Интеграл Римана - Стильтьеса

Пусть на отрезке [a,b] определены две функции f(x) и g(x) .

Определения разбиения s :a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b отрезка [a,b], диаметра разбиения d(s) = max Dx_i (i = 1, 2, … , n), интегральных сумм Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x)

где x_i-1 £ x_i £ x_i , Dg_i = g(x_i) – g(x_i-1), интеграла Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x)

и интегрируемости функции f(x) по функции g(x) на отрезке [a,b].

Критерий Коши. Интеграла Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x) существует тогда и только тогда, когда

Теорема (о связи между интегралами fdg и gdf ).

Из существования одного из интегралов

следует существование и другого интеграла (другими словами: если f(x) интегрируема по функции g(x) на отрезке [a,b] , то и g(x) интегрируема по функции f(x) на отрезке [a,b], и наоборот) ,

при этом справедлива формула интегрирования по частям:

Свойства интеграла Римана – Стильтьеса:

1.

2.

3.

4.

5. ,

если a < b < c и интеграл от а до с существует

Замечание. Из существования интегралов от а до b и от b до с не следует, вообще говоря, существования интеграла от а до с

(+ пример: a = 0, b = 1, c = 2, f(x) = 0 при 0 £ x £ 1 и f(x) = 1 при 1 < x £ 2 , g(x) = 0 при 0 £ x < 1 и g(x) = 1 при 1£ x £ 2) .

Определение нижней и верхней сумм Дарбу – Стильтьеса для случая возрастающей функции g(x) :

и

где , a

Из приведённых выше определений видно, что для случая возрастающей функции g(x)

Свойства сумм Дарбу для случая возрастающей функции g(x):

1. При измельчении разбиения s (т. е. при добавлении новых точек разбиения) нижняя сумма Дарбу S(s) не убывает, а верхняя сумма Дарбу `S(s) не возрастает.

2. Всякая нижняя сумма Дарбу S(s₁) не превосходит всякой верхней суммы Дарбу `S(s₂).

3. Существуют

Критерий Дарбу. Ограниченная функция f(x) интегрируема по монотонной функции g(x) на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда

Лекция 11. (пятн, 04.05.07)

Теорема (о достаточных условиях существования интеграла Римана – Стильтьеса). Для существования интегралов Римана-Стильтьеса

достаточно выполнения любого из следующих условий:

1. Одна из функций f(x) и g(x) непрерывна на [a, b] , а другая имеет на [a, b] ограниченную вариацию.

2. Одна из функций f(x) и g(x) интегрируема по Риману на [a, b] , а другая липшицируема на [a, b] .

3. Одна из функций f(x) и g(x) непрерывна на [a, b] , а другая представима на [a, b] в виде

С и С_j - const, r(x-x_j) = 0 при х £ x_j и = 1 при х > x_j ,

а j(x) - некоторая непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Доказательство.

1. Пусть, например, функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) имеет на [a, b] ограниченную вариацию. Тогда функцию g(x) можно представить на [a, b] в виде разности двух монотонно возрастающих функций g₁(x) = V(x) и g₂(x)= V(x) - g(x)

(где V(x) - вариация функции g(x) на участке [a, х] ). А так как

то достаточно рассмотреть случай монотонно возрастающей

функции g(x) . Проверим выполнение условия Дарбу:

при d(s) ® 0 в силу равномерной непрерывности функции f(x)

на отрезке [a, b] .

2. Пусть, например, функция f(x) интегрируема по Риману на [a, b] , а функция g(x) липшицируема на [a, b] . Тогда функцию g(x) можно представить на [a, b] в виде разности двух монотонно возрастающих функций g₁(x) = V(x) и g₂(x)= V(x) - g(x) , причём обе функции g₁(x) и g₂(x) также будут липшицируемы на [a, b] . А так как

то достаточно рассмотреть случай возрастающей и липшицируемой

функции g(x) . Проверим выполнение условия Дарбу:

при d(s) ® 0 в силу интегрируемости по Риману функции f(x)

на отрезке [a, b] .

3. Так как

то достаточно проверить существование всех трёх интегралов

в правой части. Но первые два вычисляются непосредственно

и равны соответственно 0 и cумме C_jf(x_j) , а для третьего

интеграла справедливы условия 2 .

Замечание. Условие 3. можно ослабить. Теорема остаётся справедливой,

если фукнция j(x) интегрируема на [a , b] хотя бы в несобственном смысле.

Теорема (о вычислении интеграла Римана – Стильтьеса).

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] , а g(x) представима на [a, b] в виде С и С_j - const,

r(x-x_j) = 0 при х £ x_j и = 1 при х > x_j , а j(x) - некоторая непрерывная на отрезке [a, b] функция. Тогда

+ пример: [a, b] = [-2, 2]; f(x) = x³ + 1; g(x) = x + 2 при –2 £ x £ -1 , g(x) = 2 при –1 < x £ 1 , g(x) = x² + 3 при 1 < x £ 2

Задача 23. Покажите, что интеграл Стильтьеса от a до b от x^.dF(x)

можно в случае монотонно возрастающей и ограниченной функции

F(x) геометрически интерпретировать как площадь между

графиком F(x) и осью ординат.

Задача 24. Каков геометрический смысл интегралов Стильтьеса от gdf и

fdg и формулы интегрирования по частям в случае непрерывной

и монотонно возрастающей функции f(x) и монотонной

и ограниченной функции g(x) .

Теорема (об оценках для интеграла Римана – Стильтьеса).

1) Если на отрезке [a, b] функция f(x) ограничена, m £ f(x) £ M ,

а функция g(x) монотонна, то

2) Если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) имеет

на [a, b] ограниченную вариацию, то

Теорема (2-я теорема о среднем для интеграла Римана).

Если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) возрастает

на [a, b] , то найдётся точка x между a и b такая, что

Лекция 12. (пятница, 11.05.07)