Пределы классических понятий

Начнем с классической механики. Как мы уже упо­минали, если основным первичным элементом считать траекторию, то мир был бы таким же обратимым, как и те траектории, из которых он состоит. В «тра-екторном» описании нет места ни энтропии, ни стреле времени. Но в результате непредвиденного развития событий применимость понятия траек­тории оказалась более ограниченной, чем мож-

но было бы ожидать. Вернемся к теории ансамб­лей Гиббса и Эйнштейна, о которой мы говорили в гл. 8. Как известно, Гиббс и Эйнштейн ввели в физику фазовое пространство для того, чтобы учесть наше «не­знание» начального состояния системы большого числа частиц. Для Гиббса и Эйнштейна функция распределе­ния в фазовом пространстве была лишь вспомогатель­ным средством, выражающим незнание de facto ситуации, которая однозначно определена de jure. Но вся проблема предстает в новом свете, если можно по­казать, что для некоторых типов систем бесконечно точное определение начальных условий приводит к внутренне противоречивой процедуре. Но коль скоро это так, тот факт, что нам всегда известна не отдельная траектория, а группа (или ансамбль) траекторий, выражает уже не только ограниченность нашего зна­ния — он становится исходным пунктом нового подхода к исследованию динамики.

В простейших случаях никакой проблемы не возни­кает. Рассмотрим в качестве примера маятник. В зави­симости от начальных условий маятник может либо ко­лебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Для того чтобы маятник вращался, его кинетическая энер­гия должна быть достаточно велика, иначе он «упа­дет назад», так и не достигнув вертикального положе­ния. Двум типам движения — колебаниям и вращени­ям — соответствуют две различные области фазового пространства. Причина, по которой эти области не пе­ресекаются, весьма проста: для вращения необходим больший запас кинетической энергии, чем для колеба­ния (см. рис. 30).

Если измерения позволяют установить, что система первоначально находится в заданной области, мы мо­жем с полной уверенностью предсказать, будет ли ма­ятник совершать колебания или вращаться вокруг точ­ки подвеса. Повысив точность измерений, мы можем локализовать начальное состояние маятника в более узкой области, целиком лежащей внутри предыдущей. И в том, и в другом случае поведение системы извест­но при любых t: ничего нового или неожиданного слу­читься не может.

Одно из наиболее удивительных открытий XX в. со­стоит в том, что такого рода описание не соответству­ет поведению динамических систем в общем случае, по-

Рис. 30. Представление движения маятника в пространстве координат V и q, где V — скорость, q — угловое отклонение, а) Ти­пичные траектории в пространстве (V, q); b) заштрихованные области соответствуют колебаниям, а области вне их — вращению маятника.

скольку «большинство» траекторий динамических си­стем неустойчиво⁶. Обозначим траектории одного типа (например, соответствующие «колебательным режи­мам») знаком +, а траектории другого типа (соответ­ствующие «вращательным режимам») знаком Ú. Вме­сто картины, изображенной на рис. 30, где области ко­лебательных и вращательных режимов разделены, мы получим в общем случае причудливую смесь состояний, что делает переход к отдельной точке весьма неодно­значным (см. рис. 31). Даже если известно, что началь­ное состояние нашей системы принадлежит области А, мы не можем заключить, что проходящая через него

Рис. 31. Схематическое изображение любой произвольно малой области фазового пространства V динамически неустойчивой системы. Как и в случае маятника, существуют траектории двух типов (обозначенные + и Ú), но, в отличие от маятника, траектории обоих типов встречаются в сколь угодно малой области.

траектория принадлежит типу +: траектория вполне может оказаться типа Ú. Увеличение точности измере­ний и связанный с ним переход от области А к более узкой области В также ничего не дает, так как неопре­деленность в типе траектории сохраняется. Во всех сколь угодно малых областях всегда существуют со­стояния, принадлежащие каждому из двух типов траек­торий⁷.

Для таких систем траектории становятся ненаблю­даемыми. Неустойчивость свидетельствует о достиже­нии пределов ньютоновской идеализации. Нарушается независимость двух основных элементов ньютоновской динамики: закона движения и начальных условий. За­кон движения вступает в конфликт с детерминирован­ностью начальных условий. В этой связи невольно вспоминается мысль Анаксагора о неисчерпаемости творческих возможностей частиц (семян), составляю­щих природу. По Анаксагору, любой предмет содержит в каждой своей части бесконечное множество качест­венно различных семян. В нашем случае любая об-

ласть фазового пространства содержит огромное мно­жество качественно различных режимов поведения.

С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А посколь­ку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствую­щую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать стати­стическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение го­ворить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современно­му естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глу­бокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архети­пом полной, замкнутой отрасли знания, в действитель­ности она подверглась коренным преобразованиям.

Возрождение динамики

В первой части нашей книги мы рассказали о дина­мике XIX в. Именно такую динамику излагают многие учебники. Прототипом динамической системы в XIX в. было принято считать интегрируемую систему. Решить уравнения движения означало «удачно» выбрать коор­динаты — так, чтобы соответствующие импульсы были инвариантами движения. Такой подход исключал взаи­модействие между частями системы. Ставка на ин­тегрируемые системы провалилась. Как уже упомина­лось, в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что большинство динамических систем, начиная со знаме­нитой проблемы трех тел, неинтегрируемы.

С другой стороны, сама идея приближения к равно­весию, сформулированная на языке теории ансамблей, требовала выхода за пределы идеализации интегрируе­мых систем. В гл. 8 мы видели, что в теории ансамб­лей изолированная система находится в равновесии, когда она представлена «микроканоническим ансамб­лем» — все точки на поверхности заданной энергии

332

Рис. 32. Временнáя эволюция ячейки в фазовом пространстве р, q. «Объем» ячейки и ее форма сохраняются во времени. Большая часть фазового пространства недоступна для системы.

равновероятны. Это означает, что для системы, стремя­щейся к равновесию, энергия должна быть единствен­ной величиной, сохраняющейся в ходе эволюции сис­темы. Энергия должна быть единственным инвариан­том. При любых начальных условиях система, эволю­ционируя, должна «побывать» во всех точках поверх­ности заданной энергии. Для интегрируемых систем энергия — далеко не единственный инвариант. Число инвариантов совпадает с числом степеней свободы, по­скольку у интегрируемой системы каждый обобщенный импульс остается постоянным. Следовательно, интег­рируемая система «заключена» на весьма ограничен­ном участке поверхности постоянной энергии (рис. 32) — пересечении всех инвариантных поверхностей.

Чтобы избежать этих трудностей, Максвелл и Больцман ввели новый, совершенно иной тип динами­ческой системы. Для таких систем энергия является единственным инвариантом, а сами системы получили название эргодических систем (рис. 33).

Выдающийся вклад в развитие теории эргодических систем внесли Дж. Биркгоф, фон Нейман, Хопф, Кол­могоров и Синай (разумеется, наш перечень далеко не полон)^8,9,10. Ныне мы знаем, что существуют обшир­ные классы динамических (но не гамильтоновых) си-

Рис. 33. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей эргодической системе. «Объем» и форма ячейки со­храняются во времени, но на этот раз ячейка перемещается по всему фазовому пространству.

стем, которые эргодичны. Известно также, что даже сравнительно простые системы могут обладать более сильными свойствами, чем эргодичность. Для таких си­стем движение в фазовом пространстве становится сильно хаотическим (хотя в полном соответствии с уравнением Луивилля — см. гл. 7 — объем в фазовом пространстве сохраняется).

Предположим, что наше знание начальных условий позволяет нам локализовать систему в малой ячейке фазового пространства. Наблюдая за эволюцией ячей­ки, мы увидим, как она начнет деформироваться и из­гибаться, испуская, подобно амебе, «псевдоножки» по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока нако­нец не заполнят все пространство. Ни один самый ис­кусный рисунок не может по достоинству передать

Рис. 34. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей системе с перемешиванием. Объем по-прежнему со­храняется, но форма уже не остается неизменной: ячейка постепенно размазывается по всему фазовому пространству.

всей сложности реальной ситуации. Действительно, в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволю­ция превратила бы эту миниатюрную область в настоя­щее геометрическое «чудовище», пронизывающее фа­зовое пространство своими нитями-щупальцами.

Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых при­мерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем произ­водить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р—q, а старая ордината q — в новую ординату р. На рис. 35 показа­но, что произойдет, если применить эти преобразования

Рис. 35. Преобразование объема в фазовом пространстве, по­рождаемое дискретным преобразованием: абсцисса р переходит в р—q, ордината q переходит в р. Преобразование циклическое: после шестикратного повторения преобразования исходная ячейка перехо­дит в себя.

к квадрату: квадрат деформируется, но после шести­кратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точ­ки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотрен­ное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).

Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчи­вых систем. Первый пример чисто математический, вто­рой имеет непосредственное отношение к физике. Пер­вая система — преобразование, названное математика­ми по понятным соображениям преобразованием пекаря^9,10 Берется квадрат и сплющивается в прямоуголь­ник. Половина прямоугольника отрезается, накладыва­ется на другую половину, а получившийся квадрат снова «раскатывается» в прямоугольник. Последова-

Рис. 36. Реализация «преобразования пекаря» В и обратного преобразования В^-1. Траектории черной и белой точек позволяют понять, как происходит каждое преобразование.

тельность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.

Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. «Пре­образование пекаря» переводит каждую точку квадра­та в однозначно определенную новую точку. Хотя по­следовательность точек-образов вполне детерминистична, «преобразование пекаря» обнаруживает также ста­тистические свойства. Пусть начальное условие для си­стемы состоит в том, что область Аквадрата первона­чально равномерно заполнена представляющими точ­ками. Можно показать, что, после того как преобразо­вание будет повторено достаточное число раз, началь­ная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и распо­ложение в квадрате, распадется на отдельные несвяз­ные части (рис. 37). Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содер­жит различные траектории, которые при каждом «дроб­лении» области расходятся. Таким образом, несмотря

Рис. 37. Временнáя эволюция неустойчивой системы. Область А со временем делится на две области A' и А", каждая из которых в свою очередь делится на две подобласти.

на то что эволюция каждой точки в отдельности обра­тима и детерминистична, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области носит, по существу, статистический характер.

Другим примером простой системы с неожиданно сложным поведением может служить рассеяние твер­дых шаров. Рассмотрим маленький шарик, отражаю­щийся от больших случайно распределенных шаров. Предположим, что большие шары неподвижны. Такую модель физики называют моделью, или газом, Лоренца в честь выдающегося голландского физика Гендрика Антона Лоренца.

Траектория малого подвижного шарика вполне оп­ределена. Но стоит лишь нам ввести в начальные ус­ловия небольшую неопределенность, как в результате последовательных столкновений эта неопределенность усилится. Со временем вероятность найти малый ша­рик равномерно распределится по всему объему, заня­тому газом Лоренца. Каково бы ни было число преоб-

Рис. 38. Схематическое изображение неустойчивости траекто­рии маленького шарика, отражающегося от больших шаров. Малей­шая неточность в задании положения маленького шарика делает невозможным предсказание большого шара, с которым столкнется маленький шарик после первого отражения.

разований, газ никогда не вернется в исходное состоя­ние.

В двух последних примерах динамические системы были сильно неустойчивы. Ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, напоминает неустойчивости в тер­модинамических системах (см. гл. 5). Произвольно ма­лые различия в начальных условиях усиливаются. В результате переход от ансамблей в фазовом прост­ранстве к индивидуальным траекториям становится невозможным. Описание на языке теории ансамблей мы вынуждены принять за исходный пункт. Статистические понятия перестают быть лишь приближениями к неко­торой «объективной истине». Перед такими неустойчи­выми системами демон Лапласа оказался бы столь же бессильным, как и мы.

Высказывание Эйнштейна «бог не играет в кости» хорошо известно. Ему созвучно высказывание Пуанка­ре о бесконечно мощном духе, беспредельно осведомленном в законах природы, для которого вероятности просто не могли бы существовать. Однако Пуанкаре сам же указал путь к решению проблемы¹¹. Он заме­тил, что когда мы бросаем игральные кости и прибе­гаем к теории вероятностей, то это отнюдь не означает, будто динамика неверна. Применение вероятностных соображений означает нечто другое. Мы используем понятие вероятности потому, что в любом диапазоне начальных условий, сколь бы малым он ни был, суще­ствует «много» траекторий, приводящих к выпадению каждой из граней кости. Именно это и происходит с неустойчивыми динамическими системами. Господь бог, если бы пожелал, мог бы вычислить траектории в не­стабильном динамическом мире. При этом он получил бы тот же результат, который нам позволяет получить теория вероятностей. Разумеется, всеведущему богу с его абсолютным знанием было бы нетрудно избавиться от всякой случайности.

Итак, мы можем констатировать, что тесная взаи­мосвязь между неустойчивостью и вероятностью, не­сомненно, существует. Это весьма важное обстоятельст­во, и к его обсуждению мы сейчас перейдем.