Условный экстремум при смешанных ограничениях

В этом случае утверждения, 3.1.1 - 3.1.4 остаются без изменения.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.4.1)

3. Решить систему (3.4.1) для двух случаев:

а) l₀=0;

б) l₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств в точке X^*;

2) если l=n и >0 для всех iÎI_a, то в точке X^* - локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iÎI_a, то в точке X^* - локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X^*, L^*):

d²L(X^*, L^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.4.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.4.2). Если d²L(X^*, L^*)>0 (и ³0), то в точке X^* - условный локальный минимум. Если d²L(X^*, L^*)<0 (и £0), то в точке X^* - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X^* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= ®extr

Решение. Имеем

j₁(Х)= , j₂(Х)=

Далее действуем по вышеприведённой схеме:

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀( )+l₁( )+l₂( ).

2. Составим систему (3.4.1). Имеем

=2l₀x₁+2l₁x₁+2l₂x₁=2x₁(l₀+l₁+l₂),

=2l₀(x₂-4)+2l₁(x₂+4)+2l₂x₂.

Поэтому

3. Решим систему для двух случаев:

a) l₀=0. Система принимает вид

а.1) x₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x₂=0, а второе и последнее дают l₁=l₂=0, то есть l₀=l₁=l₂=0, что невозможно.

а.2) x₁≠0. Тогда l₁+l₂=0 и l₁=-l₂≠0 и второе уравнение даёт l₁(x₂+4-x₂)=0, то есть 4l₁=0, что невозможно. (Здесь тот аргумент, что l₁ и l₂ имеют разные знаки, не уместен, так как l₁ соответствует ограничению-равенству, а l₂ - ограничению неравенству.)

Таким образом, условно-стационарных точек при l₀=0 нет.

б) l₀=1. Система принимает вид

б.1) x₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x₂=0, подставляя которое во второе, получаем -4+4l₁=0, то есть l₁=1. Последнее уравнение системы даёт l₂=0. Таким образом, ( )=(0, 0; 1, 0) - условно-стационарная точка.

б.2) x₁≠0. Тогда l₁=-1-l₂. Предположим, l₂≠0. Тогда имеет место система

откуда . Решаем последнее уравнение: х₂= . Подставляя во второе, получаем х₁=± . Подставляя найденное значение х₂ во второе уравнение исходной системы, получаем 7l₁-l₂=9, и приходим к системе

решением которой является l₁=1, l₂=-2 (как и выше, знаки l₁ и l₂ могут быть различными). Это можно найти и по-другому: преобразовав второе уравнение, получаем

Û Û

Û (так как ),

откуда l₁=1, l₂=-2.

Таким образом,

( )=( ; ; 1 -2), ( )=(- ; ; 1 -2) -

ещё две условно-стационарные точки.

Если предположить, что l₂=0, то l₁=-1. Тогда второе уравнение системы даёт х₂-4-(х₂+4)=0, то есть -8=0 - противоречие.

Таким образом, условно-стационарных точек три:

( )=(0; 0; 1; 0), ( )=( ; ; 1 -2),

( )=(- ; ; 1 -2),

при этом в точке ( ) имеем l₂=0, то есть l₂³0 и l₂£0, в точке выполняются необходимые условия как для минимума, так и для максимума. В точках ( ) и ( ) имеем l₂=-2£0, и в этих точках выполняются необходимые условия для максимума.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2(l₀+l₁+l₂), = =0.

Поэтому d²L=2(l₀+l₁+l₂)(d +d ).

а) В точке X₀=(0, 0) ограничение не является активным, так как j(X₀)=-4<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. В точке ( ) имеем l₀=l₁=1, l₂=0. Поэтому d²L(А)=4(d +d ). Имеем dj₁=2x₁dx₁+2(x₂+4)dx₂, dj₁(А)=8dx₂=0 Û dx₂=0. Поэтому d²L(А)=4d >0 при dx₁≠0 (так как ограничение j₂(Х)£0 пассивно, то J_a=Æ и условие dj₂(Х)=0 не рассматривается). Следовательно, в точке X₁ - условный локальный минимум.

б) В точках ( ) и ( ) ограничение-неравенство активно, так как j₂(Х^*)=0. Поэтому суммарное число активных ограничений-неравенств в точках и и ограничений равенств равно числу переменных. Так как l₂=-2, то в точках выполняются достаточные условия максимума первого порядка и оно является точкой локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f_min(X)=f(X₁)=f(0, 0)=16,

f_max(X)=f( )=f( )= =24.

Ответ: X₁=(0, 0) - точка регулярного условного локального минимума, f_min(X)=16; = и = - точки регулярного условного локального максимума, f_max(X)=24.