Функции с ограниченной вариацией

Введём следующие обозначения:

Будем говорить, что f(х) – функция ограниченной вариации

(имеет ограниченную вариацию или имеет ограниченное изменение)

на отрезке [a, b], если её полная вариация V(f) на этом отрезке ограничена,

то есть если .

Свойства функций ограниченной вариации:

1) всякая функция ограниченной вариации ограничена;

2) вариация по сумме конечного числа отрезков равна

сумме вариаций по этим отрезкам;

3) сумма и разность двух функций ограниченной вариации

есть функция ограниченной вариации,

произведение функции ограниченной вариации на число

есть функция ограниченной вариации,

произведение двух функции ограниченной вариации

есть функция ограниченной вариации,

частное двух функции ограниченной вариации

есть функция ограниченной вариации при условии,

что знаменатель отделён от нуля

Если функция f(х) монотонна на [a, b], то

+ примеры: 1) f(x)-const ;

2) f(x)= sinx на [0, p/2] и на [0, 2p],

3) f(x) = 2 - x при 0 £ x < 1, f(x) = 2 при x = 1,

f(x) = x - 1 при 1 < x < 2, f(x) = 0 при x = 2 ,

4) f(x) -функция Дирихле

Задача 20. Можно ли в определении вариации V(f) заменить

sup v(f,s ) по всем s на lim v(f,s ) при d(s) ® 0 ?

Замечание. В случае неограниченного промежутка, например [a, +¥], положим по определению

Теорема (о достаточных условиях ограниченности вариации). Для огран-ности

вариации функции f(x) на [a, b] достаточно выполнения любого из условий:

1) монотонность и ограниченность f(x) на [a, b],

2) кусочная монотонность и ограниченность f(x) на [a, b],

3) липшицируемость f(x) на [a, b],

4) непрерывная дифференцируемость f(x) на [a, b],

5) представление f(x) на [a, b] в виде const + интеграл

с переменным верхним пределом от некоторой

интегрируемой функции:

Лекция 9. (пятница, 27.04.07)

Формула для вычисления вариации непрерывно дифференцируемой

на отрезке [a, b] функции f(x) :

Теорема (критерий ограниченности вариации).

Для того, чтобы функция имела ограниченную вариацию на данном отрезке, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить на данном отрезке

в виде разности двух монотонных и ограниченных функций, то есть

где функции f₁(x) и f₂(x) монотонны и ограничены на [a , b] .

Доказательство: “Þ” Если функция f(x) имеет на [a , b] ограниченную вариацию, то f(x) можно на [a , b] представить в виде:

Проверим, что функции f₁(x) = V(x) и f₂(x) = V(x) - [V(x) - f(x)]

монотонны и ограничены на [a , b] . При x’ < x” имеем:

“Ü” Пусть функция f(x) представима на [a, b] в виде разности монотонных и ограниченных функций f₁(x) и f₂(x). Тогда обе функции f₁(x) и f₂(x) имеют на [a, b] ограниченные вариации, причём V(f₁) =½ f₁ (b ) - f₁(a)½ и V(f₂) =½ f₂ (b) - f₂(a)½. Поэтому,согласно свойству 3) функций ограниченной вариации, и их разность, то есть функция f(x) , имеет на [a, b] ограниченную вариацию.

Задача 21. Покажите, что функция V(x) непрерывна

в каждой точке непрерывности f(x) .

Задача 22. Проведите доказательство свойства 3) функций ограниченной

вариации, исходя из критерия ограниченности вариации.