явище електромагнітної індукції

Основні формули

1. Закон Фарадея:

де – ЕРС індукції в замк­неному контурі; – кількість витків контура; – швидкість зміни магнітного потоку індукції через площу, обмежену контуром.

2. ЕРС у провіднику, дов­жина якого , який перемі­щається в одно­рідному магніт­ному полі з сталою швидкістю , дорівнює

де – кут між векторами i .

3. ЕРС самоіндукції

де – індуктивність провідника; – швидкість зміни струму.

4. Iндуктивність соленоїда, довжина якого :

де – кількість витків соле­ноїда; – площа поперечного перерізу соленоїда; – кіль­кість витків на одиницю його довжини ; – об'єм соленоїда.

Приклад розв'язання задачі

В однорідному магнітному полі з індукцією рівно­мірно обертається рамка, яка має витків, з частотою . Площа рамки Визначити миттєве значення ЕРС, при обертанні рам­ки на .

Розв'язання

Миттєве значення ЕРС ін­дукції визначається рівнянням Фарадея:

де – кількість витків, що про­низуються магнітним потоком .

При обертанні рамки магніт­ний потік , що пронизує рамку в момент часу , змінюється за законом , де – маг­ніт­на індукція; – площа рамки; – колова частота, при­чому .

Тоді

Підставимо числові значення величин:

Задачі контрольної роботи

30.1. Металевий стрижень завдовжки обертається з кутовою швидкістю навколо точки в площині, перпенди­кулярній до ліній індукцій магнітного поля, індукція якого Визначити ЕРС індукцій між точками і .

30.2. Квадратна рамка з стороною розміщена в магніт­ному полі так, що нормаль до рамки утворює кут з напрямком поля. Магнітне поле змінюється з часом за законом де і Знайти значення ЕРС в рамці в момент часу

30.3. Квадратна рамка зі стороною рівномірно обертаєть­ся з кутовою швидкістю в однорідному магнітному полі, яке змінюється з часом за законом де і В початковий момент часу площина рамки паралельна до . Знайти ЕРС індукцій в рамці через після початку обертання.

30.4. Дротяна рамка розміщена перпендикулярно до напрямку маг­нітного поля, індукція якого змінюється за законом , де Знайти значення ЕРС,що індукується в контурі в момент часу Площа рамки .

30.5. В коловому контурі радіусом що поміщений в одно­рідне магнітне поле, яке змінюється з часом, індукується ЕРС , де . Кут між нормаллю до площини контуру і вектором магнітної індукції дорівнює . Визначити залежність , якщо .

30.6. Рамка площею рівномірно обертається з часто­тою відносно осі, що лежить у площині рамки і перпенди­ку­лярна до ліній індукцій однорідного магнітного поля з Виз­начити се­реднє значення ЕРС за час, протягом якого магнітний потік, що про­низує рамку, зміниться від нуля до максимального значення.

30.7. Рамка, що має витків, площею рівномірно обертається з частотою у магнітному полі індук­цією Вісь обертання лежить у площині рамки і перпенди­кулярна до ліній напруженості. Визначити максимальну ЕРС індукцій, яка виникає в рамці.

30.8. Квадратна рамка зі стороною що має витків, обертається в однорідному магнітному полі біля осі, перпен­дикулярної до напрямку поля. Чому дорівнює індукція поля, якщо рамка обертається з частотою а максимальна ЕРС індукцій, що вини­кає в рамці, дорівнює ?

30.9. На котушку завдовжки і діаметром що не має залізного осердя, намотано витків дроту. По котушці про­ходить струм, який змінюється за законом . Визначити най­більше зна­чен­ня ЕРС самоіндукції в котушці.

30.10. Соленоїд містить витків. Площа перетину осердя (з немагнітного матеріалу) По обмотці проходить струм, що створює магнітне поле з індукцією Визначити середнє зна­чення ЕРС самоіндукції, яка виникає на затискачах соленоїда, якщо сила струму зменшується практично до нуля за час

Електромагнітні коливання

Основні формули

1. Період власних електро­магнітних коливань контуру, що склада­ється з котушки

індук­тивності , конденсатора єм­ністю , активного опору :

2. Якщо активним опором можна знехтувати , то отримуємо формулу Томсона:

.

3. Загасаючі коливання в контурі описуються рівнянням

де , , – коефіцієнт загасання.

4. Логарифмічний декремент загасання

5. Якщо , то коливання незагасаючі і

6. Енергія магнітного поля

7. Довжина електромагнітної хвилі, яку випромінює контур,

де – швидкість хвилі у вакуумі.

Приклад розв'язання задачі

Коливальний контур склада­ється з конденсатора ємністю і котушки індуктив­ністю з кіль­кіс­тю витків Омічним опо­ром контуру можна знехтувати. Максимальна напруга на обклад­ках конденсатора Ви­значити максимальний магніт­ний потік, що пронизує котушку.

Розв'язання

Напруга на обкладках кон­ден­сатора змінюється з часом за гармонічним законом:

де – максимальна напруга
на обкладках конденсатора; – циклічна частота; j – початкова фаза.

Сила струму в контурі змі­нюється також за гармонічним законом з такою самою частотою w₀, як і напруга, але зі зміщенням за фазою на , тобто

Амплітуда сили струму

Магнітний потік може бути знайдений із рівності

Магнітний потік змінюється з часом синхронно із силою струму і, отже, досягає екстре­мальних значень тоді ж, коли і сила струму.

Тоді максимальний магніт­ний потік

Підставимо числові значення:

Задачі контрольної роботи

31.1. Коливальний контур має індуктивність електро­ємність і максимальна напруга на затискачах Визначити максимальну силу струму в контурі. Активний опір контуру дуже малий.

31.2. Коливальний контур складається з конденсатора елект­роємністю і котушки індуктивності Яка мак­симальна напруга на обкладках конденсатора, якщо максимальна сила струму ?

31.3. Рівняння зміни з часом різниці потенціалів на обкладках кон­денсатора в коливальному контурі має вигляд . Ємність конденсатора . Знайти індуктивність контуру, закон зміни з часом сили струму в колі і довжину хвилі, яку випромінює контур.

31.4. Рівняння зміни з часом сили струму в коливальному контурі має вигляд . Індуктивність контуру Знайти ємність контуру, максимальну енергію магнітного поля і максимальну енергію електричного поля.

31.5. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю і конденсатора ємністю . При якому логариф­мічному декременті і омічному опорі різниця потенціалів на обкладках конденсатора зменшиться в разів за повні коливання?

31.6. Коливальний контур приймача настроєний на довжину хвилі . Яка власна частота коливань контуру, якщо його індуктивність дорівнює , а опір ?

31.7. У коливальному контурі, індуктивність якого , заряд конденсатора зменшується в разів за період Визначити опір контуру.

31.8. Коливальний контур має ємність й індуктивність . Логарифмічний декремент загасання . За який час внаслідок загасання втратиться енергії контуру?

31.9. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю і котушки з індуктивністю і опором Обкладки конденсатора мають заряд . Знайти логариф­мічний декремент загасання і різницю потенціалів в момент часу .

31.10. Коливальний контур складається з котушки, індуктивність якої і омічний опір , і конденсатора ємністю . Яку середню потужність повинен споживати контур, щоб в ньому підтримувались незагасаючі коливання з амплітудним значення напруги на конденсаторі ?

Електромагнітні хвилі

Основні формули

1. Рівняння плоскої моно­хроматичної електромагнітної хви­лі, яка поширюється вздовж до­датного напрямку осі X

де w – колова частота хвилі; – хвильове число; j – початкові фази коливань в точках з координатою .

2. Миттєві значення i в довільній точці зв'язані спів­відношенням

3. Фазова швидкість електро­магнітних хвиль

де – швидкість електромаг­нітних хвиль у вакуумі.

4. Об'ємна густина енергії електромагнітних хвиль

5. Вектор густини потоку енергії електромагнітної хвилі – вектор Умова-Пойнтинга

.

6. Iнтенсивність монохро­ма­тичної біжучої електромагнітної хвилі

Приклад розв'язання задачі

Інтенсивність плоскої елект­ромагнітної хвилі, що поширю­ються у вакуумі вздовж осі Х дорівнює . Визначити амплітуду напруженості магніт­ного поля хвилі.

Розв’язання

Оскільки інтенсивність елект­ромагнітної хвилі – це середня енергія, що проходить через оди­ницю площі поверхні за одиницю часу, то , де – модуль вектора Умова-Пойнтинга:

,

де і – відповідно миттєві значення напруженостей елект­ричного і магнітного полів хвилі, які описуються рівняннями

,

,

де і – відповідно амп­літуди напруженостей елект­рич­ного і магнітного полів хвилі, – кругова частота, – хвильо­ве число.

Миттєве значення модуля вектора Умова-Пойнтинга

,

а його середнє значення

,

оскільки .

Миттєві значення і у довільній точці зв’язані співвід­ношеннями

,

де і – відповідно елект­рична і магнітна сталі; і – відповідно електрична і маг­нітна проникність середовища у ваку­умі і .

Тоді

.

В результаті

.

Звідси

.

Підставимо числові значення фізичних величин і проведемо розрахунок:

Задачі контрольної роботи

32.1. Плоска електромагнітна хвиля поши­рюється в речовині з Визначити діелектричну проникність речовини і вектор Умова-Пойнтинга.

32.2. В однорідному ізотропному середовищі з і поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда напруженості електрич­ного поля хвилі . Знайти амплітуду напруженості магнітного поля хвилі та фазову швидкість хвилі.

32.3. У середовищі з і поширюється плоска електро­магнітна хвиля. Амплітуда напруженості електричного поля . На шляху хвилі перпендикулярно до напрямку її поширення розта­шована поглинаюча поверхня, що має форму кола радіусом . Яку енергію поглине ця поверхня за час ? Період хвилі .

32.4. У середовищі і поширюється плоска електро­магнітна хвиля. Амплітуда напруженості магнітного поля . Визначити енергію, що переноситься хвилею за час через поверхню площею , що розташована перпендикулярно до напрямку поширення хвилі. Період хвилі .

32.5. В однорідному ізотропному середовищі з і поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда напруженості магнітного поля . Знайти амплітуду напруженості електричного поля хвилі і фазову швидкість поширення.

32.6. У вакуумі поширюється вздовж осі X плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда напруженості магнітного поля хвилі . Визначити амплітуду напруженості електричного поля хвилі і середню за часом густину енергії хвилі.

32.7. Плоска електромагнітна хвиля поширюється в речовині з Визначити діелектричну проникність речовини і вектор Умова-Пойнтинга.

32.8. У вакуумі поширюється плоска електромагнітна хвиля з . Амплітуда електричного вектора На шляху хвилі знаходиться поглинаюча поверхня, що має форму напівсфери радіусом і яка вершиною повернута в напрямку поширення хвилі. Яку енергію поглинає ця поверхня за час ?

32.9. Густина енергії електромагнітного поля у вакуумі Визначити вектор Умова-Пойнтинга для цього поля та кількість енергії, що переноситься за час через площу яка є перпен­дикулярною до напрямку поширення хвиль.