РАЗДЕЛ 2. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Уравнение неразрывности

Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел — это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме

В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.

Для малого объема верно равенство Δm ≈ ρΔV, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.

Тогда закон сохранения массы т принимает вид

(2.1)

Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство

и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды

(2.2)

которое называется уравнением неразрывностив переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.

Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде

(2.3)

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид

Интересно, что уравнение (2.3) легко получить сразу, остава­ясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде

Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное

то

Отсюда следует уравнение (2.3).

Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠0),уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид

div =

В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормаль­ными сечениями, получим

v₁S₁=v₂S₂ .

Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.

Для стационарных движений ∂ρ/∂t = O, уравнение неразрыв­ности получает вид

div ρ = 0или

Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).

Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ_1, ρ₂, ..., ρ_n и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выпол­няться закон сохранения массы

или

Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов т_i могут меняться. Пусть γ_i — изменение массы т_i i-го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде

или (2.4)

Согласно закону сохранения общей массы при химических реакциях имеем

(2.5)

Кроме п плотностей и п скоростей для компонентов смеси можно ввести одну плотность ρ и одну скорость смеси как целого.

Для этого достаточно просуммировать уравнения (2.4), учесть (2.5) и получим следующие равенства

В результате уравнение неразрывности примет обычный вид (2.3) относительно средних характеристик среды.

Все сказанное остается в силе, если вместо химических реакций в многокомпонентных смесях рассматриваются процессы взаимных поглощений (или выделений) в многофазных средах. В этом случае в формуле (2.4) γ_i — интенсивность поглощения i-той фазы среды.