Функции нескольких переменных

Определение и геометрическая интерпретация функции двух переменных, пример (№ 3138). Простые, повторные и двойной пределы, примеры (№№ 3181, 3182, 3183, 3183.1, 3186, 3187), теорема о связи между простым, повторным и двойным пределами.

Лекция 13. (среда, 16.05.07)

Непрерывность и равномерная непрерывность, определения, связь между ними, липшицируемость как достаточное условие равномерной непрерывности, свойства непрерывной на компакте функции, примеры (№№ 3202, 3203.1, 3203.2).

Задача 25. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и равномерно относительно этой

переменной непрерывна по другой переменной, то она

непрерывна и по совокупности переменных.

Задача 26. Покажите, что если функция непрерывна по одной

переменной и липшицируема по другой переменной,

то она непрерывна и по совокупности переменных.

Задача 27. Покажите, что если функция непрерывна по каждой из

двух переменных в отдельности и монотонна по одной

из них, то она непрерывна и по совокупности этих

переменных (теорема Юнга).

Частные производные первого порядка, определение, геометрическая интерпретация, пример вычисления частных производных в данной точке непосредственно по определению.

Дифференцируемость и дифференциал, определение, геометрическая интерпретация, примеры (проверка непосредственно по определению дифференцируемости многочлена в точке, № 3212.1).

Лекция 14 (пятн., 18.05.07)

Теорема.

1) Из дифференцируемости функции в данной точке следуют её непрерывность по совокупности переменных и существование всех частных производных первого порядка в этой точке.

2) Из существования всех частных производных первого порядка в данной точке не следует, вообще говоря, даже непрерывность по совокупности переменных в этой точке.

Дифференцирование сложных и неявных функций,

теорема о дифференцируемости композиции дифференцируемых функций, пример (№ 3284), вычисление частных производных неявно заданной функции, пример (№ 3383).

Теорема (о достаточных условиях дифференцируемости функции в точке).

Для дифференцируемости функции в точке достаточно, чтобы все её частные производные первого порядка существовали в некоторой окрестности этой точки и были непрерывны в самой точке.

Лекция 15 (среда, 23.05.07)

Частные производные высших порядков, определение и примеры (полином + № 3230), теорема об условиях равенства смешанных производных.

Дифференциалы высших порядков, определение и примеры.

Замечание (об инвариантности формы дифференциалов любого порядка при линейном преобразовании).

Формула Тейлора для функции нескольких переменных, её вывод и примеры.

№ 2194 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Покажите, что разрывная функция интегрируема на промежутке [0 , 1] .

Решение: Построим график функции

а) используя критерий Лебега.

Так как - счётно, то mЕ = 0 и f(x) Î R_[0,1] .

б) используя критерий дю Буа-Реймона.

Так как ,

то pg Е = 0 при всех a < 2 и, следовательно, f(x) Î R_[0,1] .

в) используя критерий Римана.

Разобьём все «плохие» сегменты [x_i-1 , x_i] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] , и все остальные. Тогда разность сумм Дарбу

,

где k - количество «плохих» сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] ,

k зависит от l и от s , . Если теперь сначала зафиксировать

l < e/2 , а затем взять d < e/2k , то сумма длин всех «плохих» сегментов разбиения и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .

г) используя критерий Дарбу.

Разобьём все сегменты [x_i-1 , x_i] разбиения на две части: те, которые Ì [0 , l] ,

и все остальные. Тогда

,

где M - оценка для |f(x)| на [a , b] , k - количество сегментов, не лежащих целиком на [0 , l] и содержащих хотя бы одну из точек 1/n , k зависит от l

и от s , , w - колебание функции f(x) на [a , b] , w £ 2M . Если теперь сначала зафиксировать l < e/4M , а затем взять d < e/2kw , то разность сумм Дарбу и будет меньше e , как только d(s) будет меньше d .

№ 2205 (из сборника задач Б.П.Демидовича). Пусть f(x) Î R_[a,b]. Покажите, что тогда и только тогда, когда f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е .

Решение: “Þ” Пусть . Покажем, что f(x) = 0 во всех точках

x Î [a , b] \ Е . Предположим противное. Пусть f(x₀) ¹ 0 в некоторой точке

x₀ Î [a , b] непрерывности функции f(x) . Тогда f²(x) > l >0 в некоторой

d–окрестности точки x₀ . Поэтому (?!) .

“Ü” Пусть f(x) = 0 во всех точках x Î [a , b] \ Е . Покажем, что тогда . Предположим противное, пусть . Тогда ® l > 0 при D = d(s) ® 0 . Тогда для любого разбиения s сегмента [a , b] найдётся отрезок [x_i-1 , x_i] , на котором f(x) ≥ m_i ≥ l(2b – 2a) > 0 . Тогда отрезок [x_i-1 , x_i] не содержит ни одной точки непрерывности функции f(x) . Поэтому множество Е всех точек разрыва функции f(x) на [a , b] содержит весь отрезок [x_i-1 , x_i] и, следовательно, не покрывается никакой конечной или счётной системой интервалов общей длины меньше, чем длина [x_i-1 , x_i] (?!) .

Для допуска к экзамену