Соотношения неопределенности Гейзенберга

Мы видели, что в квантовой механике каждой фи­зической величине соответствует оператор, который дей­ствует на функции. Особенно важную роль играют соб­ственные функции и собственные значения интересую­щего нас оператора. Собственные значения соответст­вуют допустимым численным значениям величины. Рас­смотрим теперь более подробно квантовомеханические операторы, связанные с координатами q и импульса­ми р (как показано в гл. 2, эти величины — канониче­ские переменные).

В классической механике координаты и импульсы независимы в том смысле, что мы можем приписывать координате любое численное значение совершенно неза­висимо от того, какое значение приписано нами им­пульсу. Но существование постоянной Планка h приво­дит к уменьшению числа независимых переменных. Об этом можно было бы догадаться, исходя из соотноше­ния Эйнштейна—де Бройля l=h/p, связывающего дли­ну волны с импульсом: постоянная Планка есть отно-

шение длины волны частицы (тесно связанной с поня­тием координаты) к ее импульсу. Следовательно, коор­динаты и импульс квантовомеханической частицы уже более не являются независимыми переменными, как в классической механике. Операторы, соответствующие координатам и импульсам, как объясняется во всех учебниках квантовой механики, могут быть представле­ны либо только в координатах, либо только в импуль­сах.

Важно подчеркнуть, что во всех этих случаях в представление оператора входят только однотипные ве­личины (либо только координаты, либо только импуль­сы), но не координаты и импульсы одновременно. В этом смысле можно утверждать, что в квантовой ме­ханике число независимых переменных вдвое меньше, чем в классической.

Из соотношения между операторами в квантовой механике вытекает одно фундаментальное свойство: два оператора — q_оп и р_оп — не коммутируют, т. е., действуя на одну и ту же функцию операторами q_опр_оп и р_опq_оп, мы получим различные функции. Некоммутационность операторов координат и импульсов приводит к весьма важным следствиям, так как только коммути­рующие операторы допускают общие собственные функции. Таким образом, невозможно указать функ­цию, которая была бы одновременно собственной функ­цией координаты и импульса. Из определения коорди­наты и импульса в квантовой механике следует, что не существует состояний, в которых эти две физические величины (т. е. координата q и импульс р) имели бы вполне определенное значение. Эту ситуацию, неизвест­ную в классической механике, выражают знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерять координату и импульс, но неопределенности в их значениях DQ и Dр связаны между собой неравен­ством Гейзенберга DQDр³h. Если неопределенность Dq в положении частицы сделать сколь угодной малой, то неопределенность Dр в ее импульсе обратится в бесконечность, и наоборот.

О соотношениях неопределенности Гейзенберга на­писано много, и мы сознательно переупрощаем их из­ложение. Нам хотелось лишь, чтобы читатель мог со­ставить хотя бы общее представление о новых пробле­мах, возникших в связи с использованием операторов.

Соотношение неопределенности Гейзенберга с необходи­мостью приводит к пересмотру понятия причинности. Мы можем определить координату с абсолютной точ­ностью, но в тот момент, когда это происходит, импульс принимает совершенно произвольное значение, положи­тельное или отрицательное. Это означает, что объект, положение которого нам удалось измерить абсолютно точно, тотчас же перемещается сколь угодно далеко. Локализация утрачивает смысл: понятия, составляющие самую основу классической механики, при переходе к квантовой механике претерпевают глубокие изменения.

Столь необычные следствия из квантовой механики были неприемлемы для многих физиков, в том числе и для Эйнштейна. Для доказательства их абсурдности было предложено и поставлено немало экспериментов. Предпринимались также попытки минимизировать кон­цептуальные изменения, вызванные квантовой механи­кой. В частности, высказывалась мысль о том, что ос­нования квантовой механики каким-то образом связаны с возмущениями, вносимыми в процессе наблюдения. Предполагалось, что система обладает внутренне впол­не определенными механическими параметрами — коор­динатами и импульсами, но в процессе измерения не­которые из этих параметров становятся неопределенны­ми, и неравенство Гейзенберга выражает лишь связь между возмущениями, вносимыми в систему при изме­рении. Тем самым классический реализм в основе сво­ей сохранялся бы в неприкосновенности, и мы лишь до­бавляли к нему позитивистское определение. Такая ин­терпретация слишком узка. Не квантовый процесс из­мерения вносит возмущения в значения координат и импульсов. Отнюдь нет! Постоянная Планка вынужда­ет нас к пересмотру традиционных представлений о ко­ординатах и импульсах. Такой вывод подтверждается недавними экспериментами, поставленными для про­верки гипотезы о скрытых переменных, выдвинутой для восстановления позиций классического детерминиз­ма⁸. Результаты экспериментов подтвердили правиль­ность поразительных следствий из квантовой механики.

Из того, что квантовая механика вынуждает нас говорить менее определенно о локализации объекта, следует, как часто подчеркивал Нильс Бор, необходи­мость отказа от классической физики. Для Бора по­стоянная Планка определяет взаимодействие между

квантовой системой и измерительным устройством как единым целым, включая взаимодействие в процессе из­мерения, в результате которого мы получаем возмож­ность приписывать измеряемым величинам численные значения. Все измерения, по Бору, подразумевают вы­бор измерительного устройства, выбор вопроса, на ко­торый требуется дать ответ. В этом смысле ответ, т. е. результат измерения, не открывает перед нами доступ к данной реальности. Нам приходится решать, какое измерение мы собираемся произвести над системой и какой вопрос наши эксперименты зададут ей. Следо­вательно, существует неустранимая множественность представлений системы, каждое из которых связано с определенным набором операторов.

В свою очередь это влечет за собой отход квантовой механики от классического понятия объективности, по­скольку с классической точки зрения существует един­ственное объективное описание. Оно является полным описанием системы «такой, как она есть», не завися­щим от выбора способа наблюдения.

Бор всегда подчеркивал новизну, нетрадиционность позитивного выбора, производимого при квантовомеханическим измерении. Физику необходимо выбрать свой язык, свой макроскопический измерительный прибор. Эту идею Бор сформулировал в виде так называемого принципа дополнительности⁹, который можно рассмат­ривать как обобщение соотношений неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерить либо координаты, либо импульсы, но не координаты и импульсы одновре­менно. Физическое содержание системы не исчерпыва­ется каким-либо одним теоретическим языком, посред­ством которого можно было бы выразить переменные, способные принимать вполне определенные значения. Различные языки и точки зрения на систему могут ока­заться дополнительными. Все они связаны с одной и той же реальностью, но не сводятся к одному-единственному описанию. Неустранимая множественность то­чек зрения на одну и ту же реальность означает не­возможность существования божественной точки зре­ния, с которой открывается «вид» на всю реальность. Однако принцип дополнительности учит нас не только отказу от несбыточных надежд. Бор неоднократно го­ворил, что от размышлений над смыслом квантовой механики голова у него идет кругом, и с ним нельзя

не согласиться: у каждого из нас голова пойдет кру­гом, стоит лишь оторваться от привычной рутины здра­вого смысла.

Реальный урок, который мы можем извлечь из прин­ципа дополнительности (урок, важный и для других областей знания), состоит в констатации богатства и разнообразия реальности, превосходящей изобрази­тельные возможности любого отдельно взятого языка, любой отдельно взятой логической структуры. Каждый язык способен выразить лишь какую-то часть реально­сти. Например, ни одно направление в исполнитель­ском искусстве и музыкальной композиции от Баха до Шёнберга не исчерпывает всей музыки.

Мы стремились всячески подчеркнуть важность вве­дения операторов, ибо они позволили нам достаточно убедительно показать: реальность, изучаемая физикой, есть не что иное, как конструкция нашего разума, а не только данность. Необходимо проводить различие между абстрактным понятием координаты или импуль­са, представляемых математически операторами, и их численной реализацией, достигаемой посредством экс­перимента. Одна из причин противопоставления «двух культур», по-видимому, кроется в убеждении, что ли­тература соответствует некоторой концептуализации реальности, чему-то вымышленному, в то время как наука выражает объективную реальность. Квантовая механика учит нас, что ситуация не столь проста. Су­щественный элемент концептуализации подразумевает­ся на всех уровнях реальности.