна сума внеску 100 грн. і нараховується 6% річних. Знайти нарощену суму ренти через 10 років, за умови, що відсотки на кошти на рахунку нараховуються поквартально.

25. Знайти суму, потрібну для виплати кредиторові щомісячно 50 грн. протягом 8 років, якщо на ваш рахунок у банку відсотки нараховуються кожні півроку за ставкою 5%.

26. Визначити величину щомісячних внесків на спеціальний рахунок в банку для погашення поточної заборгованості в розмірі 100 000 грн. Її необхідно погасити протягом 2-х років. Ставка відсотків 12%. Відсотки нараховуються щомісячно.

27. Строк ренти 2 роки Річна сума ренти становить 100 грн. Нарахування відсотків щомісячне за ставкою 12% річних. Знайти сучасну величину ренти.