Глава 8. СТОЛКНОВЕНИЕ ТЕОРИЙ

Вероятность и необратимость

Мы увидим, что почти всюду фи­зик очистил свою науку от использо­вания одностороннего времени, как бы сознавая, что эта идея привносит антропоморфный элемент, чуждый идеалам физики. Тем не менее в не­скольких важных случаях односто­роннее время и односторонняя при­чинность возникали, словно по вол­шебству, но, как будет показано, всякий раз в поддержку какой-ни­будь ложной теории.

Г. Н. Льюис¹

Закон монотонного возрастания энтропии — второе начало термоди­намики — занимает, как мне кажется, высшее положение среди законов при­роды. Если кто-нибудь заметит вам, что ваша любимая теория Вселенной не согласуется с уравнениями Мак­свелла, то тем хуже для уравнений Максвелла. Если окажется, что ваша теория противоречит наблюдениям,— ну что же, и экспериментаторам слу­чается ошибаться. Но если окажется, что ваша теория противоречит вто­рому началу термодинамики, то у вас не останется ни малейшей надежды: ваша теория обречена на бесславный конец.

А. С. Эддингтон²

Предложенная Клаузиусом формулировка второго начала термодинамики сделала очевидным конфликт между термодинамикой и динамикой. Вряд ли найдется в физике другой такой вопрос, который бы обсуждался чаще и активнее, чем соотношение между термодина­микой и динамикой. Даже теперь, через сто пятьдесят лет после Клаузиуса, этот вопрос продолжает вызывать сильные эмоции. Никто не остается нейтральным в кон-

фликте, затрагивающем самый смысл реальности и времени. Следует ли нам отказаться от динамики, ма­тери современного естествознания, в пользу какого-нибудь варианта термодинамики? «Энергетисты», пользовавшиеся большим влиянием к конце XIX в., считали отказ oт динамики необходимым. Нельзя ли как-нибудь «спасти» динамику, сохранить второе нача­ло и вместе с тем не нарушить величественное здание, воздвигнутое Ньютоном и его последователями? Какую роль может играть энтропия в мире, описываемом ди­намикой?

Мы уже упоминали об ответе на этот вопрос, кото­рый был дан Больцманом. Знаменитое соотношение Больцмана S KlnP связывает энтропию и вероят­ность: энтропия возрастает потому, что возрастает ве­роятность. Сразу же подчеркнем, что в этом плане вто­рое начало имело бы огромное практическое значение, но не было бы столь фундаментальным. В своей пре­восходной книге «Этот правый, левый мир» Мартин Гарднер пишет: «Некоторые явления идут в одну сторо­ну не потому, что не могут идти в другую, а потому, что их протекание в обратом направлении весьма малове­роятно»^3. Усовершенствуя наши возможности измерять все менее и менее вероятные события, мы могли бы достичь такого положения, когда второе начало играло бы сколь угодно малую роль. Такой точки зрения при­держиваются некоторые современные физики. Но Макс Планк считал иначе:

«Нелепо было бы предполагать, что справедливость второго начала каким бы ни было образом зависит от большего или меньшего совершенства физиков и хими­ков в наблюдательном или экспериментальном искусст­ве. Содержанию второго начала нет дела до экспери­ментирования, оно гласит in nuce (в самом главном): «В природе существует величина, которая при всех из­менениях, происходящих в природе, изменяется в од­ном и том же направлении». Выраженная в таком об­щем виде, эта теорема или верна, или не верна; но она остается тем, что она есть, независимо от того, сущест­вуют ли на Земле мыслящие и измеряющие существа и если они существуют, то умеют ли они контролировать подробности физических или химических процессов на один, два или сто десятичных знаков точнее, чем в на­стоящее время. Пределы для этого начала, если только

они действительно существуют, необходимо должны на­ходиться в той же области, в которой находится и его содержание, — в наблюдаемой природе, а не в наблю­дающих людях. Обстоятельства нисколько не изме­няются от того, что для вывода начала мы пользуемся

Рис. 23. Модель урн Эренфестов. N шаров распределены между двумя урнами А и В. Через равные промежутки времени (которые можно принять за единицу) из урны, выбираемой наугад, извлекает­ся шар и кладется в другую урну. В момент времени п в урне А на­ходится kшаров, а в урне В остальные N—k шаров.

человеческим опытом; для нас это вообще единствен­ный путь для исследования законов природы»⁴.

Взгляды Планка не получили особого распростра­нения среди его современников. Как уже отмечалось, большинство физиков склонны были считать второе на­чало следствием приближенного описания, вторжения субъективных взглядов в точный мир физики. Эту точ­ку зрения отражает, например, знаменитое высказыва­ние Борна: «Необратимость есть результат вхождения элемента нашего незнания в основные законы физики»⁵.

В настоящей главе мы намереваемся осветить неко-

торые основные этапы в развитии интерпретации вто­рого начала. Прежде всего необходимо понять, почему эта проблема оказалась столь трудной. В гл. 9 мы из­ложим новый подход, из которого, как нам хотелось бы надеяться, читателю станут ясны и принципиальная новизна, и объективное значение второго начала. Вы­вод, к которому мы придем, совпадает с точкой зре­ния Планка. Мы покажем, что второе начало, отнюдь

Рис. 24. Приближение к равновесию (k=N/2) в модели урн Эренфестов (ход кривой изображен схематически).

не разрушая величественное здание динамики, допол­няет его существенно новым элементом.

Прежде всего необходимо пояснить установленную Больцманом связь между вероятностью и энтропией. Воспользуемся для этого моделью урн, предложенной П. и Т. Эренфестами⁶. Рассмотрим N предметов (на­пример, шаров), распределенных между двумя контей­нерами (урнами) А и В. Предположим, что через оди­наковые промежутки времени (например, через секун­ду) мы извлекаем наугад шар либо из урны А, либо из урны В и перекладываем его в другую урну. Пусть че­рез п шагов в урне А находится k шаров, а в урне В — остальные N—k шаров. Тогда на (n+1)-ом шаге в ур­не A может оказаться либо k—1, либо k+1 шаров и вероятность перехода равна k/N для k®k—1 и 1—k/N для k®k+1. Предположим, что мы продолжаем из­влекать шары наугад из урн и перекладывать их в дру­гую урну. Мы ожидаем, что в результате перекладыва­ния шаров установится наиболее вероятное их распре­деление по урнам в смысле Больцмана. Если число ша-

ров N достаточно велико, то шары с наибольшей ве­роятностью распределятся между урнами А и В поров­ну: в каждой урне по N/2 шаров. В этом нетрудно убе­диться, проделав соответствующие вычисления или вы­полнив экспериментальную проверку.

Модель Эренфестов — простой пример марковского процесса (или цепи Маркова), названного так в честь выдающегося русского математика академика А. А. Мар-

Рис. 25. Временная эволюция H-функции (определенной в тек­сте), соответствующая модели Эренфестов. H монотонно убывает и при t®¥ стремится к нулю.

кова, одним из первых исследовавшего такие процессы (Пуанкаре был вторым). Кратко отличительную осо­бенность марковских процессов можно сформулировать следующим образом: вероятности переходов однознач­но определены и не зависят от предыстории системы. Цепи Маркова обладают замечательным свойством: их можно описать с помощью энтропии. Пусть P(k) — вероятность найти k шаров в урне A. Вероятности Р(К) можно сопоставить H-функцию, свойства которой в точ­ности совпадают со свойствами энтропии, рассмотрен­ной нами в гл. 4. На рис. 25 показано, как H-функция изменяется во времени. Мы видим, что она изменяется монотонно, как и энтропия изолированной системы.

Правда, H-функция убывает, а энтропия S возрастает, но так происходит «по определению»: H играет роль — S.

Математический смысл H-функции заслуживает то­го, чтобы рассмотреть его более подробно: H-функция служит мерой отклонения вероятностей в данный мо­мент времени от вероятностей в равновесном состоянии (когда число шаров в каждой урне равно N/2). Рас­суждения, используемые в модели урн Эренфестов, до­пускают обобщение. Рассмотрим разбиение квадрата, т. е. разделим квадрат на некоторое число непересе­кающихся областей. Нас будет интересовать распреде­ление частиц по квадрату. Пусть Р(k, t) — вероятность найти частицу в области k (в момент времени t), а Р_равн(k) — вероятность найти частицу в области k в равновесных условиях. Предполагается, что, как и в модели урн, вероятности переходов существуют и одно­значно определены. По определению, H-функция зада­ется выражением

Заметим, что в правую часть входит отношение P(k,t)/P_равн(k). Предположим, что мы разделили квад­рат на восемь непересекающихся клеток и Р_равн(k)=1/8. Пусть в момент времени t все частицы находят­ся в первой клетке. Тогда P(1,t)=1, a во всех осталь­ных клетках вероятности P(k,t) равны нулю. Следова­тельно, H=ln(1/(1/8))=ln8. Со временем частицы распределяются по клеткам равномерно, и P(k,t)=Pравн(k)=1/8. H-функция при этом обращается в нуль. Можно показать, что H-функция убывает моно­тонно, как это изображено на рис. 25. (Доказательство этого утверждения приводится во всех учебниках по теории стохастических процессов.) Именно поэтому H-функция играет роль «негэнтропии» — S. Монотон­ное убывание H-функции имеет очень простой смысл: оно отражает и служит мерой прогрессирующего вы­равнивания неоднородностей в системе. Начальная ин­формация утрачивается, и система эволюционирует от «порядка» к «беспорядку».

Заметим, что марковский процесс включает в себя флуктуации. Это отчетливо видно на рис. 24. Подож­дав достаточно долго, мы могли бы вернуться в исход-

ное состояние. Следует, однако, подчеркнуть, что речь идет о средних: монотонно убывающая H_м-функция может быть выражена через распределения вероятно­стей, а не через отдельные события. Именно распреде­ление вероятностей эволюционирует необратимо (в мо­дели Эренфестов функция распределения равномерно стремится к биномиальному распределению). Сле­довательно, на уровне функций распределения цепи Маркова приводят к однонаправленности во време­ни.

Стрела времени характеризует различие между це­пями Маркова и временной эволюцией в квантовой ме­ханике, в которой волновая функция (самым непосред­ственным образом связанная с вероятностями) эволю­ционирует во времениобратимо. Это также один из примеров тесной взаимосвязи между стохастическими процессами, например цепями Маркова, и необрати­мостью. Однако возрастание энтропии (или убывание H-функции) основывается не на стреле времени, зало­женной в законах природы, а на нашем решении вос­пользоваться знанием, которым мы располагаем в на­стоящем, для предсказания поведения в будущем (но не в прошлом). Вот что говорит об этом в присущей ему лапидарной манере Гиббс:

«Но хотя по отношению к математическим построе­ниям различие между предшествующими и последую­щими событиями и может являться несущественным, по отношению к событиям реального мира дело обстоит совершенно иначе. В тех случаях, когда мы использу­ем ансамбли для вычисления вероятностей событий, происходящих в реальном мире, нельзя забывать о том, что если вероятности последующих событий довольно часто можно определить, зная вероятности предшеству­ющих, то лишь в весьма редких случаях удается определить вероятности предшествующих событий, зная ве­роятности последующих, ибо лишь чрезвычайно редко можно обоснованно исключить из рассмотрения апри­орную вероятность предшествующих событий»⁷.

Асимметрия между прошлым и будущим — важный вопрос, бывший и продолжающий оставаться предме­том оживленного обсуждения⁸. Теория вероятностей ориентирована во времени. Предсказание будущего от­лично от восстановления хода событий задним числом. Если бы этим отличием все и ограничилось, то нам не

оставалось бы ничего другого, как принять субъектив­ную интерпретацию необратимости, так как различие между прошлым и будущим оказалось бы зависимым только от нас. Иначе говоря, при субъективной интер­претации необратимости (к тому же подкрепляемой сомнительной аналогией с теорией информации) «от­ветственность» за асимметрию во времени, характери­зующую развитие системы, возлагается на наблюдате­ля. А так как наблюдатель не может «одним взглядом» определить положения и скорости всех частиц, образу­ющих сложную систему, ему не известно мгновенное состояние системы, содержащее в себе ее прошлое и бу­дущее; он не в состоянии постичь обратимый закон, ко­торый позволил бы предсказать развитие системы от одного момента времени к следующему. Наблюдатель не может также производить над системой такие мани­пуляции, какие производил максвелловский демон, спо­собный разделять быстро и медленно движущиеся ча­стицы и вынуждать систему к антитермодинамической эволюции от менее к более неоднородному распределе­нию температуры⁹.

Термодинамика по-прежнему остается наукой о сложных системах, но с указанной точки зрения един­ственной специфической особенностью сложных систем является то, что наше знание о них ограниченно и не­определенность со временем возрастает. Вместо того чтобы распознать в необратимости связующее звено между природой и наблюдателем, ученый вынужден признать, что природа лишь отражает его собственное незнание. Природа безответна. Необратимость, отнюдь не способствуя укреплению наших позиций в физиче­ском мире, представляет собой не более чем отзвук че­ловеческой деятельности и ее пределов.

Против подобной точки зрения сразу же можно воз­разить. Приведенные выше интерпретации исходят из того, что термодинамика должна быть столь же уни­версальной, как и наше незнание. Но тогда должны существовать только необратимые процессы. Именно это и является камнем преткновения всех универсаль­ных интерпретаций энтропии, уделяющих основное вни­мание нашему незнанию начальных (или граничных) условий. Необратимость — не универсальное свойство. Чтобы установить связь между динамикой и термоди­намикой, необходим физический критерий, который по-

зволил бы нам различать обратимые и необратимые процессы.

К этому вопросу мы вернемся в гл. 9. А пока обра­тимся снова к истории науки и к пионерским работам Больцмана.

Больцмановский прорыв

Свои основные результаты Больцман получил в 1872 г., за тридцать лет до того, как были открыты це­пи Маркова. Больцман намеревался дать «механиче­скую» интерпретацию энтропии. Иначе говоря, если в цепях Маркова вероятности перехода заданы извне (как в модели Эренфестов), их в действительности не­обходимо связать с динамическим поведением системы. Эта проблема настолько захватила Больцмана, что он посвятил ей большую часть своей научной жизни. В его «Статьях и речах» есть такие строки:

«Если вы меня спросите относительно моего глу­бочайшего убеждения, назовут ли нынешний век же­лезным веком или веком пара и электричества, я от­вечу не задумываясь, что наш век будет называться веком... Дарвина»¹⁰.

Идея эволюции неотразимо влекла к себе Больц­мана. Его мечтой было стать Дарвином эволюции ма­терии.

Первый шаг на пути к механистической интерпрета­ции энтропии состоял во введении в физическое описа­ние некогда отброшенного представления о столкнове­нии атомов и молекул и тем самым в создании базы для статистического описания. Этот шаг был сделан Клаузиусом и Максвеллом. Так как столкновения — явления дискретные, их можно сосчитать и оценить среднюю частоту. Мы можем также классифицировать столкновения, например отнести к одному классу столк­новения, в результате которых рождается частица с заданной скоростью v, а к другому — столкновения, в результате которых частица со скоростью v исчезает, превращаясь в частицы с другими скоростями (т. е. разделить столкновения на прямые и обратные)¹¹.

Максвелла интересовало, можно ли указать такое состояние газа, в котором столкновения, непрестанно изменяющие скорости молекул, не сказываются более на эволюции распределения скоростей, т. е. на среднем

числе молекул, движущихся с любой из скоростей. При каком распределении скоростей последствия различных столкновений в целом по ансамблю взаимно компенси­руются?

Максвелл показал, что такое особое состояние (со­стояние термодинамического равновесия) наступает, когда распределение скоростей принимает хорошо из­вестную форму колоколообразной, или гауссовой, кри­вой — той самой, которую основатель «социальной фи­зики» Кетле считал подлинным выражением случайности. Теория Максвелла позволяет весьма просто интер­претировать основные законы поведения газов. Повы­шение температуры соответствует увеличению средней скорости молекул и тем самым энергии, связанной с их движением. Эксперименты с высокой точностью под­твердили распределение Максвелла. Оно и поныне слу­жит основой решения многочисленных задач в физиче­ской химии (например, при вычислении числа столкно­вений в реакционной смеси).

Больцман, однако, вознамерился пойти дальше. Ему хотелось описывать не только состояние равновесия, но и эволюцию к равновесию, т. е. эволюцию к максвелловскому распределению. Он решил выявить молеку­лярный механизм, соответствующий возрастанию энт­ропии, механизм, вынуждающий систему стремиться к переходу из произвольного распределения скоростей к равновесному.

Характерно, что Больцман подошел к решению про­блемы физической эволюции не на уровне индивидуаль­ных траекторий, а на уровне ансамбля молекул. Ру­ководствуясь интуитивными соображениями, Больцман избрал подход, адекватный замыслу повторить в физике то, что Дарвин свершил в биологии, убедительно до­казав: движущая сила биологической эволюции — есте­ственный отбор — может быть определена не для от­дельной особи, а лишь для популяции. Следовательно, естественный отбор — понятие статистическое.

Полученный Больцманом результат допускает срав­нительно простое описание. Эволюция функции распре­деления f(v,t) скоростей v в некоторой области прост­ранства в момент времени t представима в виде суммы двух эффектов: число частиц, имеющих в момент вре­мени t скорость v, изменяется в результате как свобод­ного движения частиц, так и столкновений между ни-

ми. Изменение числа частиц вследствие свободного движения нетрудно вычислить с помощью классической динамики. Оригинальность метода Больцмана связана с оценкой второго эффекта: изменения числа частиц за счет столкновений. Чтобы избежать трудностей, неиз­бежно возникающих при прослеживании движения (не только свободного, но и при взаимодействии) по траек­ториям, Больцман воспользовался понятиями, аналогич­ными тем, которые были описаны в гл. 5 (при рассмот­рении химических реакций), и занялся вычислением среднего числа столкновений, приводящих к рождению или уничтожению молекулы со скоростью v.

Здесь снова мы имеем два процесса, действие кото­рых противоположно: прямые и обратные столкновения. В результате прямого столкновения молекул со ско­ростями v' и v" возникает («рождается») молекула со скоростью v. В результате обратного столкновения мо­лекулы со скоростью v с молекулой со скоростью v'" скорость первой изменяется — молекула со скоростью v исчезает («уничтожается»). Как и в случае химиче­ских реакций (см. гл. 5, разд. 1), частота столкновений считается пропорциональной произведению числа моле­кул, участвующих в столкновении. (Разумеется, исто­рически метод Больцмана (1872) предшествовал мето­ду химической кинетики.)

Результаты, полученные Больцманом, совершенно аналогичны результатам теории цепей Маркова. Мы снова вводим функцию HHH. На этот раз она относится к распределению скоростей f. Она представима в виде H= ò flnfdv. Как и в предыдущем случае, H-функция может только убывать со временем до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие и распределение скорос­тей не перейдет в распределение Максвелла.

В последние годы многочисленные проверки моно­тонного убывания H-функции были проведены с по­мощью моделирования на ЭВМ. Все они подтвердили предсказание Больцмана. И поныне кинетическое урав­нение Больцмана играет важную роль в физике газов. Оно позволяет вычислять коэффициенты переноса (на­пример, коэффициенты теплопроводности и диффузии) в хорошем соответствии с экспериментальными данны­ми.

Но особенно велико достижение Больцмана с кон­цептуальной точки зрения: различие между обратимы-

ми и необратимыми процессами, лежащее, как мы ви­дели, в основе второго начала термодинамики, Больц­ман низвел с макроскопического на микроскопический уровень. Изменение распределения скоростей из-за сво­бодного движения молекул соответствует обратимой ча­сти, а вклад, вносимый в изменение распределения столкновениями, — необратимой части. Именно в этом и был, с точки зрения Больцмана, ключ к микроскопи­ческой интерпретации энтропии. Принцип молекулярной эволюции сформулирован! Легко понять, что это от­крытие обладало неотразимой привлекательностью для физиков, разделявших идеи Больцмана, в том числе Планка, Эйнштейна и Шредингера¹².

Больцмановский прорыв стал решающим этапом в формировании нового научного направления — физики процессов. Временную эволюцию в уравнении Больц­мана больше не определяет гамильтониан, зависящий от типа сил. В больцмановском подходе движение по­рождают функции, связанные с процессом, например сечение рассеяния. Можно ли считать, что проблема необратимости решена и что теории Больцмана уда­лось свести энтропию к динамике? Ответ однозначен: нет, желанная цель не достигнута. Впрочем, вопрос этот столь важен, что заслуживает более подробного рассмотрения.