Уравнения состояния гидромеханики

Когда имеет место степенная зависимость ( с и n -постоянные), то говорят, что движение происходит при политропическом процессе.

Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала, и в большом диапазоне изменения давления принимается линейная зависимость

где ρ₀ - плотность, соответствующая давлению р₀; К_ж - модуль объемного сжатия.

Порядок модуля объемного сжатия жидкостей равен 10⁴ n МПа.

Экспериментальные данные и общие физические соображения показывают, что любая среда при очень больших температурах и давлениях практически обладает свойствами идеальной жидкости.

В нормальных условиях модель идеальной жидкости широко используется при изучении движения многих жидкостей и газов вдали от твердых границ.

Одно из наиболее известных уравнений движения идеальной жидкости — закон Бернулли

который гласит, что при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической (z),скоростной (v²/2g) и пьезометрической (p/ρg) высот вдоль линии тока остается величиной постоянной.

2. Модель вязкой ньютоновской жидкости - следую­щая по сложности, которую используют, когда силами трения или напряжениями сдви­ги при движении жидкости пренебречь нельзя, Уравнениями состояния для такой жидкости, кроме уравнения вида (2.11),

будет

(2.12)

т.е. прямо пропорциональная зависимость между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформаций. Учитывая динамические величины и элементы теории напряжений, имеем равносильные уравнения, выраженные через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций:

При плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Оx₁, когда v₁ =v₁(x₁, х₂), v₂ = v₃ = 0, нормальные и касательные напряжения равны:

Если, кроме того, жидкость несжимаемая и ско­рость v₁ не зависит от х₁, то уравнение состояния имеет простейший вид

Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициен­том вязкостиили динамической вязкостью жидкости. Размерность этого коэффициента, согласно соотношениям (2.12), будет

Динамическая вязкость воды при 20° С равна 10^-3 Па·с.

Иногда пользуются отношением μ/ρ, которое называется кинематической вязкостьюи обозначается буквой υ. Размерность этой величины м²/с.

Для газов и капельных жидкостей динамическая и кинематическая вязкости слабо зависят от давления, но сильно от температуры. Как видно из данных, приведенных ниже, оба коэффициента вязкости воды убывают с повышением температуры, а коэффициенты вязкости воздуха возрастают. Эта закономерность свойственна всем жидкостям и газам.

Таблица №1

Применяются различные эмпирические формулы зависимости вязкости газов и жидкостей от температуры, но из-за их сложности и малой общности предпочтительно пользоваться таблицами.

Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (2.12), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей. Вязкость таких неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения.

3. Модель неньютоновского поведения жидкостей. Их основной признак заключается в нелинейной зависимости между компонентами девиаторов напряжений и скоростей деформаций.

Рис. 11 Характерные зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига:

1 – псевдопластичная жидкость;

2 – дилатантная жидкость;

3 – ньютоновская жидкость.

На рис. 11 показаны две характерные кривые зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига для неньютоновских жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси Ох₁. Здесь же для сопоставления штрихпунктиром показана линейная зависимость для ньютоновской жидкости.

Поведение жидкости, описываемое кривой 1, называется псев­допластичным, а кривой 2 — дилатантным. Предлагалось много различных вариантов аппроксимации этих кривых. Но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации:

а) модель Шведова — Бингама

(2.13)

используемая для псевдопластичных жидкостей;

б) модель Освальда — Вейля, или степенная модель,

(2.14)

используемая для обоих типов жидкостей, где τ₀ — предельное (или динамическое) напряжение сдвига; η — пластическая (или структурная) вязкость; k — показатель консистенции; п — показа­тель неньютоновского поведения: при п < 1 жидкость псевдо­пластичная, при п>1 — дилатантная.

Между параметрами моделей (2.13) и (2.14) легко устанавли­вается следующая связь:

где — скорость деформации сдвига, выше которой зависимость от практически линейная (см. рис. 10).

Так как в системе единиц СИ размерность величин [ ] = Па, [η] = Па·с, и [ ] = с^-1, то размерность параметра [k] = Па·с.

Среда, для которой справедливо уравнение (2.13), называется вязкопластичной бингамовской жидкостью. Она характеризуется тем, что обладает пространственной жесткой структурой и благодаря этому сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдет предельного значения, соответствующего этой структуре. После этого структура полностью разрушается и жидкость начинает вести себя как обычная ньютоновская вязкая жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку действительного напря­жения τ над предельным τ₀. При уменьшении этого кажущегося напряжения до нуля пространственная жесткая структура восста­навливается.

Необходимо подчеркнуть, что реологические параметры η, τ₀ и k, п для бурового и тампонажного растворов зависят от тем­пературы, давления, состава и диапазона изменения скорости деформации сдвига , для которой справедливы модели (2.13) и (2.14).

Рис.12

4. Модель неньютоновских несжимаемых вязкопластичных жидкостей при ламинарном (структурном) режиме течения. Чтобы установить характер зависимости между касатель­ными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют наиболее простые формы движения: установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы или тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами, т. е. течения, при которых линии тока — прямые линии или концентрические окружности. Подобные течения реализуются в специальных приборах, называемых капиллярными и ротационными вискозиметрами соответственно.

При течении жидкости в трубке радиуса R задают объемный расход Q и измеряют разность давлений Δр в двух точках потока, расположенных вдали от концов трубки на расстоянии L друг от друга. В координатах средней скорости деформации сдвига и касательного напряжения у поверхности трубки строится график.

Этот график в общем случае необходимо перестроить в координатах локальной скорости деформации сдвига и напряжения τ, используя для этого уравнение :

Однако легко показать, что для вязких и вязкопластичных жидкостей, описываемых уравнениями (2.13) или (2.14), перестраивать график ~ τ в ~ τ нет необходимости, достаточно только реологические параметры τ₀ и

- для модели Шведова — Бингама и

— в степенной модели, где и — параметры, определенные зависимостью от τ.

При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной L, из которых наружный вращается с угловой скоростью ω, реологические параметры для бингамовской жид­кости (2.13) могут быть определены из соотношения

а для жидкости, соответствующей степенной модели (2.14), из формулы

где М – вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; α = R₀/R; R₀ , R - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.

Для производственного течения несжимаемых вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния, обобщающие уравнения (2.12) и модели (2.13), (2.14):

при

при (2.15)

и (2.16)

где H₁, Т — интенсивность скоростей деформации сдвига при и интенсивность касательных напряжений.

При определенных нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять дополнительные свой­ства неньютоновского поведения:

тиксотропность — зависимость жесткости структуры от продол­жительности деформирования и предыстории движения;

запаздывание во времени установления деформации при дей­ствии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (релаксация напряжений) и т. д.

Количественное изучение этих и других важных свойств до настоящего времени остается в значительной степени неразрабо­танным разделом механики жидкостей вообще, а для буровых и тампонажных растворов не выходит за пределы отдельных опытных иллюстраций.

Тот факт, что вязкие или вязкопластичные свойства, а следовательно уравнения состояния (2.15), (2.16), будут определяющими лишь при ламинарном (или структурном) режиме течения, т. е. тогда траектории частиц жидкости имеют вполне определенное, упорядоченное (регулярное) направление, - наиболее существенная особенность движения любой жидкости.

5. Модель неньютоновских вязкопластичных жидкостей при турбулентном режиме течения - неупорядоченном (нерегулярном), хаотическом движении. Опыты показывают, что по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму — турбулентное движение, при котором движение частиц становится неупорядоченным (нерегулярным), хаотическим.

Процессы возникновения и развития такого движения носят случайный характер и не поддаются строгому теоретическому анализу, требуя для своего изучения своеобразных статистических методов.

До настоящего времени нет ясного представления, как ламинарное движение вязкой жидкости становится турбулентным, несмотря на то, что первые научные наблюдения турбулентных движений были выполнены сто двадцать восемь лет тому назад!!! Еще сложнее проблема разрушения структурного режима течения буровых и тампонажных растворов и переход его в развитое турбулентное движение. Английский физик О. Рейнольдс, изучая движение воды цилиндрической трубе, в 1883 г. впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное наступает при достижении критического значения некоторого безразмерного параметра

(2.17)

где - средняя скорость потока; d — диаметр трубы; — соответственно плотность и вязкость жидкости.

По опытным данным О. Рейнольдса, нижняя граница критического числа Re_кр составила 2000, а верхняя — 13000. В последующем более тщательными опытами было установлено, что для ньютоновских жидкостей наиболее вероятная нижняя граница равна 2320, а верхнюю можно довести до 50000. Оказалось, что запаздывание ламинарного течения связано с удалением возмущений на входе в трубу. Чем плавнее вход в трубу, тем позже наступает турбулентный режим.

Опытами было установлено также, что на величину верхней границы Re_кр сильное влияние оказывают отклонение трубы от цилиндрической формы, заметная шероховатость поверхности трубы, наличие в жидкости твердых тел, коллоидных или дисперсных образований, изменение граничных условий, действие внешних возмущений и другие факторы.

Для вязкопластичных сред переход от структурного режима
течения к турбулентному принято определять с помощью обоб­щенного параметра Рейнольдса:

для степенной модели

(2.18)

для модели Шведова — Бингама

(2.19)

Нижняя граница критических значений обобщенных парамет­ров Rе', Rе_* равна 2100.

Наряду с изучением переходных процессов в цилиндрических трубах были изучены движение жидкостей в пространстве между соосными цилиндрами в осевом и тангенциальном направлениях и при обтекании твердых тел набегающим потоком жидкости, а также обнаружено качественное сходство переходных процессов, определя­емых по тем же параметрам Рейнольдса (2.18) и (2.19), где под d следует понимать характерное сечение потока или линейный размер тел.

Изучение переходных режимов и практическое определение Rе базируются главным образом на установлении опытной зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от параметра Рей­нольдса, соответствующего данной реологической модели.

Отличительным признаком турбулентных течений является зависимость скорости от времени в любой точке потока. Для количественного описания турбулентных течений О. Рейнольдc предложил действительные скорости потока v_i (i = 1, 2, 3) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени скоростей и пульсационных скоростей (пульсаций) , т. е. . Анало­гично представляется и давление . Форма уравнений движения и неразрывности сохра­няется. В этом случае следует только заменить скорости v_i и давление р средними скоростями и давлениями , а вместо напряжений использовать сумму

Где — компоненты напряжений, связанные со средними ско­ростями уравнениями состояния (2.12), (2.15) или (2.16) — допол­нительные компоненты напряжений, возникающие вследствие пульсаций, они называются напряжениями Рейнольдса.

6. Модель неньютоновских многокомпонентных смесей вязкопластичных жидкостей при любых режимах течения. Таким образом, общая задача гидромеханики в определении компонент v_i (i = 1, 2, 3) вектора скорости , компонент симметричного девиатора напряжений s_ij =s_ji (i, j=1, 2, 3), давления р и плотности ρ жидкости в любой точке области.

В общем случае эти одиннадцать искомых функций должны в ламинарном режиме течения удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений движения

(i=1, 2, 3); (2.21)

неразрывности движения или сохранения массы

(2.22)

и механического состояния

s = f(p); (2.23)

(2.24)

Подставляя в уравнения (2.21) соотношения (2.24)можно получить уравнения Навье — Стокса, Генки — Ильюшина и др.

При турбулентных течениях жидкостей и газов, согласно сказанному выше, система уравнений (2.21) — (2.24) сохраняет свой вид, но под величинами v_i , р необходимо понимать усреднен­ные по времени значения , , , где напряжения Рейнольдса связаны с компонентами средних скоростей деформаций , например, уравнением Прандтля (2.20).

Для удобства выпишем обозначения основных величин:

- компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформаций соответственно;

- символ Кронекера;

— соотношения Коши; (2.25)

— скорость деформации объема;

— проекции объемных сил и ускорении;

-(2.26)

интенсивность касательных напряжении;

- (2.27)

интенсивность скорости деформации сдвига при ξ=0.

Единственность и однозначность решения системы дифференциальных уравнений (2.21) - (2.24) возможны лишь при выполнении граничных условий:

— на поверхности контакта жидкость - твердое тело и (или) p=p₀ - на свободной поверхности, где , р₀ - заданные величины скорости твердого тела и внешнее давление.

Общего аналитического решения системы уравнений (2.21) — (2.24) не существует, и, как правило, в этом нет нужды, если речь идет о прикладных задачах. Обычно при решении конкретной инженерной задачи вводят ряд геометрических и физических допущений, не умаляющих, однако, основного характерного признака движения. Здесь важно свести уравнения и граничные условия к простейшему виду так, чтобы сохранить лишь главную цель задачи. Если все же граничная задача оказывается сложной, неподдающейся точному аналитическому решению, то применяют какой-либо приближенный метод решения или ставят эксперимент, используя для этого основные положения теории подобия.

В любом случае теоретической основой решения любой задачи гидромеханики является система уравнений (2.21) — (2.24) в том ином упрощенном виде.

Вопросы к 2-ому разделу

1. Закон сохранения массы

2. Уравнение неразрывности

3. Уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

4. Уравнение неразрывности для стационарных тел

5. Второй закон Ньютона

6. Уравнение количества движения(импульсов)

7. Уравнение моментов

8. Модель идеальной жидкости

9. Уравнение состояния идеальной жидкости

10. Уравнение состояния идеального газа

11. Баротропная жидкость

12. Политропический процесс

13. Закон Бернулли

14. Модель ньютоновской жидкости

15. Динамическая вязкость жидкости

16. Кинематическая вязкость жидкости

17. Модель неньютоновского поведения жидкости

18. Псевдопластичная жидкость

19. Дилатантная жидкость

20. Модель Шведова-Бингама

21. Модель Освальда-Вейля

22. Модель неньютоновских вязкоплостичных жидкостей при ламинарном режиме течения

23. Тиксотропность

24. Модель неньютоновских вязкоплостичных жидкостей при турбулентном режиме течения

25. Общий параметр Рейнольдса для степенной модели и для модели Шведова-Бингама

26. Напряжение Рейнольдса

27. Масштаб турбулентности

28.Модель неньютоновских многокомпонентных смесей вязкопластичных жидкостей при любых режимах течения

29. Уравнение Прандтля

30. Символ Кронекера

31. Соотношение Коши

32. Скорость деформации объема

33. Проекции объемных сил и ускорения

34. Интенсивность касательных напряжения

35. Интенсивность скорости дефор­мации сдвига при ξ=0

36. Диффиринциальные уравне­ния движения,сохранения массы и механического состояния.

37. Общее аналитическое решение системы диффиринциальных уравнений движения, сохранения массы и механического состояния.