Безусловный экстремум функций двух переменных

Напомним, что в данном параграфе мы рассматриваем классические методы оптимизации, и для функций нескольких переменных ограничиваемся двумя переменными: z=f(x, y). Также напомним, что в отношение вектора возможно одновременное применение в качестве обозначений как строки, так и столбца. При чтении произведений типа AX или XA, где X - вектор, а A - (m´n)-матрица, разночтений быть не должно: в первом случае - это столбец с n элементами, во втором - строка с m элементами.

1.3.1. (Необходимое условие экстремума функции двух переменных) Пусть X^*=(x₀, y₀)ÎR² - точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве R² и z=f(x, y) дифференцируема в точке X^*. Тогда градиент функции z=f(x, y) в точке X^* равен нулю:

Ñz(X^*)=0, (1.3.1)

что равносильно системе

(1.3.2)

Точки, удовлетворяющие условиям (1.3.1) или (1.3.2), называются стационарными.

Условия 1.3.1 и 1.3.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f(x, y)=x³-y³ точка X^*=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, =0 Û (3x², 3y²)=0 Û (х, y)=0

(то есть выполняются условия (1.3.1) и (1.3.2)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X¹ и X², в которых имеют место неравенства f(X₁)<f(X^*)<f(X₂): достаточно взять X₁=(0; e) и X₂=(e; 0), где e>0 - сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.3.2. (Достаточные условия экстремума функции двух переменных) Пусть функция z=f(x, y) в точке X^*=(x₀, y₀) дважды дифференцируема, Ñz(X*)=0 и или , >0 ( или ). Тогда точка X^* является точкой локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на R².

Другими словами, в точке X^*=(x₀, y₀) функция z=f(x, y) достигает своего экстремума, если D(X*)= >0; при этом вид экстремума будет минимумом, если или , и максимумом при или .

Отметим, что если D(X^*)<0, то в точке X^* экстремума нет, а при D(X^*)=0 экстремум может существовать, а может и не существовать. В этом случае для решения вопроса требуются дополнительные исследования.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию двух переменных на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (1.3.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу H(X)= .

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого вычислить определитель D(X^*)= , и если D(X^*)<0, то X^* не является точкой экстремума. Если D(X^*)>0, то X^* - точка экстремума, и по знаку или определить вид экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример IV. Исследовать функцию z=2x²+3xy+2y²+3x-3y+2 на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =4x+3y+3, =3x+6y-3.

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:

Û Û

Применив к последней системе, например, правило Крамера, получаем (x, y)= , то есть X^*= - стационарная точка.

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X)= : =4, = =3, =6, H(X)= .

4. Так как D= =27>0, то в точке X^*= функция достигает своего экстремума. При этом =4>0. Поэтому в точке X* функция достигает минимума.

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

f_min(x, y)=f =2 +3 × +2× +3 -3× +2= .

Ответ: f_min(x, y)= достигается в точке , точек максимума у функции нет.

Пример V. Исследовать функцию z=3xy-xy²-x²y на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3y-y²-2xy, =3x-2xy-x².

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:

Û

Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3y-3x-y²+x²=0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (y-x)(3-y-x)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. y-x=0, то есть y=x. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3x-3x²=0, решениями которого являются x₁=0 и x₂=1. Тогда решениями системы являются Х₁=(0, 0) и Х₂=(1, 1).

Случай 2. 3-y-x=0, то есть y=3-x. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение -3x+x²=0, решениями которого являются x₁=0 и x₂=3. Тогда y₁=3-0=3, y₂=3-3=0, и решениями системы являются Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X):

=-2y, =-2х, = =3-2(x+y), H(X)= .

4. Определим, какие из стационарных точек Х₁=(0, 0), Х₂=(1, 1), Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0) являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого для каждой из стационарных точек X^* находим значение D(X^*)=|H(X^*)|, и если D(X^*)>0, то определяем вид экстремума.

Пусть X^*=Х₁=(0, 0). Тогда H(X₁)= и D(X₁)=-9<0. Значит, Х₁=(0, 0) не является точкой экстремума.

Пусть X^*=Х₂=(1, 1). Тогда H(X₂)= и D(X₂)=3>0. Значит, Х₂=(0, 0) является точкой экстремума. Так как (X₂)=-2<0, то в этой точке достигается максимум.

Для точек X₃ и X₄ имеем H(X₃)= , H(X₄)= , D(X₃)=D(X₄)=-9<0, и эти точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X₂ является точкой экстремума - точкой максимума.

5. Вычисляем значение функции в этой точке:

f_max(x, y)=f(X₂)=3×1×1-1×1²-1²×1=1.

Ответ: (1, 1) - точка локального максимума, f_max(X)=1.

1.4. Условный экстремум функций двух переменных.В стандартных курсах высшей математики (математического анализа), как правило, ограничиваются задачей условного экстремума функции двух переменных с одним ограничением типа равенства:

f(x, y) ® min (max)

j(x, y)=0 (1.4.1)

Множество, определяемое ограничением j(x, y)=0, обозначим через М.

Функция

L(x, y, l)=f(x, y)+lj(x, y) (1.4.2)

называется классической функцией Лагранжа, число l - множитель Лагранжа.

1.4.1. (Необходимые условия условного экстремума функции от двух переменных с одним ограничением). Пусть X^*=(x₀, y₀)ÎR² - точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве М. Тогда существует число ¹0 такое, что выполняются условия:

(1.4.3)

Точки, удовлетворяющие системе (1.4.3) при некотором , называются условно-стационарными.

Ясно, что условия (1.4.3) - не что иное, как необходимое условие экстремума функции Лагранжа (так как ). Поэтому решение задачи (1.4.1) сводится к исследованию функции Лагранжа (1.4.2) на безусловный экстремум. В общем случае решение этой задачи рассматривается ниже. Мы же к данному моменту умеем исследовать на безусловный экстремум только функцию двух переменных. А пока предлагаем следующую схему решения задачи (1.4.1).

1) Построить классическую функцию Лагранжа (1.4.2).

2) Найти частные производные , функции Лагранжа.

3) Решая систему (1.4.3) найти условно-стационарные точки.

4) Вычислить значения функции z=f(x, y) в точках X^*=(x₀, y₀) для условно-стационарных точек (X^*, )=(x₀, y₀, ).

5) Если значения функции z=f(x, y) для различных X^* не совпадают, то выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Они и будут искомыми условными экстремумами.

6) Если значения функции z=f(x, y) для всех X^* совпадают, в частности, если условно-стационарная точка единственна (решение системы (1.4.3) единственное), то по некоторым другим признакам определяем, какой вид экстремума достигается в точке (x₀, y₀). Например, взяв точку, координаты (x₁, y₁) которой удовлетворяют уравнению j(x, y), отличную от (x₀, y₀), вычисляем значение функции в этой точке и сравниваем с f(x₀, y₀). Если f(x₀, y₀)<f(x₁, y₁), то (x₀, y₀) - точка условного минимума, а если f(x₀, y₀)>f(x₁, y₁), то (x₀, y₀) - точка условного максимума.

Пример VI. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(x, y)=x+y®extr

.

Решение. В нашем случае j(x, y)=j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(x, y, l)=x+y+l( ).

2. Найдём частные производные функции L(x, y, l):

=1+2lx, =1+2ly.

3. Решим систему (1.4.3):

Û Û

Из первых двух уравнений системы получаем x= , y= , подставляя которые в третье, имеем =8 Û = Û l=± . Отсюда x= 2, y= 2, то есть (X₁, l₁)=(2, 2, ), (X₂, l₂)=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Вычислим значения функции в точках X₁=(2, 2) и X₂=(-2, -2) для условно-стационарных точек (X₁, l₁)=(2, 2, ) и (X₂, l₂)=(-2, -2, ) (решений системы (1.4.3)):

f(X₁)=f(2, 2)=2+2=4, f(X₂)=f(-2, -2)=-2-2=-4.

5. Так как f(X₁)=4>-4=f(X₂), то есть f(X₁)>f(X₂), то в точке X₁=(2, 2) достигается условный максимум функции z=x+y, а в точке X₂=(-2, -2) достигается условный минимум.

Ответ: X₁=(2, 2) - точка регулярного условного локального максимума, f(X₁)=4, X₂=(-2, -2) - точка регулярного условного локального минимума, f(X₂)=-4.

Упражнения.

1.4.1. Найти экстремумы функций y=f(x):

а) f(x)=x²(1-x );

б) f(x)= ;

в) f(x)=x-2lnx.

1.4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

а) f(x)=x⁴-2x²+3, [-3, 2];

б) f(x)= , [-1, 8];

в) f(x)=x-2lnx, [0, 4].

1.4.3. Найти экстремумы функций z=f(x, y):

а) f(x, y)=x²-xy+y²+9x-6y+20;

б) f(x, y)=3x²-x³+3y²+4y;

в) f(x, y)= (x+y²).

1.4.4. Решить задачу на условный экстремум:

а) x²-xy+y²+x+y-4 ® max(min),

x+y+3=0;

б) xy² ® max(min),

x+2y=1;

в) x+y ® max(min),

.