Необходимые и достаточные условия

2.1.1. (Необходимое условие экстремума первого порядка) Пусть X^*ÎR^п - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве R^п и f(X) дифференцируема в точке X^*. Тогда градиент функции f(X) в точке X^* равен нулю:

Ñf(X^*)=0, (2.1.1)

что равносильно системе

=0, i=1, 2, …, n. (2.1.2)

2.1.2. (Необходимое условие экстремума второго порядка) Пусть X^*ÎR^п - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве R^п и f(X) дважды дифференцируема в точке X^*. Тогда матрица Гессе, вычисленная в точке X^*, является положительно (отрицательно) полуопределённой:

H(X^*)³0 (2.1.3)

(H(X^*)£0) (2.1.4)

Точки, удовлетворяющие условиям (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) или (2.1.4), называются стационарными.

Условия 2.1.1 и 2.1.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f(X)= - точка X^*=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, =0 Û (3 , 3 )=0 Û (х₁, х₂)=0

(то есть выполняются условия (2.1.1) и (2.1.2)), а также

=6х₁, =6х₂, = =0, H(X*)= .

(то есть выполняются условия (2.1.3) и (2.1.4)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X₁ и X₂, в которых имеют место неравенства f(X₁)<f(X^*)<f(X₂): достаточно взять X₁=(0; e) и X₂=(e; 0), где e>0 - сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

2.1.3. (Достаточные условия экстремума) Пусть функция f(X) в точке X^* дважды дифференцируема, Ñf(X^*)=0 и H(X^*)>0 (H(X^*)<0). Тогда точка X^* является точкой локального минимума (максимума) функции f(X) на R^п.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (2.1.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу Гессе H(X).

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 1.6.1 или 1.6.2из Главы I).

5. Вычислить значения функции в точках экстремумов.

Пример I. Исследовать функцию f(X)=3x₁x₂-x₁ - x₂ на безусловный экстремум.

Решение. Следуем вышеописанной схеме исследования функции на безусловный экстремум.

1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3x₂- -2x₁x₂, =3x₁-2x₁x₂- .

2. Решая систему (2.1.2), найдём стационарные точки функции:

Û

Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3x₂-3x₁- + =0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (x₂-x₁)(3-x₂-x₁)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. x₂-x₁=0, то есть x₂=x₁. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3x₁-3 =0, решениями которого являются x₁=0 и x₁=1. Тогда решениями системы являются Х₁=(0, 0) и Х₂=(1, 1).

Случай 2. 3-x₂-x₁=0, то есть x₂=3-x₁. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение -3x₁+ =0, решениями которого являются x₁=0 и x₁=3. Тогда решениями системы являются Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу Гессе H(X):

=-2х₂, =-2х₁, = =3-2(x₁+x₂), H(X)=

4. Определим, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 1.6.1 или 1.6.2 из Главы I).

H(X₁)= .

Составим характеристическое уравнение и решим его:

=0 Û =0 Û (l²-9)=0 Û l₁=3, l₂=-3.

Так как собственные значения матрицы H(X₁) имеют разные знаки, то матрица H(X₁) - знаконеопределённая (см. 1.6.2 из Главы I и 1.1.2), а точка X₁ не является точкой экстремума.

Для точки X₂ имеем

H(X₂)= , D₁=-2<0, D₂= =3>0.

Так как угловые миноры матрицы Гессе знакочередуются, начиная с «-», то она является отрицательно определённой и по 2.1.3 точка X₂ является точкой локального максимума.

Для точек X₃ и X₄ имеем H(X₃)= и H(X₄)= , и у них множества собственных значений {l₁, l₂}={3+ , 3- } совпадают, а сами значения имеют различные знаки. Поэтому матрицы Гессе для этих точек являются знаконеопределёнными, и точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X₂ является точкой экстремума - максимума.

5. Значение функции в этой точке - f(X₂)=3×1×1-1×1²-1²×1=1.

Заметим, что f(X)=x₁x₂(3-x₁-x₂), и при отрицательных x₁ и x₂, достаточно больших по абсолютной величине, f(X)>1. Например, f(-2, -2)=(-2)(-2)(3-(-2)-(-2))=28>1. Найденная точка максимума имеет только локальный характер.

Ответ: (1, 1) - точка локального максимума, f_max(X)=1.

Пример II. Исследовать функцию f(X) на безусловный экстремум:

а) f(X)=- -2 -3 -x₁-2x₂+x₁x₂;

б) f(X)=2 +2 +3 -2x₁+3x₂+2x₁x₃;

в) f(X)= +2 - +4x₁+x₂-2x₁x₂.

Решение. Действуем по схеме решения предыдущего примера.

а) 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =-2x₁-1+x₂, =-4x₂-2+x₁, =-6x₃.

2. Решая систему (2.1.2), найдём стационарные точки функции:

Û Û

Из последнего уравнения получаем x₃=0, а первые два рассматриваем как отдельную систему из двух уравнений с двумя неизвестными, и решаем, например, правилом Крамера:

D= =7, = =-6, = =-5,

x₁= = , x₂= = .

Таким образом, X₀= , - стационарная точка функции.

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу Гессе H(X):

=-2, =-4, =-6, = =1,

= =1, = =0,

H(X)=

4. Определим, является ли стационарная точка точкой экстремума, и если да, то какой вид экстремума достигается в точке. Для этого исследуем на знакоопределённость матрицы Гессе, например, используя угловые миноры:

D₁=-2<0, D₂= =7>0, D₃= =-42<0,

то есть D₁<0, D₂>0, D₃<0. Следовательно, H(X)<0 (матрица Гессе отрицательно определённая), и по 2.1.3 точка X₀= , является точкой максимума.

5. Вычислим значение функции в этой точке:

f_max=f(X₀)=f , =- -2× -3×0²- -2× + × = .

б) Действуем по схеме решения задачи, опуская комментарии:

1. =4x₁-2+2x₃, =4x₂+3, =6x₃+2x₁.

2. Û Û Þ x₂= .

Найдём x₁ и x₃:

Û

D= =5, = =3, = =-1,

x₁= = , x₂= = , X₀= , - стационарная точка.

3. =4, =4, =6, = =0, = =2, = =0, H(X)= .

4. D₁=4>0, D₂= =16>0, D₃= =80>0, H(X)>0 (матрица Гессе положительно определённая), и X₀= , - точка минимума.

5. f_max=f(X₀)=f , =

=2× +2× +3× -2× +3× +2× × = .

в) Как и выше:

1. =2x₁+4-2x₂, =4x₂+1-2x₁, =-2x₃.

2. Û Û Þ x₃=0.

Найдём x₁ и x₂:

Û Û

D= =-2, = =9, = =5,

x₁= = , x₂= = , X₀= , - стационарная точка.

3. =2, =4, =-2, = =-2, = =0, = =0, H(X)= .

4. D₁=2>0, D₂= =4>0, D₃= =-8<0, то есть D₁>0, D₂>0, D₃<0, и матрица Гессе знаконеопределённая. Следовательно, X₀= , точкой экстремума не является.

Ответ: а) f_max= достигается в точке X₀= , ;

б) f_min= достигается в точке X₀= , ;

в) точки экстремума у функции не существует.

Пример III. Исследовать функцию

f(X)=2 + + +x₁x₃-12x₂+5x₃+6

на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =4x₁+x₃, =3 -12, =2x₃+x₁+5.

2. Найдём стационарные точки функции:

Û Û Þ x₂=±2.

Отдельно ищем x₁ и x₃: D= =7, = =5, = =-20, x₁= = , x₂= = .

Таким образом, X₁= , , X₀= , - стационарные точки функции.

3. Составим матрицу Гессе H(X):

=4, =6x₂, =2, = =0,

= =1, = =0,

H(X)= .

4. Определим, какие из стационарных точек X₁ и X₂ являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках.

Имеем H(X₁)= , и

D₁=4>0, D₂= =48>0, D₃= =84>0,

и H(X₁)>0. Значит, точка X₁= , - точка минимума.

Далее, H(X₂)= , и

D₁=4>0, D₂= =-48<0, D₃= =-84<0,

то есть D₁>0, D₂<0, D₃<0, и H(X₁) является знаконеопределённой. Это означает, что точка X₂= , не является точкой экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только X₁ является точкой экстремума, причём является точкой минимума.

5. Вычислим значение функции в точке X₁:

f_min=f(X₁)=f , =2× +2³+ + × -12×2+5× +6=- .

Ответ: f_min=- достигается в точке X₁= ,

2.2. Упражнение.Исследовать функцию f(X) на безусловный экстремум:

а) f(X)=2 +5 + -3x₁x₂-2x₂+x₃;

б) f(X)=3 +2 + +x₁x₃+2x₂-3x₃;

в) f(X)=2 +3 +4 -2x₁x₂-4x₂+3x₂;

г) f(X)=2 -5 + -3x₁x₂-2x₂+x₃;

д) f(X)=-3 +2 + +x₁x₃+2x₂-3x₃;

е) f(X)=2 +3 -4 -2x₁x₂-4x₂+3x₂;

ж) f(X)=-2 -5 - -3x₁x₂-2x₂+x₂;

з) f(X)=-3 -2 - +x₁x₃+2x₂-3x₃;

и) f(X)=-2 -3 -4 -2x₁x₂-4x₂+3x₂;

к) f(X)= +2 +3 +x₂x₃-27x₁+5x₂-3;

л) f(X)=3 + +4 +2x₁x₂+4x₂-48x₃+18;

м) f(X)=4 +5 +3 +4x₁x₃--60x₂+4x₃-2.