Динамика и термодинамика — два различных мира

Мы уже упоминали о том, что траектории несовме­стимы с понятием необратимости. Но поведение траек­торий — отнюдь не единственный язык, на котором мы

можем сформулировать динамику. В качестве альтерна­тивы сошлемся на теорию ансамблей, развитую Гиббсом и Эйнштейном^7,18 и представляющую особый ин­терес при изучении систем, состоящих из большого чис­ла молекул. Существенно новым элементом в теории ансамблей Гиббса—Эйнштейна явилась возможность сформулировать динамическую теорию независимо от точного задания каких бы то ни было начальных усло­вий.

В теории ансамблей физические системы рассматри­ваются в фазовом пространстве. Динамическое состоя­ние точечной частицы (материальной точки) определя­ется ее положением (вектором с тремя компонентами) и импульсом (тоже вектором с тремя компонентами). Такое состояние можно представить двумя точками (каждая из которых принадлежит «своему» трехмер­ному пространству) или одной точкой в шестимерном пространстве координат и импульсов. Это и есть фазо­вое пространство. Геометрическое представление дина­мических состояний одной точечной частицы обобщает­ся на случай произвольной системы п частиц. Для того чтобы задать состояние такой системы, необходимо ука­зать nr6 чисел, или точку в 6n-мерном фазовом про­странстве. Эволюции во времени системы п частиц бу­дет соответствовать траектория в фазовом простран­стве.

Мы уже говорили о том, что точные начальные ус­ловия макроскопической системы никогда не известны. Однако ничто не мешает нам представить систему ан­самблем точек, т. е. «облаком» точек, соответствующих различным динамическим состояниям, совместимым с той информацией о системе, которой мы располагаем. Каждая область фазового пространства может содер­жать бесконечно много представляющих точек. Их плотность служит мерой вероятности найти рассматри­ваемую систему в данной области. Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много дискретных точек, удобнее ввести непрерывное распределение представля­ющих точек в фазовом пространстве. Пусть r(q₁, ..., q_3n, p₁, ..., p_3n) —плотность распределения представляющих точек в фазовом пространстве, где q₁, ..., q_3n — коорди­наты п точек, a p₁, ..., p_3n — импульсы тех же точек (каждая точка имеет три координаты и три импульса). Плотность r есть плотность вероятности найти динами-

ческую систему в окрестности точки q₁, ..., q_3n, p₁, ..., p_3n фазового пространства.

При таком подходе плотность r может показаться идеализацией, искусственной конструкцией, а траекто­рия точки в фазовом пространстве «непосредственно» соответствующей описанию «естественного» поведения системы. Но в действительности идеализацией являет­ся точка, а не плотность. Дело в том, что начальное состояние никогда не бывает известно с бесконечной степенью точности, позволяющей стянуть область в фа­зовом пространстве в отдельную точку. Мы можем лишь определить ансамбль траекторий, выходящих из ан­самбля представляющих точек, соответствующих тому, что нам известно относительно начального состояния системы. Функция плотности r отражает уровень на­ших знаний о системе: чем точнее знания, тем меньше область в фазовом пространстве, на которой плотность отлична от нуля, т. е. та область, где может находить­ся система. Если бы плотность была равномерно рас­пределена по всему фазовому пространству, то утверж­дать что-либо относительно состояния системы было бы невозможно. Она могла бы находиться в любом из состояний, совместимых с ее динамической структурой.

При таком подходе точка соответствует максимуму знания, которым мы можем располагать о системе. Та­кой максимум есть результат предельного перехода, все возрастающей точности нашего знания. Как мы уви­дим в гл. 9, фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, какой предельный переход реально осуществим. Непрестанное повышение точности означа­ет, что от одной области в фазовом пространстве, где плотность r отлична от нуля, мы переходим к другой, меньшей, которая содержится в первой. Такое стягива­ние мы можем продолжать до тех пор, пока область, содержащая систему, не станет сколь угодно малой. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо соблюдать осторожность: «сколь угодно малая» не оз­начает «нулевая», и априори ниоткуда не следует, что наш предельный переход непременно приведет к непро­тиворечивому предсказанию отдельной однозначно оп­ределенной траектории.

Теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна — естест­венное продолжение теории Больцмана. Функцию плот­ности r в фазовом пространстве можно рассматривать

как аналог функции распределения скоростей f, кото­рую использовал Больцман. Но по своему физическо­му содержанию PPP «богаче», чем f. Функция плотности r так же, как и f, определяет распределение скоростей, но, помимо этого, r содержит и другую информацию, в частности вероятность найти две частицы на опреде­ленном расстоянии друг от друга. В функцию плотно­сти PPP входит и все необходимое для определения кор­реляций между частицами, о которых шла речь в пре­дыдущем разделе. Более того, r содержит полную ин­формацию о всех статистических свойствах системы п тел.

Опишем теперь эволюцию функции плотности в фа­зовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции рас­пределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, по­зволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называе­мое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюциони­рует в фазовом пространстве как несжимаемая жид­кость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объ­емом V, то объем области остается постоянным во вре­мени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.

Таким образом, теория ансамблей Гиббса открыва­ет возможность строгого сочетания статистического под­хода (исследования «популяции», описываемой плот­ностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамиче­ского равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответству­ет системам с одной и той же энергией Е. Плотность r отлична от нуля только на микроканонической поверх­ности в фазовом пространстве, отвечающей заданному значению энергии. Первоначально плотность r может быть распределена по микроканонической поверхности произвольно. В состоянии равновесия плотность r пе­рестает изменяться во времени и не должна зависеть от выбора начального состояния. Следовательно, при-

Рис. 28. Временнáя эволюция в фазовом пространстве «объема», содержащего представляющие точки системы: величина объема остается неизменной, а форма искажается. Положение в фазовом пространстве задается координатой q и импульсом р.

ближение к равновесному состоянию имеет простой смысл в терминах эволюции плотности r: функция рас­пределения r становится постоянной на всей микроканонической поверхности. Каждая точка такой поверх­ности с равной вероятностью может представлять си­стему. Это соответствует микроканоническому ансамб­лю.

Приближает ли теория ансамблей хоть сколько-ни­будь к решению проблемы необратимости? Теория Больцмана описывает термодинамическую энтропию с помощью функции распределения скоростей f. Для это­го Больцману пришлось ввести свою H-функцию. Как мы уже знаем, система эволюционирует во времени до тех пор, пока распределение скоростей не становится максвелловским, и на протяжении всей эволюции H функция монотонно убывает. Можно ли теперь в бо­лее общем плане принять за основу возрастания энтро­пии эволюцию распределения r в фазовом пространст­ве к микроканоническому ансамблю? Достаточно ли для этого вместо больцмановской функции H, выра­женной через f, взять гиббсовскую функциюH_G, зави­сящую точно таким же образом от r? К сожалению, ответы на оба вопроса отрицательны. Если мы рассмот­рим уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию плот­ности r в фазовом пространстве, и учтем сохранение объема «фазовой жидкости», о котором уже упомина-

лось, то вывод последует незамедлительно: функция H_G постоянна и поэтому не может быть аналогом энт­ропии. По отношению к теории Больцмана последнее обстоятельство кажется не столько продвижением впе­ред, сколько шагом назад!

Несмотря на этот негативный аспект, вывод Гиббса остается весьма важным. Мы уже неоднократно отме­чали расплывчатость и. неоднозначность понятий поряд­ка и хаоса. Постоянство функции H_G свидетельствует о том, что в рамках динамической теории не существу­ет никакого изменения порядка! «Информация», выра­жаемая функцией H_G, остается постоянной. Сохранение информации можно понимать следующим образом: столкновения порождают корреляции. В результате столкновений скорости рандомизируются, становятся случайными, что позволяет нам описывать весь про­цесс как переход от порядка к хаосу. Вместе с тем по­явление корреляции в результате столкновений свиде­тельствует об обратном процессе: о переходе от хаоса к порядку! Теория Гиббса показывает, что оба процес­са — прямой и обратный — в точности компенсируют друг друга.

Итак, мы приходим к важному выводу: независимо от выбора представления (будь то движение по траек­ториям или теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна) нам не удастся построить теорию необратимых процес­сов, которая выполнялась бы для любой системы, удов­летворяющей законам классической (или квантовой) механики. У нас нет даже способа говорить о переходе от порядка к хаосу! Как следует понимать эти отрица­тельные результаты? Любая ли теория необратимых процессов находится в неразрешимом конфликте с ме­ханикой (классической или квантовой)? Нередко высказывалось предложение включить космологические чле­ны, которые учитывали бы влияние расширяющейся Вселенной на уравнения движения и порождали бы стрелу времени. С подобной идеей трудно согласиться. С одной стороны, не вполне ясно, как вводить эти кос­мологические члены. С другой стороны, точные динами­ческие эксперименты, по-видимому, отвергают сущест­вование космологических членов, по крайней мере если говорить о земных масштабах, которые мы и рассмат­риваем в данном случае (достаточно вспомнить о пре­цизионных космических экспериментах, поставленных

с помощью искусственных спутников Земли и под­твердивших с высокой точностью уравнения Ньютона). Вместе с тем, как уже неоднократно подчеркивалось, мы живем в плюралистическом мире, в котором обра­тимые и необратимые процессы сосуществуют в одной и той же расширяющейся Вселенной.

Еще более радикальный вывод состоит в том, чтобы встать на точку зрения Эйнштейна и считать время как необратимость иллюзией, которая никогда не найдет се­бе места в объективном мире физики. К счастью, су­ществует другой выход, который мы подробно рас­смотрим в гл. 9. Необратимость, как мы неоднократно отмечали, не является универсальным свойством, а это означает, что не следует ожидать общего вывода необратимости из динамики.

Теория ансамблей Гиббса вводит лишь один допол­нительный, но очень важный элемент по сравнению с динамикой траекторий: наше незнание точных началь­ных условий. Маловероятно, чтобы одно лишь это не­знание приводило к необратимости.

Таким образом, не следует удивляться, что нас постигла неудача. Ведь мы так и не сформулировали те специфические особенности, которыми должна обладать динамическая система для того, чтобы приводить к не­обратимым процессам.

Почему так много ученых с готовностью приняли субъективную интерпретацию необратимости? Возмож­но, привлекательность субъективной интерпретации от­части объясняется тем, что, как мы знаем, необратимое возрастание энтропии сначала связывалось с несовер­шенством манипуляций, производимых над системой, и неполнотой нашего контроля над идеально обратимыми операциями.

Но субъективная интерпретация становится явно абсурдной, если мы оставляем в стороне малосущест­венные ассоциации с технологическими проблемами. Не следует забывать также о том историческом кон­тексте, в котором второе начало термодинамики об­рело интерпретацию стрелы времени. Если принять субъективную интерпретацию, то химическое сродство, теплопроводность, вязкость, т. е. все свойства, связан­ные с необратимым производством энтропии, окажутся зависимыми от наблюдателя. Кроме того, та роль, ко­торую играют в биологии явления организации, связан-

ные с необратимостью, не позволяет считать их просты­ми иллюзиями, обусловленными нашим незнанием. Раз­ве мы сами, живые существа, способные наблюдать и производить манипуляции, — не более чем фикции, вы­званные несовершенством наших органов чувств? Разве различие между жизнью и смертью — иллюзия?

Таким образом, последние достижения термодинами­ческой теории увеличили остроту конфликта между ди­намикой и термодинамикой. Попытки свести результа­ты термодинамики к аппроксимациям, обусловленным несовершенством нашего знания, оказались несостоя­тельными, когда была понята конструктивная роль энт­ропии и открыта возможность усиления флуктуаций. Наоборот, динамику трудно отвергнуть во имя необра­тимости: в движении идеального маятника нет никакой необратимости. Существование двух конфликтующих миров — мира траекторий и мира процессов — не вызы­вает сомнений. Мы не можем отрицать существование одного из них, утверждая существование другого.

В какой-то степени имеется определенная аналогия между этим конфликтом и тем, с которым связано за­рождение диалектического материализма. В гл. 5 и 6 мы описали природу, которую можно было бы назвать «исторической», т. е. способной к развитию и иннова­ции. Идея истории природы как неотъемлемой состав­ной части материализма принадлежит К. Марксу и бы­ла более подробно развита Ф. Энгельсом. Таким обра­зом, последние события в физике, в частности открытие конструктивной роли необратимости, поставили в есте­ственных науках вопрос, который давно задавали материалисты. Для них понимание природы означало пони­мание ее как способной порождать человека и челове­ческое общество.

Кроме того, в то время, когда Энгельс писал «Диа­лектику природы», физические науки отвергали меха­нистическое мировоззрение и склонялись ближе к идее исторического развития природы. Энгельс упоминает три фундаментальных открытия: энергии и законов, уп-равляющих ее качественными преобразованиями; клет­ки как основы всех органических существ и открытие Дарвином эволюции видов. Исходя из этих трех вели­ких открытий, Энгельс пришел к выводу, что механи­стическое мировоззрение мертво. Вместе с тем механи­цизм ставил перед диалектическим материализмом ряд

принципиальных и далеко не простых вопросов. Како­вы соотношения между общими законами диалектики и столь же универсальными законами механического движения? Становятся ли последние неприменимыми после того, как достигнута определенная стадия раз­вития, или же они просто неверны или неполны? Нель­зя еще раз не задать и наш предыдущий вопрос: как вообще могут быть связаны между собой мир процес­сов и мир траекторий¹⁹?

Но сколь ни легко критиковать субъективную ин­терпретацию необратимости и отмечать еe слабые сто­роны, выйти за ее рамки и сформулировать «объектив­ную» теорию необратимых процессов необычайно труд­но. В истории попыток создания этого предмета звучат и трагические ноты. Многие склонны считать, что имен­но отчетливое понимание принципиальных трудностей, стоящих на пути к созданию объективной теории необ­ратимых процессов и казавшихся непреодолимыми, привело Больцмана в 1906 г. к самоубийству.

Больцман и стрела времени

Как мы уже упоминали, Больцман сначала полагал, будто ему удалось доказать, что стрела времени опре­деляется эволюцией динамических систем от менее ве­роятных состояний к более вероятным или от состояний с меньшим числом комплексов к состояниям с боль­шим числом комплексов (число комплексов монотонно возрастает со временем). Обсуждали мы и возражения Пуанкаре и Цермело. Пуанкаре доказал, что всякая замкнутая динамическая система со временем возвра­щается в сколь угодно малую окрестность своего ис­ходного состояния. Иначе говоря, все состояния дина­мической системы так или иначе повторимы. Могла ли в таком случае стрела времени быть связана с возра­станием энтропии? После мучительных размышлений Больцман изменил свою позицию. Он оставил попытки доказать существование объективной стрелы времени и выдвинул новую идею, которая в известном смысле сво­дила закон возрастания энтропии к тавтологии. Больц­ман считал теперь, что стрела времени — не более чем соглашение, водимое нами (или, быть может, всеми живыми существами) в мир, в котором не существует объективного различия между прошлым и будущим.

Вот что писал, например, Больцман в ответ на крити­ку Цермело:

«Имеется выбор между двумя представлениями. Можно предположить, что вся Вселенная сейчас нахо­дится в некотором весьма невероятном состоянии. Но можно мыслить зоны — промежутки времени, по исте­чении которых снова наступают невероятные собы­тия, — такими же крошечными по сравнению с продол­жительностью существования Вселенной, как расстоя­ние от Земли до Сириуса ничтожно по сравнению с ее размерами.

Тогда во всей Вселенной (которая в противном слу­чае повсюду находилась бы в тепловом равновесии, т. е. была бы мертвой) имеются относительно неболь­шие участки порядка масштаба нашей звездной систе­мы (мы будем называть их отдельными мирами), ко­торые в течение относительно небольших по сравнению с эоном промежутков времени значительно отклоняют­ся от теплового равновесия, а именно: среди этих миров одинаково часто встречаются состояния, вероятности которых возрастают и уменьшаются. Таким образом, для Вселенной в целом два направления времени явля­ются неразличимыми, так как в пространстве нет верха и низа. Но точно так же, как мы в некотором опреде­ленном месте земной поверхности называем «низом» направление к центру Земли, так и живое существо, которое находится в определенной временной фазе од­ного из таких отдельных миров, назовет направление времени, ведущее к более невероятным состояниям, по-другому, чем противоположное (первое — как направ­ленное к «прошлому», к началу последнее — к «буду­щему», к концу), и вследствие этого названия будет об­наруживать «начало» для этих малых областей, выде­ленных из Вселенной, всегда в некотором невероятном состоянии.

Этот метод представляется мне единственным, с по­мощью которого можно осмыслить второе начало, теп­ловую смерть каждого отдельного мира без того, чтобы предполагать одностороннее изменение всей Вселенной от некоторого определенного начального состояния по направлению к некоторому итоговому конечному со­стоянию»²⁰.

Идея Больцмана наглядно изображена на диаграм­ме, предложенной Карлом Поппером (рис. 29). Стре-

Рис. 29. Схематическое изображение больцмановской космологической интерпретации стрелы времени по Попперу (см. текст).

ла времени столь же произвольна, как и вертикальное направление, определяемое гравитационным полем.

Комментируя Больцмана, Поппер заметил следую­щее:

«Идея Больцмана поражает своей смелостью и красотой. Вместе с тем она заведомо неприемлема, по крайней мере для реалиста. Она объявляет одностороннее изменение иллюзией. В таком случае трагическую гибель Хиросимы также следует считать иллюзией. Но тогда и весь наш мир становится иллюзией вместе со всеми нашими попытками узнать о нем нечто новое. Тем самым идея Больцмана (как и любой идеализм) обрекает себя на поражение. Идеалистическая гипоте­за Больцмана имеет характер ad hoc гипотезы и про­тиворечит его собственной реалистической и не без страстности отстаиваемой антиидеалистической фило­софии и неутолимой жажде знания»²¹.

Мы полностью согласны с комментариями Поппера и считаем, что настало время опять вернуться к задаче, которую некогда ставил перед собой Больцман. Двад­цатый век стал свидетелем великой концептуальной революции в физике, что не могло не породит новые на­дежды на объединение динамики и термодинамики. Ныне мы вступаем в новую эру в истории времени, эру, в которой бытие и становление могут быть объединены в непротиворечивую картину.