Аддитивная мера Пеано-Жордана

Первое определение меры произвольного множества на числовой прямой принадлежит Кантору (1883г.) и Штольцу (1884г.). Несколько позже (1885г.) равносильное определение было предложено Гарнаком.

Определение меры по Кантору. Пусть А – произвольное ограниченное множество на числовой прямой. Для любой точки х из замыкания `А множества А рассмотрим интервал (х - e , х + e) радиуса e > 0 с центром в точке х . Выберем далее для каждого фиксированного e > 0 из открытого покрытия {(x - e , x + e) , x Î`A} компактного множества `А какое-нибудь конечное подпокрытие {(x<sub>i</sub> - e , x<sub>i</sub> + e) , i = 1,2,3,..,k , x<sub>i</sub> Î`A} и определим меру Кантора k(A) множества A как .

Определение меры по Штольцу. Пусть А – произвольное ограниченное множество на числовой прямой, А Ì [a , b] . Пусть s_n – произвольная последовательность расширяющихся ( ) разбиений отрезка с диаметром разбиения, стремящимся к нулю. Пусть D_i(s_n) - длины сегментов разбиения s_n , содержащич точки из множества А . Определим меру Штольца s(A) множества A как .

Определение меры по Гарнаку. Пусть А – произвольное ограниченное множество на числовой прямой, А Ì [a , b] . На первом шаге удалим из [a , b] все интервалы длины ³ (b – a)/2 , не содержащие точек из [a , b] . На втором шаге удалим из остатка отрезка [a , b] все интервалы длины ³ (b – a)/3 , не содержащие точек из [a , b] . И так далее. И определим меру Штольца s(A) множества A как предел общей длины остатка при стремлении числа шагов к бесконечности.

Все эти определения были существенно развиты, дополнены и упрощены Пеано (1887г.) и Жорданом (1892г.).

Линейная мера Пеано-Жордана.

Внутренней мерой Пеано-Жордана pg_i(A) произвольного ограниченного множества A на числовой прямой R называется точная верхняя грань сумм длин промежутков по всевозможным конечным системам промежутков, попарно не пересекающихся и целиком содержащихся во множестве A .

Внешней мерой Пеано-Жордана pg_e(A) произвольного ограниченного множества A на числовой прямой R называется точная нижняя грань сумм длин промежутков по всевозможным конечным системам промежутков, вместе (в объединении) покрывающих (содержащих) множество A .

Для произвольного ограниченного множества A на числовой прямой R справедливо неравенство 0 £ pg_i(A) £ pg_e(A) .

Ограниченное множество A на числовой прямой R называется измеримым по Пеано-Жордану , pg-измеримым или имеющим линейную меру (длину) Пеано-Жордана, если его внутренняя мера равна его внешней мере, то есть если pg_i(A) = pg_e(A) . При этом общее значение внутренней и внешней мер множества A обозначают просто pg(A) и называют линейной мерой (длиной) Пеано-Жордана множества A .

Отметим, что для того, чтобы ограниченное множество A на числовой прямой R было измеримо по Пеано-Жордану и при этом имело меру нуль ( pg(A) = 0 ), необходимо и достаточно, чтобы внешняя мера этого множества pg_е(A) была равна нулю , то есть чтобы множество A можно было покрыть конечным набором промежутков общей сколь угодно малой длины. Множеством жордановой меры нуль будут, например, произвольное конечное множество и произвольное счётное множество с конечным числом предельных точек. Напротив, множество всех рациональных точек произвольного ограниченного промежутка положительной длины будет вовсе не измеримо по Пеано-Жордану.

Плоская мера Пеано-Жордана . Квадрируемость.

Внутренней плоской мерой Пеано-Жордана pg_i(A) произвольного ограниченного множества A на плоскости R² называется точная верхняя грань сумм площадей многоугольников по всевозможным конечным системам многоугольников, попарно не пересекающихся и целиком содержащихся во множестве A .

Внешней плоской мерой Пеано-Жордана pg_e(A) произвольного ограниченного множества A на плоскости R² называется точная нижняя грань сумм площадей многоугольников по всевозможным конечным системам многоугольников, вместе (в объединении) покрывающих (содержащих) множество A .

Для произвольного ограниченного множества A на плоскости R² cправедливо неравенство 0 £ pg_i(A) £ pg_e(A) .

Ограниченное множество A на плоскости R² называется измеримым по Пеано-Жордану , pg-измеримым, имеющим плоскую меру (площадь) Пеано-Жордана, или квадрируемым, если его внутренняя плоская мера равна его внешней плоской мере, то есть если pg_i(A) = pg_e(A) . При этом общее значение внутренней и внешней мер множества A обозначают просто pg(A) и называют плоской мерой (площадью) Пеано-Жордана множества A .

Отметим, что для того, чтобы ограниченное множество A на числовой прямой R было измеримо по Пеано-Жордану и при этом имело плоскую меру нуль ( pg(A) = 0 ), необходимо и достаточно, чтобы внешняя плоская мера этого множества pg_е(A) была равна нулю, то есть чтобы множество A можно было покрыть конечным набором многоугольников общей сколь угодно малой длины. Множеством жордановой плоской меры нуль на плоскости R² будут, например, произвольное конечное множество точек или отрезков.

Объёмная мера Пеано-Жордана и кубируемость ограниченных тел из пространства R³ определяются аналогично. Достаточно в приведённых выше определениях заменить многоугольники на многогранники и квадрируемость на кубируемость.

Задача 12. Покажите, что каждое из следующих утверждений

равносильно квадрируемости ограниченной фигуры А :

а) существуют конечные системы вписанных и описанных

многоугольников со сколь угодно малой разностью

сумм их площадей, то есть " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

а объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ;

б) площадь (или внешняя мера) границы фигуры равна нулю, то есть

" e > 0 существует конечный набор многоугольников

М₁’, М₂’ , … , М_к’ таких, что объединение всех М_j’

покрывает (содержит) множество gА ;

в) существуют последовательности конечных систем вписанных

и описанных прямоугольников с общим пределом сумм

их площадей, то есть найдётся вещественное неотрицательное

число S такое, что " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ,

а сумма площадей М_i отличается от S меньше чем на e ,

и сумма площадей М_j’ отличается от S меньше чем на e ;

г) существуют последовательности конечных систем вписанных и

описанных многоугольников, разность сумм площадей которых

стремится к нулю, то есть " e > 0 существуют конечные наборы

многоугольников М₁ , М₂ , … , М_к и М₁’ , М₂’ , … , М_l’ такие,

что М_i Ç М_j = Æ при i¹j , М_i Ì А при любом i = 1, 2, …, k ,

объединение всех М_j’ покрывает (содержит) множество А ,

а сумма площадей М_j’ отличается от суммы площадей М_i

меньше чем на e .

Задача 13. Покажите, что в определении квадрируемости можно

заменить произвольные многоугольники на фигуры

с уже установленной квадрируемостью.

Задача 14. Покажите, что подобные фигуры (или тела)

одновременно квадрируемы или не квадрируемы.

Установите соотношения между площадями подобных

фигур (объёмами подобных тел).

Задача 15. Докажите, что мера Пеано-Жордана аддитивна, то есть

если множества А и В pg-измеримы и А Ç B =Æ ,

то их сумма А + B также будет pg-измеримa

и при этом pg(A + B) = pg(A) + pg(B) .

+ пример: доказательство Архимеда квадрируемости сектора круга

Определение интегрируемости по Риману и интеграла Римана

через квадрируемость и плоскую меру подграфика функции f(x)

Для неотрицательной на отрезке [a, b] функции f(x) определим интеграл Римана как плоскую меру Пеано-Жордана подграфика функции f(x), то есть положим по определению

Для произвольной функции f(x) определим интеграл Римана как разность плоских мер подграфиков функций f₊(x) и f_-(x), то есть положим по определению

где

Задача 16. Покажите равносильность приведённого определения

с исходным определением интегрируемости по Риману.

Квадрируемость и площадь фигуры, ограниченной лучами

j = a , j = b и кривой r = r(j) Î R_[a,b]

Лекция 7. (среда, 11.04.07)