Источник и сток в пространстве

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(1.42)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad j ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad j направлен в сторону роста j, то v направлена по r. Если Q < 0, то v направлена по - r (рис. 10). Величина скорости равна:

|(grad j_r)| = .

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q > 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q < 0 (2) — втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем источник, а во втором — сток.

Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность сферы S некоторого радиуса r с центром в начале координат. Через элемент сферы ds за единицу времени протекает объем жидкости v ds, а через всю сферу

(расход жидкости) (1.43)

( v можно вынести за знак интеграла, так как v = const на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда v = v (r) и v ортогональна к поверхности сферы S. Вычисленный объем жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на разных сферах разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j (1.42) является объемом жидкости протекающей за единицу времени через каждую такую сферу. Величина Q называется расходом или мощностью источника (стока).

Если Q = const, то источник или сток имеет постоянную мощность; если Q = Q (t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно измеряется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменение Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м/сек.

Греческий алфавит

Α α – альфа Ν ν – ни (ню)

Β β – бэта Ξ ξ – кси

Γ γ – гамма Ο ο – омикрон

Δ δ – дельта Π π – пи

Ε ε – эпсилон Ρ ρ – ро

Ζ ζ – дзэза Σ σ – сигма

Η η – эта Τ τ – тау

Θ θ – тэта Υ υ – ипсилон

Ι ι – иота Φ φ – фи

Κ κ – каппа Χ χ – хи

Λ λ – ламбда Ψ ψ – пси

Μ μ – ми (мю) Ω ω – омега

- набла (от греч.-ναβλα - арфа) – знак действия над полем (оператор) –

этот оператор Гамильтона векторно-дифференциальный

Тензоры

Понятие тензора (от латинского tendo — напрягаю, растягиваю) принадлежит к числу основных, фундаментальных математических понятий и широко применяется сейчас в механике, электродинамике, теории относительности и т. д. Первоначально возникшее в рабо­тах XIX века по теории упругости, оно было систематически иссле­довано в 1886 —1901 гг. итальянским геометром Г. Рйччи-Курбастро (1853—1925) и итальянским математиком и механиком Т. Лёви-Чивйта (1873—1942).

Внимание к новому аппарату существенно возросло после создания в 1915 —1916 гг. великим ученым, физиком А. Эйнштейном (1879 — 1955) общей теории относительности, мате­матическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении. Физические величины, которые нам встре­чались до сих пор, были либо скалярными, либо векторными. Однако существуют физические величины более сложной природы.

Например, однородное напряженное состоя­ние упругого тела характеризуется плотностью р силы, с которой одна часть тела действует на другую через мысленно вы­деленную плоскость (Q) (рис. 1); однако при этом р для различных направлений плоскости (Q) будет различным. Таким образом, вели­чина, характеризующая напряженное состояние, уже не является вектором, она представляет собой тензор 2-го ранга. Оказывается, что и многие другие важные величины, характеризующие состояние сплошных сред, также являются тен­зорами.

К настоящему времени тензорная алгебра, а также тензорный анализ (т. е. теория тензорных полей, связанная с применением диф­ференцирования и интегрирования) представляют собой значительно разработанные дисциплины.

Тензорная алгебра

1. Примеры.К понятию тензора можно прийти уже размышляя над описанием векторов в обычном пространстве с помощью чисел. Как известно из векторной алгебры, все действия над векторами удобно осуществлять, выбрав евклидов базис i, j, k, после чего можно любой вектор а разложить по этому базису

а = а_хi + а_уj+ a_zk (1.44)

и взамен действий над векторами осуществлять действия над их про­екциями, т. е. над числами — коэффициентами разложений. Более того, даже задавать конкретные векторы обычно бывает удобнее с помощью разложения (1), чем каким-то геометрическим способом.

Однако задумаемся теперь, что это за векторы i, j, k. В некото­рых случаях, когда в задаче имеется естественная система отсчета направлений (например, во многих задачах статики), эти векторы можно описать вполне точно, «привязав» их к данным задачи. Но во многих случаях привлечение такой «абсолютной» системы отсчета является весьма искусственным либо вообще невозможно. Тогда по­лучается на первый взгляд парадокс: мы пользуемся проекциями вполне определенного вектора, которые зависят от выбора базиса, но не уточняем, как этот базис выбирается...

Эта трудность будет преодолена, если с самого начала отка­заться от выбора какого-то одного базиса, а считать, что все ба­зисы равноправны и каждому выбору базиса i, j, k отвечает на­бор значений а_х, а_у, а_z в соответствии с формулой (1). Подобный набор величин, приобретающих определенные значения лишь после выбора базиса и преобразующихся по определенному правилу при за­мене базиса (см. ниже), и называется тензором (или тензорной вели­чиной), а сами эти величины, составляющие в определенном порядке тензор, называются его компонентами. (Отметим некоторое несо­ответствие: в векторной алгебре принято компонентами вектора A называть векторы а_хi, а_уj, a_zk. Однако здесь мы будем компонентами называть величины а_х, а_y , а_z.)

В тензорном исчислении принято не писать знак суммы по повто­ряющемуся индексу, а при повторении индекса всегда осуществлять такое суммирование, т. е. писать последнюю формулу.

Здесь индекс суммирования является немым и может быть обозна­чен любой буквой, а пределы суммирования определяются размер­ностью пространства, в котором рассматривается тензор.

§ 8. Напряженное состояние в окрестности точки

Если через произвольную точку тела провести три взаимно перпендикулярные площадки параллельно координат­ным плоскостям, то девять составляющих (компонент) напря­жения: три нормальных σ_х, σ_у, σ_z и шесть касательных τ_ху, τ_yz, τ_zx, τ_ух, τ_xz, τ_zy, действующих на этих площадках (рис. 4.1), полностью определяют напряженное состояние в окрестности данной точки. Это означает, что, зная эти девять величин, можно найти напряжения на любой наклонной площадке, проходя­щей через данную точку. Слово «со­ставляющая» или «компонента» в дальнейшем для краткости будем опускать.

Все девять напряжений можно обозначить одинаково, тогда при σ_хх=σ_х получа­ются нормальные напряжения, в которых сохраняется только один индекс, а при τij — касательные напряжения. Первый индекс указывает, параллельно какой оси направлено напряже­ние, а второй обозначает нормаль к площадке, на которой оно действует. Это правило непосредственно относится к касатель­ным напряжениям, но им также можно пользоваться и для нормальных напряжений, если употреблять обозначения σ_ij.

Нормальные напряжения считаются положительными, если они направлены в сторону внешней нормали к площадке, и наоборот. В соответствии с этим правилом положительные нормальные напряжения считаются растягивающими, а от­рицательные — сжимающими.

Для касательных напряжений принимается следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном (или отрица­тельном) направлении соответст­вующей оси, касательное напряже­ние считается положительным, ес­ли оно также направлено в поло­жительном (или отрицательном) направлении оси. На рис. 4.1 пока­заны положительные напряжения.

Как известно из аналитической геометрии, направляющие косинусы нормали связаны между собой соотношением

l² + m²+n² = 1. (1.45)

Полное напряжение P, действующее на этой площадке, можно спроектировать на оси координат. Проекции P_xy, P_yz, P_zx определяются из уравнений равновесия тетраэдра ОАВС. Составим сумму проекций всех сил, приложенных к граням тетраэдра, на ось Ox (на рис. 4.2 на вертикальных и горизон­тальной гранях тетраэдра показаны только те напряжения, которые дают проекции на ось

Вопросы к 1-ому разделу

1. Механика сплошной среды

2. Гидромеханика

3. Механика деформируемых тел

4. Закон сохранения массы

5. Зависимость между слоями в рамках гипотез Крихгофа-Лява

6. Общая задача кинематики

7. Определение движения сплошной среды.

8. Кинематические уравнения движения.

9. Основная задача механики сплошной среды

10. Переменные Эйлера

11. Диф. уравнение распределения скорости в форме Эйлера

12. Индивидуальная, субстанциональная, полная производная

13. Что характеризует производная ∂ρ/∂t

14. Конвективная производная

15. Поле скалярной и векторной величин

16. Векторные линии

17. Линии тока

18. Поверхность тока

19. Трубка тока

20. Дифференциальные уравнения линии тока

21. Поверхность равного уровня

22. Вектор-градиент

23. Поток скорости

24. Дивергенция скорости

25. Формула Гаусса

26. Циркуляция скорости

27. Вихрь(ротор скорости)

28. Деформация

29. Символ Кронекера

30. Главные удлинения

31. Относительное изменение объема в окрестности точки

32. Интенсивность деформации сдвига

33. Главные сдвиги

34. Приведенная деформация (интенсивность деформации)

35. Параметр Надаи и параметр Лоде и Надаи

36. Компоненты девиатора деформации

37. Скорость относительного объемного расширения(сжатия)

38. Интенсивность скоростей деформации сдвига относительно гл.осей

39. Девиатор скорости деформации

40. Вектор напряжения

41. Касательное напряжение

42. Нормальное напряжение

43. Девиатор напряжений

44. Интенсивность касательных напряжений

45. Тензор