Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Матрицы, действия над ними. Нулевая, квадратная, диагональная и единичная матрицы. Определители матриц второго и третьего порядка, их свойства. Определители более высокого порядка.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Векторные и скалярные величины. Вектор как направленный отрезок. Равенство векторов, понятие свободного вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Теорема о линейной зависимости векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Различные способы задания вектора в пространстве. Задача о делении вектора в данном отношении.

4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Механический смысл скалярного произведения. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

5. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Геометрический и механический смысл векторного произведения.

6. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства и выражение через координаты сомножителей. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

7. Поверхность. Уравнение поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

8. Прямая в пространстве трех измерений. Векторное, параметрические и каноническое уравнения прямой. Прямая в пространстве как линия пересечения плоскостей. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью.

9. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, через две точки, уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

10. Кривые второго порядка. Вывод канонических уравнений, исследование формы по уравнению Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Асимптоты гиперболы.

11. Задача преобразования координат. Параллельный перенос и поворот координатной системы. Упрощение уравнений некоторых кривых при помощи преобразования координат.

Тема 2. Введение в математический анализ

12. Понятие функции как отображения множества на множество. Способы задания функции. Область определения. Основные элементарные функции, их графики. Элементарные функции. Неявные функции.

13. Числовая последовательность и функция натурального аргумента. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (без доказательства).

Предел функции в точке и в бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними. Теоремы о бесконечно малых. Теорема о разложении функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую.

14. Основные теоремы о пределах (о пределе суммы, произведения и частного). Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Раскрытие неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Натуральные логарифмы.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентных при вычислении пределов.

15 Непрерывность функции в точке на интервале. Нахождение предела непрерывной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями. Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства сложной функции. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке (без доказательства).

Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебники

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. − М. Наука, 1984. – 319 с.

2. Бугров Я.С., Никольский. С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. – 222 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 240 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 224 с.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х частях. Ч. 1. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 648 с.

6. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – К.: Либідь, 1996. – 440 с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2-х томах. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с.

8. Улітін Г.М., Гончаров А.М. Курс лекцій з вищої математики: Навчальний посібник. Ч. І-ІІ.– Донецьк: ДонНТУ, 2009. – 219 с.

Руководства к решению задач

9. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В 3-х частях. Ч. 1. – Донецк: ДонНТУ, 2005. − 584 с.

10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х частях. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986. − 304 с.