Безусловный экстремум функции одной переменной

1.1.1. (Необходимое условие экстремума функции одной переменной) Пусть x*ÎR - точка локального минимума (максимума) функции y=f(X) на множестве R и f(x) дифференцируема в точке x*. Тогда производная функции f(x) в точке x* равна нулю:

f¢(x*)=0. (1.1.1)

Точка, удовлетворяющая условию (1.1.1), называется стационарной.

Условие 1.1.1 является необходимым условиям экстремума, но не достаточным. Действительно, для функции y=x³ точка x*=0 является стационарной точкой, так как f¢(x)=0 Û 3x²=0 Û х=0 (то есть в точке х=0 выполняется условие (1.1.1)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки x₁ и x₂, в которых имеют место неравенства f(x₁)<f(x*)<f(x₂): достаточно взять x₁=-e и x₂=e, где e>0 - сколь угодно малое число: f(x₁)=-e³, f(x₂)=e³ и -e³<0<e³.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.1.2. (Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной). Пусть производная y¢=f¢(x) функции y=f(x) в стационарной точке x* меняет знак на противоположный. Тогда точка x* является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с «+» на «-», то точка x* является точкой максимума, а если производная меняет знак с «-» на «+», то точка x* - точка минимума.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию одной переменной на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Решив неравенство y¢>0 (y¢<0), определить, меняет ли знак производная в стационарных точках.

4. По характеру перемены знака производной определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни теми, ни другими.

5. Вычислить значения экстремумов функции (то есть вычислить значения функции в точках экстремума).

Пример I. Исследовать функцию y=4x³+9x²+6x-1 на экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции производную: y¢=12x²+18x+6.

2. Решая уравнение (1.1.1), найдём стационарные точки функции:

y¢=0 Û 12x²+18x+6=0 Û 2x²+3x+1=0, D=3²-4×2×1=1, x_{1, 2}= = ,

то есть x₁= , x₂=-1 - стационарные точки функции.

3. Решая неравенство y¢>0, определяем, меняет ли знак производная в стационарных точках (используя метод интервалов):

y¢>0 Û 2x²+3x+1=0 Û 2(x+ )(x+1)>0 Û xÎ(- ; -1)È( ; + ).

В частности, это означает, что y¢<0 Û xÎ(-1; ), то есть y¢ меняет знак на противоположный в обеих стационарных точках.

4. В точке x₁= y¢ меняет знак с «-» на «+». Поэтому эта точка - точка минимума. В точке x₂=-1 y¢ меняет знак с «+» на «-». Поэтому эта точка - точка максимума.

5. Вычисляем значения экстремумов функции в точках экстремума:

f_min(x)=f =4 +9 +6 -1= ,

f_max(x)=f(-1)=4(-1)³+9(-1)²+6(-1)-1=-2.

Ответ: x=-1 - точка локального максимума, f_max(x)=-2,

x= - точка локального минимума, f_min(x)= .

1.1.3. (Второе достаточные условия экстремума функции одной перменной) Пусть функция y=f(x) в точке x* дважды дифференцируема, f¢(x*)=0 и f¢¢(x*)>0 (f¢¢(x*)<0). Тогда точка x* является точкой локального минимума (максимума) функции f(x) на R.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум, достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции производную второго порядка.

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни теми, ни другими. Для этого вычисляем значение второй производной в стационарных точках.

5. Вычислить значения экстремумов функции.

Пример II. Исследовать функцию y=4x³+9x²+6x-1 на экстремум.

Решение. 1. y¢=12x²+18x+6.

2. y¢=0 Û x₁= и x₂=-1.

3. Найдём у функции производную второго порядка: y¢¢=24x+18.

4. Подставляя в y¢¢ стационарные точки. Определяем, какие из них являются точками максимума, какие - точками минимума: y¢¢(-1)=24(-1)+18=6<0. Поэтому x=-1 - точка максимума.

Далее, y¢¢ =24 +18=6>0. Поэтому x= - точка минимума.

5. f_max(x)=f(-1)=-2, f_min(x)=f = .

x= - точка локального минимума, f_min(x)= .