Определённый интеграл Римана

Й семестр 2006 / 2007 уч. года

Tест:

1) Композиция двух сюръективных функций сюръективна.

2) При всяком разбиении множества всех вещественных чисел на две части

хотя бы в одной из частей есть наименьший или наибольший элемент.

3) Всякая граничная точка является либо предельной, либо изолированной.

4) Всякая предельная точка является либо граничной, либо внутренней.

5) Множество всех иррациональных чисел имеет мощность континуум.

6) Разность открытого и замкнутого множеств есть множество открытое.

7) Сумма открытого и замкнутого множеств не открыта и не замкнута.

8) На числовой прямой с обычным расстоянием множество ограничено тогда

и только тогда, когда у него есть точная нижняя и точная верхняя грани.

9) Из всякой последовательности вещественных чисел можно выбрать

монотонную подпоследовательность.

10) Из всякой последовательности вещественных чисел можно выбрать

сходящуюся подпоследовательность.

11) Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

12) Всякая фундаментальная последовательность ограничкна.

13) Сумма двух связных множеств связна.

14) Сумма двух компактных множеств компактна.

15) Монотонная функция имеет не более чем счётное число точек разрыва.

16) Непрерывная на ограниченном множестве функция ограничена.

17) Непрерывная на интервале функция равномерно непрерывна на нём.

18) Если функции равномерно непрерывна на отрезке,

то она и дифференцируема на нём.

19) Если функция дифференцируема на отрезке, то в точке её абсолютного

максимума производная этой функции равна нулю.

Лекция 1. (среда, 14.02.07)

Характер и содержание курса во 2-ом семестре.

Г.М. Фихтенгольц «Основы математического анализа», т. 1,2

Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. 1,2

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Основы математического анализа» , части 1,2

4. Г.Е. Шилов «Математический анализ. Части 1-2. Функции одного переменного»

В.А. Зорич «Математический анализ» , т.1,2

С.М. Никольский «Курс математического анализа» , т. 1,2

Л.Д. Кудрявцев «Математический анализ» , т. 1,2

8. У. Рудин «Основы математического анализа»

---------------------------------------------------------------------------------------------

8. Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по мат. анализу»

И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий

«Задачи и упражнения по математическому анализу»

8. Неопределённый интеграл

Определения первообразной (примитивной) функции F(x) и неопределённого интеграла òf(x)dx = {F(x) + C} .

Связь операций ò и d . Линейность òf(x)dx .

Способы вычисления неопределённых интегралов:

1) Используя таблицу неопределённых интегралов.

2) Интегрирование по частям (примеры: ò lnx dx , ò e^x cosx dx ,

I = ò x^-1 dx = { x^-1 = u, dx = dv } = ... Þ I = I+1 ).

Задача 1. Проведите вывод формулы И.Бернулли (1693):

ò f(x)dx = xf(x) - (x²/2!)f¢(x) + ... +(-1)ⁿ(xⁿ⁺¹/(n+1)!)f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) + r_n (x),

Найдите r_n (x) . Как связаны формулы Бернулли и Тейлора?

3) Преобразование подинтегрального выражения и замена

переменной (примеры: ò (lnx / x) dx , ò cos³x dx , ò (1 - x²) ^1/2 dx ).

Лекция 2. (среда, 14.03.07)

Определённый интеграл Римана

Определения разбиения s :a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b отрезка [a,b], диаметра разбиения d(s) = max Dx_i , где Dx_i = x_i – x_i-1 (i = 1, 2, … , n), интегральных сумм Римана

интеграла Римана

и интегрируемости по Риману f(x) Î R_[a,b] .

Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Римана.

Определение и геометрическая интерпретация нижней и верхней сумм Дарбу

и

где

, a

Из приведённых выше определений видно, что

Свойства сумм Дарбу:

1) При измельчении разбиения s (т. е. при добавлении новых точек разбиения) нижняя сумма Дарбу S(s) не убывает, а верхняя сумма Дарбу `S(s) не возрастает.

2) Всякая нижняя сумма Дарбу S(s₁) не превосходит всякой верхней суммы Дарбу `S(s₂).

3) Существуют

Если функция интегрируема на отрезке, то она и ограничена на нём.

Если функция не ограничена на отрезке , то она и не интегрируема на нём.

Критерии интегрируемости по Риману

ограниченной на отрезке [a, b] функции f(x)

Критерий Дарбу

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда

и только тогда, когда разность её сумм Дарбу стремится к нулю

вместе с диаметром разбиения

Доказательство. “Þ” f(x) Î R_[a,b] , S(s, x) ® I ,"e > 0 $d > 0 "s ,

d(s) < d : | S(s, x) - I | < e/3 . Переходя к точным нижним и верхним граням по всем x , получаем: "e > 0 $d > 0 "s , d(s) < d : | S(s) - I | £ e/3 , | `S(s) – I | £ e/3 , | `S(s) - S(s) | £ 2e/3 < e .

“Ü” `S(s) - S(s)® 0 , S(s) £ I £ `I £ `S(s) , S(s) £ S(s, x)£`S(s),

поэтому S(s, x) ® I = I = `I #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 2. Как связана интегрируемость функции

а) с условием sup_s inf_x S(s, x) = inf_s sup_x S(s, x),

б) с условием lim S(s_n, x) при n®¥ существует и одинаков для

любой последовательности разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ...

с d(s_n) ® 0 и при любом выборе x ,

в) с условием lim S(s_n) = lim`S(s_n) для любой последовательности

разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ... с d(s_n) ® 0 ,

г) с условием lim [S(s’ , x’) - S(s” , x”)] = 0

при max{d(s’), d(s”)} ® 0 и при любом выборе x’ и x”

д) с условием "e > 0 $s’, s”: `S(s”) - S(s’) < e

Задача 3.Проверьте выполнение условия Дарбу для функции Римана.

Критерий Римана

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда для любого a > 0 сумма длин тех сегментов разбиения, колебания функции на которых ³ a ,

стремится к нулю вместе с диаметром разбиения

Доказательство. Проверим равносильность условий Дарбу и Римана.

“Þ” Пусть выполнено условие Дарбу. Тогда

“Ü” Пусть выполнено условие Римана. Тогда

если сначала зафиксировать a < e/2(b-a) , а затем взять d такое, что

где W = w(f , [a, b]) – колебание функции f(x) на сегменте [a, b] .

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 4.Проверьте выполнение условия Римана для функции Римана.

Лемма Бэра (о связи между колебаниями функции на сегменте

и в точках этого сегмента относительно сегмента)

1) колебание функции в любой точке сегмента (относительно этого сегмента) не больше колебания функции на всём сегменте; колебание функции на сегменте не меньше колебания в любой точке сегмента (относительно этого сегмента),

2) если в каждой точке сегмента D колебание функции < a ,

то $ d > 0 такое, что на " сегменте D¢Ì D длиной < d

колебание функции будет < a .

Доказательство. 1) следует непосредственно из определений колебания функции на множестве и в точке. 2) докажем от противного. Пусть в каждой точке x сегмента [a, b] колебание функции w(f, x) будет < a , но "d > 0 $ сегмент [a¢, b’]Ì [a, b] длиной b' - a' < d , колебание функции на котором w(f, [a’, b’]) будет ³ a . Тогда существует последовательность сегментов [a_n , b_n] из [a , b] таких, что b_n - a_n ® 0 , но w(f, [a_n , b_n]) ³ a . Из ограниченной последовательности a_n , a £ a_n £ b можно выбрать подпоследовательность a_Кn , a £ a_Кn £ b ,сходящуюся к некоторому числу x , a £ x £ b , при этом b_Кn - a_Кn ® 0 . Но любая окрестность этой точки x (в пересечении с сегментом [a , b] ) содержит некоторый сегмент [a_Кn , b_Кn] , колебание функции на котором w(f, [a_Кn , b_Кn]) будет ³ a . Поэтому и w(f, x) будет ³ a (?!) .

Критерий дю Буа-Реймона

Обозначим Е_a = { x Î [a, b] таких, что w(f, x) ³ a }

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда для любого a > 0 множество E_a всех тех точек разрыва функции f(x), колебание в которых ³ a , имеет жорданову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины

Доказательство. Проверим равносильность условий Римана и дю Буа-Реймона.

“Þ” Пусть выполнено условие Римана. Тогда

“Ü” Пусть выполнено условие дю Буа-Реймона. Тогда pg(E_a) = 0 , то есть

Не умаляя общности, можно считать, что эти интервалы попарно не пересекаются и попарно не соприкасаются (всякие два пересекающихся или соприкасающихся друг с другом интервала (a’, b’) и (a”, b”) можно без увеличения суммарной длины заменить одним интервалом (min{a’,a”}, max{b’, b”}) ). Обозначим через D₁ , D₂ ,… сегменты-промежутки между соседними интервалами; число таких сегментов будет не больше к+1 , и в каждой точке любого их этих сегментов колебание функции w(f, x) будет < a . Выберем теперь, в соответствии с утверждением 2) леммы Бэра, для каждого из сегментов D_j своё d_j и обозначим за d’ наименьшее из всех d_j (j=1, 2, 3, …, k+1) . Тогда для любого разбиения s с диаметром d(s) < d’ всякий сегмент [x_i-1, x_i] этого разбиения, колебание w(f , [x_i-1, x_i]) на котором будет ³ a , не лежит целиком ни в одном из сегментов D_j . Поэтому для суммарной длины таких сегментов справедлива оценка:

при d(s) < d , если сначала зафиксировать конечный набор (a_i, b_i) с суммой длин меньше e/2 , а затем взять d = min{d’, e/4k} . #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 5.Проверьте выполнение условия дю Буа-Реймона для ф-ии Римана.

Критерий Лебега

Обозначим Е = { x Î [a, b] таких, что w(f, x) > 0 }

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда множество всех её точек разрыва имеет лебегову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную или счётную систему интервалов общей сколь угодно малой длины

Доказательство. Проверим равносильность условий дю Буа-Реймона и Лебега.

“Þ” Пусть выполнено условие дю Буа-Реймона, то есть для любого a > 0 множество E_a всех тех точек разрыва функции f(x), колебание в которых ³ a , может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины. Заметим, что

Для каждого n покроем множество E_1/n конечным набором интервалов общей длины меньше e/2ⁿ . Тогда объединение по всем n ÎN таких наборов будет не более чем счётным набором интервалов, вместе (в объединении) покрывающих множество E и имеющих суммарную длину меньше

e/2 + e/4 +e/8 + ...= e .

“Ü” Пусть выполнено условие Лебега. Тогда множество E всех точек разрыва функции f(x) , а вместе с ним и множество Е_a Ì Е для любого a > 0 может быть заключено в конечную или счётную систему интервалов общей сколь угодно малой длины. Осталось заметить, что множество Е_a для любого a > 0 компактно, то есть (в соответствии с критерием компактности на числовой прямой с обычным расстоянием) замкнуто и ограничено. Ограниченность множества Е_a очевидна, Е_a Ì [a, b] . Проверим замкнутость Е_a . Согласно критерию замкнутости, нужно показать, что (Е_a)’ Ì Е_a . Пусть x Î (Е_a)’. Тогда во множестве Е_a найдётся последовательность x_n такая, что x_n ® x . Так как в любой окрестности Ux точки x содержатся все x_n , начиная с некоторого номера, то w(f,Ux) будет ³ w(f, x_n) ³ a. Поэтому и w(f, x) = inf w(f,Ux) будет ³ a , то есть x Î Е_a . #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Замечания (о множествах меры нуль):

1) всякое конечное множество есть множество жордановой меры нуль, а всякое

конечное или счётное множество есть множество лебеговой меры нуль,

2) всякое множество жордановой меры нуль есть и множество лебеговой меры

нуль. Обратное, вообще говоря, не верно. Например, множество [a, b] Ç Q

есть множество лебеговой меры нуль, но не жордановой меры нуль,

3) всякое компактное множество лебеговой меры нуль есть и множество

жордановой меры нуль,

4) объединение любого конечного числа множеств жордановой меры нуль есть

множество жордановой меры нуль, а объединение любого конечного или

счётного числа множеств лебеговой меры нуль есть множество лебеговой

меры нуль.

Задача 6.Проверьте выполнение условия Лебега для функции Римана.

Задача 7.Покажите, что интегрируемость по Риману и значение

интеграла Римана не изменятся при изменении значений

функции в любом конечном числе точек, но могут

измениться при изменении значений функции

в счётном числе точек.

Лекция 3. (пятница, 16.03.07)

Свойства функций, интегрируемых по Риману:

1) Линейная комбинация интегрируемых функций интегрируема.

f(x)Î R_{[a, b]} , g(x)Î R_{[a, b]} ; l ,mÎ R Þ l× f(x) + m × g(x) Î R_{[a, b]} ,

так как E[l× f + m × g] Ì E[f] È E[g] .

2) Произведение интегрируемых функций интегрируемо.

f(x)Î R_{[a, b]} , g(x)Î R_{[a, b]} Þ f(x) × g(x) Î R_{[a, b]} ,

так как E[f × g] Ì E[f] È E[g] .

3) Композиция непрерывной и интегрируемой функций интегрируема. f(x)Î R_{[a, b]} , g(y) непрерывна на f([a, b]) Þ g(f(x)) Î R_{[a, b]} ,

так как E[g(f)] Ì E[f] .

Задача 8.Всегда ли будет интегрируемой композиция интегрируемой

и непрерывной функций?

Свойства определённого интеграла:

1) Интеграл есть аддитивная функция промежутка.

Если f(x)Î R_{[a, b]} , то " xÎ [a, b]: f(x)Î R_{[a, x]} , f(x)Î R_{[x, b]} , и

2) Интеграл от линейной комбинации интегрируемых функций

есть линейная комбинация интегралов.

Если f(x)Î R_{[a, b]} , g(x)Î R_{[a, b]} , то " l ,mÎ R :

3) Интеграл от неотрицательной функции неотрицателен.

Если f(x)Î R_{[a, b]} , f(x) ³ 0 , то и

4) Интеграл от неменьшей функции неменьше.

Если f(x), g(x)Î R_{[a, b]} , g(x) ³ f(x) , то и

Задача 9. Покажите, что интеграл от неотрицательной и непрерывной функции

равен нулю тогда и только тогда, когда эта функция тождественно

равна нулю.

5) Интегрируемая функция и абсолютно интегрируема,

при этом модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля.

Если f(x)Î R_{[a, b]} ,то и |f(x)|Î R_{[a, b]} , при этом

6) Оценки для интеграла, среднее значение функции, 1-я теорема о среднем. Если f(x)Î R_{[a, b]} и m £ f(x) £ M ,то

Число называется средним значением функции f(x)

на отрезке [a, b] . Всегда справедливо: .

1-я теорема о среднем: если функция f(x) непрерывна на [a, b] , то её

среднее значение m на этом отрезке достигается в некоторой точке x ,

промежуточной между a и b , при этом:

+ геометрическая интерпретация

Задача 10.Проведите док-во обобщенной 1-ой теоремы о среднем:

если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция

g(x) интегрируема и неотрицательна на [a, b] , то

найдётся точка x , промежуточная между a и b , что:

Лекция 4. (среда, 21.03.07)