Условный экстремум при ограничениях типа неравенств

В этом случае утверждения, 3.1.1 - 3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.3.1. Пусть X^*ÎR^п - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|j_i(X)£0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.3.1.a)

условие допустимости решения:

j_i(X^*)£0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.б)

условие неотрицательности для условного минимума:

³0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.в)

(условие неположительности для условного максимума £0, i=1, 2, …, n)

условие дополняющей нежёсткости:

j_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.г)

Если при этом градиенты Ñj₁(X^*), Ñj₂(X^*), …, Ñj_m(X^*) в точке X^* линейно независимы, то ≠0 (условие регулярности).

3.3.2. Пусть X^*ÎR^п - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X^*, L^*) системы (3.3.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X^*, L^*), неотрицателен (неположителен):

d²L(X^*, L^*)³0 (d²L(X^*, L^*)£0)

для всех таких dxÎR^п, что

(3.3.2)

3.3.3.Пусть (X^*, L^*) - точка, удовлетворяющая системе (3.3.1) при ≠0, число активных ограничений X^* совпадает с числом n переменных. Если >0 для всех iÎI_a, то точка X^* - точка условного локального минимума. Если <0 для всех iÎI_a, то X^* - точка условного локального максимума.

3.3.4. Пусть (X^*, L^*) - точка, которая является решением системы (3.3.1) при ≠0. Если в этой точке дифференциал классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d²L(X^*, L^*)>0 (d²L(X^*, L^*)<0)

для всех таких dxÎR^п, что

dj_i(X^*)=0, iÎI_a, >0 ( <0);

dj_i(X^*)£0, iÎI_a, =0,

то точка X^* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Напомним, что I_a - множество индексов ограничений, активных в точке X^*, причём ограничение j_i(X)£0 называется активным в точке X^*, если j_i(X^*)=0 (в противном случае оно называется пассивным).

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.3.1)

3. Решить систему (3.3.1) для двух случаев:

а) l₀=0;

б) l₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l активных в точке X^* ограничений;

2) если l=n и >0 для всех iÎI_a, то в точке X^* - локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iÎI_a, то в точке X^* - локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X^*, L^*):

d²L(X^*, L^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.3.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.3.2). Если d²L(X^*, L^*)>0, то в точке X^* - условный локальный минимум. Если d²L(X^*, L^*)<0, то в точке X^* - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X^* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁x₂®extr

.

Решение. Следуем вышеприведённой схеме. Имеем

j₁(Х)=j(Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀(x₁x₂)+l₁( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =l₀x₂+2l₁x₁, =l₀x₁+2l₁x₂. Поэтому

3. a) l₀=0. Так как l₁≠0, то x₁=0 и x₂=0, и , то есть условно-стационарных точек при l₀=0 нет.

б) l₀=1. Система принимает вид

Пусть l₁≠0. Тогда из первых двух и последнего уравнения системы получаем четыре условно-стационарные точки ( )=(2, 2, ), ( )=(-2, -2, ), (X₃, L₃)=(-2, 2, ), (X₄, L₄)=(2, -2, ) (см. решение Примера II из 3.2).

Если l₁=0, то ( )=(0, 0, 0) - пятая условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных условно-стационарных точках X^*Î{X₁, X₂, X₃, X₄, X₅}.

Пусть X^*=X₁=(2, 2). В этой точке ограничение активно: j₁(Х^*)=j₁(Х₁)= Но число l=1 активных ограничений меньше числа n=2 переменных: l<n. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа. Имеем

= =2l₁, = =1.

Поэтому d²L=2l₁d +2dx₁dx₂+2l₁d , и

d²L(X^*, L^*)=2l₁d +2dx₁dx₂+2l₁d =2× d +2dx₁dx₂+2× d =

=-d +2dx₁dx₂-d =-(dx₁-dx₂)².

2) Запишем условие, накладываемое на первый дифференциал активного ограничения: dj₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂, dj₁(X^*)=dj₁(X₁)=4dx₁+4dx₂=0.

3) Исследуем знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяющих равенству предыдущего пункта 2). Имеем 4dx₁+4dx₂=0 Û dx₂=-dx₁, и d²L(X₁, L₁)=-(dx₁-dx₂)²=-4d , то есть d²L(X₁, L₁)=-4d <0. Поэтому X₁ - точка условного регулярного максимума.

Пусть X^*=X₂=(-2, -2). В этой точке снова ограничение активно, и l<n - достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как L₁=L₂, то d²L(X^*, L^*)=-(dx₁-dx₂)².

2) Так как dj₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂, то dj₁(X*)=dj₁(X₂)=-4dx₁-4dx₂=0.

3) Имеем -4dx₁-4dx₂=0 Û dx₂=-dx₁, и снова d²L(X₁, L₁)=-4d <0, и X₂ - точка условного регулярного максимума.

Пусть X^*=X₃=(-2, 2). В этой точке снова достаточные условия первого порядка не выполняются (почему?). Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как d²L=2l₁d +2dx₁dx₂+2l₁d , то

d²L(X₃, L₃)=d +2dx₁dx₂+d =(dx₁+dx₂)².

2) Из dj₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂ получаем dj₁(X*)=dj₁(X₂)=-4dx₁+4dx₂=0.

3) -4dx₁+4dx₂=0 Û dx₂=dx₁, и d²L(X₁, L₁)=0, и достаточные условия второго порядка не выполняются.

Необходимые условия второго порядка выполняются. Так что требуется дополнительное исследование. Но нами оно уже проведено - см. решение Примера II из 3.2). Следовательно, точка X₃ - точка условного минимума.

Случай X^*=X₄ рассматривается аналогично случаю X^*=X₃, и оставляется читателю для самостоятельного рассмотрения.

В точке =(0, 0) ограничение не является активным, так как j( )=-8<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Но в достаточных условиях второго порядка обязательно наличие активного ограничения. А его в точке (0, 0) у задачи нет. Следовательно, достаточные условия второго порядка не выполнены. По этой же причине не выполняются и необходимые условия второго порядка. Таким образом, =(0, 0) не является точкой условного экстремума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f_max=f(X₁)=f(X₂)=(±2)×(±2)=4, f_min=f(X₃)=f(X₄)=(±2)×( ±2)=-4.

Ответ: X₁=(2, 2) и X₂=(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, f_max=4; X₃=(-2, 2) и X₂=(2, -2) - точки регулярного условного локального минимума, f_min=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁+x₂®extr

.

Решение. Действуем по схеме. В нашем случае

j₁(Х)=j(Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀(x₁+x₂)+l₁( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =l₀+2l₁x₁, =l₀+2l₁x₂. Поэтому

(3.3.3)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l₀=0.

Имеем l₁≠0, так как по 3.3.1 в точке условного экстремума X* не все l₀ и l₁ равны нулю. Тогда x₁=0 и x₂=0. Так как l₁≠0, то из последнего уравнения получаем =0, которому не удовлетворяет X*=(0, 0). Значит, условно-стационарных точек при l₀=0 нет.

б) l₀=1. Тогда

(3.3.3) Û

Из первых двух уравнений системы следует l₁≠0 и тогда из последнего уравнения получаем =0. Как мы видели при решении примера I из 3.2, ( )=(2, 2, ), ( )=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных при l₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для обеих точек ограничение является активным (а именно, выполнено условие ), при этом число ограничений l=1<n=2. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранже в точках ( ) и ( ). Имеем

= =2l₁, = =0.

Поэтому d²L=2l₁d +2l₁d .

2) Запишем условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений: dj=2x₁dx₁+2x₂dx₂=0, откуда dx₂=-dx₁ и d²L=4l₁d . Тогда

d²L( )=-d <0 при l₁= <0 и

d²L( )=d >0 при l₁= >0.

Получаем, что d²L( )<0 для всех ненулевых dxÎR² таких, что dj( )=0, =- <0, и d²L( )>0 для всех ненулевых dxÎR² таких, что dj( )=0, = >0. Поэтому - точка регулярного условного максимума, - точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f( )=2+2=4, f_min=f( )=-2-2=-4.

Ответ: =(2, 2) - точка регулярного условного максимума, f_max=4, =(-2, -2) - точка регулярного условного локального, f_min=-4.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x₁-4)²+ ®extr

Решение. В нашем случае j₁(Х)= и j₂(Х)= .

Действуем по общей схеме:

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀((x₁-4)²+ )+l₁( )+l₂( ).

2. =2l₀(x₁-4)+2l₁(x₁+4)+2l₂x₁, =2l₀x₂+2l₁x₂+2l₂x₂.

Û (3.3.4)

3. а) l₀=0. Тогда l₁≠0 или l₂≠0, и,

(3.3.4) Û (3.3.5)

В частности, . Случай невозможен, так как в противном случае в силу и (либо и ) имеем (l₁ и l₂ не могут иметь разные знаки). Поэтому и .

Если , то , откуда и или . Второе невозможно, так как в противном случае , что противоречит четвёртому соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , то есть , откуда , что противоречит тому, что и .

Если , то , откуда . невозможно, так как в противном случае , что противоречит третьему соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , откуда - противоречие. Таким образом, .

б) l₀=1. Тогда

(3.3.4) Û (3.3.6)

в частности, .

Случай 1. . Из первого уравнения получаем

Û ,

откуда и , и с имеют разные знаки, что невозможно.

Случай 2. .

Случай 2.1. . Тогда из первого уравнения получаем , то есть . Это противоречит третьему соотношению системы (3.3.6).

Случай 2.2. . Тогда и , откуда . Как мы уже видели, . Значит, . Теперь первое уравнение системы (3.3.6) даёт , откуда . Таким образом, ( )=(-4, 0; 0, -2) - условно-стационарная точка.

Случай 2.3. . Тогда и, как мы уже видели, , подставляя которое в первое уравнение, получаем , откуда . Таким образом, ( )=(-1, 0; , 0) - вторая условно-стационарная точка.

Случай 2.4. . Тогда Û в силу , и получаем противоречие.

Таким образом, получили две условно-стационарные точки:

( )=(-4, 0; 0, -2), ( )=(-1, 0; , 0).

4. В точке X₁ первое ограничение не является активным, а в точке X₂ - второе. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Имеем = =1+l₁+l₂, = =0.

d²L=(1+l₁+l₂)d +(1+l₁+l₂)d =(1+l₁+l₂)(d +d ).

2) dj₁(X)=2(x₁+4)dx₁+2x₂dx₂, dj₂(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂.

3) Û Û Û

В любом случае dx₁=0. Тогда

d²L( )=-(d +d )=-d <0 (при этом l₁=0£0, l₂=-2£0) ,

d²L( )=(1+ )(d +d )= d >0 (при этом l₁= >0, l₂=0³0).

Следовательно, X₁=(-4, 0) - точка регулярного условного максимума, а X₂=(-1, 0) - точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f( )=(-4-4)²+0²=64, f_min=f( )=(-1-4)²+0²=25.

Ответ: =(-4, 0) - точка регулярного условного максимума, f_max=64, =(-1, 0) - точка регулярного условного минимума, f_min=-4.

Пример IV. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x₁-2)²+ ®extr

Решение. В нашем случае j₁(Х)= и j₂(Х)=-x₁.

Действуем по общей схеме:

1. L(X, l₀, L)=l₀((x₁-2)²+ )+l₁( )+l₂(-x₁).

2. =2l₀(x₁-2)+2l₁x₁-l₂, =2l₀x₂+2l₁x₂.

(3.3.7)

3. а) l₀=0. Тогда первые два уравнения образуют систему

Так как l₀, l₁ и l₂ одновременно не равны нулю, то l₁≠0 или l₂≠0.

Если l₁≠0, то откуда и . Тогда

,

то есть l₂≠0, и из последнего уравнения системы (3.3.7) получаем, что - противоречие.

Таким образом, l₀≠0.

б) l₀=1. Тогда

(3.3.7) Û (3.3.8)

Отдельно рассмотрим случаи:

Случай 1. . Из первого уравнения системы (3.3.8) получаем , то есть . Из второго уравнения - . Таким образом, (X₁, L₁)=(2, 0; 0, 0) - условно-стационарная точка.

Случай 2. . Тогда из второго уравнения получаем , а из последнего - . Теперь первое уравнение примет вид , то есть , и получили условно-стационарную точку (X₂, L₂)=(0, 0; 0, -4).

Случай 3. . Тогда из системы (3.3.8) получаем систему

(3.3.9)

Первое уравнение преобразуется:

Û Û .

Поэтому равенство невозможно. Значит, , и из второго уравнения системы (3.3.9) получаем , откуда и из последнего уравнения получаем . Так как - Û , то . Теперь из получаем и , что противоречит условию случая.

Случай 4. . Тогда из последних двух уравнений системы (3.3.8) получаем

Û

Теперь первое уравнение (3.3.8) принимает вид , то есть , а второе принимает вид , где . Значит, , и получили ещё две условно-стационарные точки:

(X₃, L₃)=(0, 2; -1, -4), (X₄, L₄)=(0, -2; -1, -4).

4. В точках X₃ и X₄ оба ограничения активны: и l=2=n, то есть выполнены достаточные условия первого порядка. При этом L₃=L₄=(-1, -4), то есть и . Значит, X₃ и X₄ - точки регулярного условного максимума.

В точке X₁ активно только первое ограничение и l=1<n=2, то есть достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

Имеем = =1+l₁, = =0.

d²L=(1+l₁)d +(1+l₁)d =(1+l₁)(d +d ).

При X=X₁ имеем и d²L=d +d >0, то есть X₁ - точка регулярного условного минимума.

В точке X₂ активно только второе ограничение и l<n. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Как мы уже видели, d²L=(1+l₁)(d +d ), и при X=X₂ снова и d²L=d +d >0. При этом l₂=-4<0, то есть знаки d²L( )>0 и не согласуются, и необходимые условия второго порядка в точке X₂ не выполнены.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_min=f( )=(2-2)²+0²=0, f_max=f( )=f( )=(0-2)²+(±2)²=8.

Ответ: =(2, 0) - точка регулярного условного минимума, f_min=0, =(0, 2), =(0, -2) - точки регулярного условного максимума, f_max=8.