необходимо расчитаться со всеми долгами по практике!

Сдача долгов по практике

и консультации:

6 июня, среда – с 13⁰⁰ до 17⁰⁰

7 июня, четверг – с 13⁰⁰ до 17⁰⁰

24 июня, воскресенье – с 15⁰⁰ до 17⁰⁰

25 июня, понедельник – с 15⁰⁰ до 17⁰⁰

26 июня, вторник – с 15⁰⁰ до 17⁰⁰

Последний день сдачи коллоквиума – 7 июня

На экзамене

сначала даются две задачи по практике на 40 минут,

затем также на 40 минут даётся билет,

содержащий один вопрос и одну задачу по теории

Итоговая оценкасоставляется из

семестровой оценки по практике,

оценки по коллоквиуму,

оценки по практике на экзамене,

оценки по теории на экзамене,

оценки по дополнительным вопросам и задачам

Критерий Дарбу

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда

и только тогда, когда разность её сумм Дарбу стремится к нулю

вместе с диаметром разбиения

Критерий ЛебегаОбозначим Е = { x Î [a, b] таких, что w(f, x) > 0 }

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда множество всех её точек разрыва имеет лебегову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную или счётную систему интервалов общей сколь угодно малой длины

Замечания (о множествах меры нуль):

1) всякое конечное множество есть множество жордановой меры нуль, а всякое

конечное или счётное множество есть множество лебеговой меры нуль,

2) всякое множество жордановой меры нуль есть и множество лебеговой меры

нуль. Обратное, вообще говоря, не верно. Например, множество [a, b] Ç Q

есть множество лебеговой меры нуль, но не жордановой меры нуль,

3) всякое компактное множество лебеговой меры нуль есть и множество

жордановой меры нуль,

4) объединение любого конечного числа множеств жордановой меры нуль есть

множество жордановой меры нуль, а объединение любого конечного или

счётного числа множеств лебеговой меры нуль есть множество лебеговой

меры нуль.

Свойства функций, интегрируемых по Риману:

4) Линейная комбинация интегрируемых функций интегрируема.

f(x)Î R_{[a, b]} , g(x)Î R_{[a, b]} ; l ,mÎ R Þ l× f(x) + m × g(x) Î R_{[a, b]} ,

так как E[l× f + m × g] Ì E[f] È E[g] .

5) Произведение интегрируемых функций интегрируемо.

f(x)Î R_{[a, b]} , g(x)Î R_{[a, b]} Þ f(x) × g(x) Î R_{[a, b]} ,

так как E[f × g] Ì E[f] È E[g] .

6) Композиция непрерывной и интегрируемой функций интегрируема. f(x)Î R_{[a, b]} , g(y) непрерывна на f([a, b]) Þ g(f(x)) Î R_{[a, b]} ,

так как E[g(f)] Ì E[f] .

№ 2205 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Пусть f(x) Î R_[a,b]. Покажите, что тогда и только тогда, когда f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е .

Решение: “Þ” Пусть . Покажем, что f(x) = 0 во всех точках

x Î [a , b] \ Е . Предположим противное. Пусть f(x₀) ¹ 0 в некоторой точке

x₀ Î [a , b] непрерывности функции f(x) . Тогда f²(x) > l >0 в некоторой

d–окрестности точки x₀ . Поэтому (?!) .

“Ü” Пусть f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е . Покажем, что тогда . Предположим противное, пусть . Тогда ® l > 0 при D = d(s) ® 0 . Тогда для любого разбиения s сегмента [a , b] найдётся отрезок [x_i-1 , x_i] , на котором f(x) ≥ m_i ≥ l(2b – 2a) > 0 . Тогда отрезок [x_i-1 , x_i] не содержит ни одной точки непрерывности функции f(x) . Далее:

а) используя критерий Дарбу. (?!) . Зафиксируем этот отрезок [x_i-1 , x_i] = [p , g] и покажем, что даже та часть разности сумм Дарбу, которая соответствует сегментам разбиения, имеющим с данным фиксированным отрезком [p , g] общие точки, не стремится к нулю при D = d(s) ® 0 . Действительно, для любого разбиения s сегмента [a , b] колебание функции на каждом частичном сегменте, попадающем в [p , g] будет больше некоторого положительного числа m (см. док-во леммы Бэра), и тогда ≥m(g–p) > 0 (?!) .

Лемма Бэра Если в каждой точке сегмента D колебание функции < a ,

то $ d > 0 такое, что на " сегменте D¢Ì D длиной < d колебание функции будет < a . Доказательство. От противного. Пусть в каждой точке x сегмента [a, b] колебание функции w(f, x) будет < a , но "d > 0 $ сегмент [a¢, b’]Ì [a, b] длиной b' - a' < d , колебание функции на котором w(f, [a’, b’]) будет ³ a . Тогда существует последовательность сегментов [a_n , b_n] из [a , b] таких, что b_n - a_n ® 0 , но w(f, [a_n , b_n]) ³ a . Из ограниченной последовательности a_n , a £ a_n £ b можно выбрать подпоследовательность a_Кn , a £ a_Кn £ b ,сходящуюся к некоторому числу x , a £ x £ b , при этом b_Кn - a_Кn ® 0 . Но любая окрестность этой точки x (в пересечении с сегментом [a , b] ) содержит некоторый сегмент [a_Кn , b_Кn] , колебание функции на котором w(f, [a_Кn , b_Кn]) будет ³ a . Поэтому и w(f, x) будет ³ a (?!) .

б) используя критерий Лебега. Поэтому множество Е всех точек разрыва функции f(x) на [a , b] содержит отрезок [x_i-1 , x_i] и, следовательно, не покрывается никакой конечной или счётной системой интервалов общей длины меньше, чем длина сегмента [x_i-1 , x_i] (?!) .

№ 2194 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Покажите, что разрывная функция интегрируема на промежутке [0 , 1] .

Решение: Построим график функции

а) используя критерий Лебега.

Так как - счётно, то mЕ = 0 и f(x) Î R_[0,1] .

б) используя критерий дю Буа-Реймона.

Так как ,

то pg Е = 0 при всех a < 2 и, следовательно, f(x) Î R_[0,1] .

в) используя критерий Римана.

Разобьём все «плохие» сегменты [x_i-1 , x_i] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] , и все остальные. Тогда разность сумм Дарбу

,

где k - количество «плохих» сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] ,

k зависит от l и от s , . Если теперь сначала зафиксировать

l < e/2 , а затем взять d < e/2k , то сумма длин всех «плохих» сегментов разбиения и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .

г) используя критерий Дарбу.

Разобьём все сегменты [x_i-1 , x_i] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] ,

и все остальные. Тогда

,

где M - оценка для |f(x)| на [a , b] , k - количество сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] и содержащих хотя бы одну из точек 1/n , k зависит от l

и от s , , w - колебание функции f(x) на [a , b] , w £ 2M . Если теперь сначала зафиксировать l < e/4M , а затем взять d < e/2kw , то разность сумм Дарбу и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .

№ 2205 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Пусть f(x) Î R_[a,b]. Покажите, что тогда и только тогда, когда f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е .

Решение: “Þ” Пусть . Покажем, что f(x) = 0 во всех точках

x Î [a , b] \ Е . Предположим противное. Пусть f(x₀) ¹ 0 в некоторой точке

x₀ Î [a , b] непрерывности функции f(x) . Тогда f²(x) > l >0 в некоторой

d–окрестности точки x₀ . Поэтому (?!) .

“Ü” Пусть f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е . Покажем, что тогда . Предположим противное, пусть . Тогда ® l > 0 при D = d(s) ® 0 . Тогда для любого разбиения s сегмента [a , b] найдётся отрезок [x_i-1 , x_i] , на котором f(x) ≥ m_i ≥ l(2b – 2a) > 0 . Тогда отрезок [x_i-1 , x_i] не содержит ни одной точки непрерывности функции f(x) . Поэтому множество Е всех точек разрыва функции f(x) на [a , b] содержит весь отрезок [x_i-1 , x_i] и, следовательно, не покрывается никакой конечной или счётной системой интервалов общей длины меньше, чем длина [x_i-1 , x_i] (?!) .

Задача 1. Проведите вывод формулы И.Бернулли (1693):

ò f(x)dx = xf(x) - (x²/2!)f¢(x) + ... +(-1)ⁿ(xⁿ⁺¹/(n+1)!)f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) + r_n (x),

Найдите r_n (x) . Как связаны формулы Бернулли и Тейлора?

Задача 2. Как связана интегрируемость функции

а) с условием sup_s inf_x S(s, x) = inf_s sup_x S(s, x),

б) с условием lim S(s_n, x) при n®¥ существует и одинаков для

любой последовательности разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ...

с d(s_n) ® 0 и при любом выборе x ,

в) с условием lim S(s_n) = lim`S(s_n) для любой последовательности

разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ... с d(s_n) ® 0 ,

г) с условием lim [S(s’ , x’) - S(s” , x”)] = 0

при max{d(s’), d(s”)} ® 0 и при любом выборе x’ и x”

д) с условием "e > 0 $s’, s”: `S(s”) - S(s’) < e

Задача 3.Проверьте выполнение условия Дарбу для функции Римана.

Задача 4.Проверьте выполнение условия Римана для функции Римана.

Задача 5.Проверьте выполнение условия дю Буа-Реймона для ф-ии Римана.

Задача 6.Проверьте выполнение условия Лебега для функции Римана.

Задача 7.Покажите, что интегрируемость по Риману и значение

интеграла Римана не изменятся при изменении значений

функции в любом конечном числе точек, но могут

измениться при изменении значений функции

в счётном числе точек.

Задача 8.Всегда ли будет интегрируемой композиция интегрируемой

и непрерывной функций?

Задача 9. Покажите, что интеграл от неотрицательной и непрерывной функции

равен нулю тогда и только тогда, когда эта функция тождественно

равна нулю.

Задача 10.Проведите док-во обобщенной 1-ой теоремы о среднем:

если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция

g(x) интегрируема и неотрицательна на [a, b] , то

найдётся точка x , промежуточная между a и b , что:

Задача 11.Проведите док-во 2-й теоремы о замене переменной в определённом

интеграле ( с f(x) Î R_[a,b] и x(t) Î C¹_[a,b] , |x¢(t)| ³ l > 0 ).

Задача 12. Покажите, что каждое из следующих утверждений

равносильно квадрируемости ограниченной фигуры А :

а) существуют конечные системы вписанных и описанных

многоугольников со сколь угодно малой разностью

сумм их площадей, то есть " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

а объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ;

б) площадь (или внешняя мера) границы фигуры равна нулю, то есть

" e > 0 существует конечный набор многоугольников

М₁’, М₂’ , … , М_к’ таких, что объединение всех М_j’

покрывает (содержит) множество gА ;

в) существуют последовательности конечных систем вписанных

и описанных прямоугольников с общим пределом сумм

их площадей, то есть найдётся вещественное неотрицательное

число S такое, что " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ,

а сумма площадей М_i отличается от S меньше чем на e ,

и сумма площадей М_j’ отличается от S меньше чем на e ;

г) существуют последовательности конечных систем вписанных и

описанных многоугольников, разность сумм площадей которых

стремится к нулю, то есть " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ,

а сумма площадей М_j’ отличается от суммы площадей М_i

меньше чем на e .

Задача 13. Покажите, что в определении квадрируемости можно

заменить произвольные многоугольники на фигуры

с уже установленной квадрируемостью.

Задача 14. Покажите, что подобные фигуры (или тела)

одновременно квадрируемы или не квадрируемы.

Установите соотношения между площадями подобных

фигур (объёмами подобных тел).

Задача 15. Докажите, что мера Пеано-Жордана аддитивна, то есть

если множества А и В pg-измеримы и А Ç B =Æ ,

то их сумма А + B также будет pg-измеримa

и при этом pg(A + B) = pg(A) + pg(B) .

Для неотрицательной на отрезке [a, b] функции f(x) определим интеграл Римана как плоскую меру Пеано-Жордана подграфика функции f(x), то есть положим по определению

Для произвольной функции f(x) определим интеграл Римана как разность плоских мер подграфиков функций f₊(x) и f_-(x), то есть положим по определению

где

Задача 16. Покажите равносильность приведённого определения

с исходным определением интегрируемости по Риману.

Задача 17. Выведите формулу для объёма тела, полученного

вращением подграфика неотрицательной на отрезке

[a, b] , 0 < a < b функции y(x) вокруг оси y .

Задача 18. Проведите вывод формулы Архимеда - Паппа - Гульдина:

объём V тела, полученного вращением фигуры S

вокруг непересекающей её оси равен произведению

площади фигуры S на длину окружности 2px₀ ,

описываемую центром тяжести фигуры.

Задача 18*. Покажите, что отношение периметров круга и описанного

многоугольника равно отношению их площадей.

Покажите, что отношение площадей поверхности шара

и описанного многогранника равно отношению их объёмов.

Задача 19. Покажите, что центр тяжести - аффинный инвариант,

то есть при любом аффинном преобразовании центром тяжести

образа всякой фигуры будет образ её центра тяжести.

Задача 20. Можно ли в определении вариации V(f) заменить

sup v(f,s ) по всем s на lim v(f,s ) при d(s) ® 0 ?

Задача 21. Покажите, что функция V(x) непрерывна

в каждой точке непрерывности f(x) .

Задача 22. Проведите доказательство свойства 3) функций ограниченной

вариации, исходя из критерия ограниченности вариации.

Задача 23. Покажите, что интеграл Стильтьеса от a до b от x^.dF(x)

можно в случае монотонно возрастающей и ограниченной функции

F(x) геометрически интерпретировать как площадь между

графиком F(x) и осью ординат.

Задача 24. Каков геометрический смысл интегралов Стильтьеса от gdf и

fdg и формулы интегрирования по частям в случае непрерывной

и монотонно возрастающей функции f(x) и монотонной

и ограниченной функции g(x) .

.

Задача 25. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и равномерно относительно этой

переменной непрерывна по другой переменной, то она

непрерывна и по совокупности переменных.

Задача 26. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и липшицируема по другой переменной,

то она непрерывна и по совокупности переменных.

Задача 27. Покажите, что если функция непрерывна по каждой из

двух переменных в отдельности и монотонна по одной

из них, то она непрерывна и по совокупности этих

переменных (теорема Юнга).