Элементарные функции непрерывны во всей области их определения

Если функция не является непрерывной в некоторой точке, она называется разрывной в этой точке. В зависимости от того, какое условие непрерывности нарушается, различают следующие типы точек разрыва:

1) если существуют конечныеодносторонние пределы при x → x₀ слева и справа, которые не равны между собой, то эта точка называется точкой конечного разрыва или точкой разрыва первого рода;

2) если существуют конечные односторонние пределы при x → x₀ слева и справа, которые равны между собой, но не равны значению функции в точке x → x₀ то эта точка называется точкой устранимого разрыва;

3) если хотя бы один из односторонних пределов при x → x₀ слева или справа, равен бесконечности, то эта точка называется точкой бесконечного разрыва или точкой разрыва второго рода.

Пример 38. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x₀ = 3. Вычислим пределы заданной функции при x → 3 слева и справа:

, .

Один из односторонних пределов равен бесконечности. Следовательно, x₀ = 3 – точка разрыва функции второго рода (точка бесконечного разрыва).

Пример 39. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x₀ = 0. Вычислим пределы заданной функции при x → 0 слева и справа:

(первый замечательный предел).

Значит, оба предела конечные и равны между собой. Следовательно, точка x₀ = 0 есть точка устранимого разрыва. Разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке x₀ = 0, положив f (0) = 1.

Пример 40. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Эта функция не является элементарной. Она непрерывна на промежутках (-∞; 0), (0; 2) и (2; +∞). Непрерывность может нарушаться в точках x₁ = 0 и x₂ = 2. Исследуем каждую из них в отдельности.

, .

Оба предела конечные, но не равны между собой. Следовательно, точка x₁ = 0 − точка разрыва первого рода (точка конечного разрыва).

, ,

.

Итак, .

Значит, точка x₂ = 2 – точка непрерывности функции.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

«Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной. Правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

а) длину ребра А₂А₄;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) уравнение плоскости, проходящей через вершину А₄ параллельно основанию А₁А₂А₃;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на основание А₁А₂А₃.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

Задание 4. Даны координаты вершин треугольника Р₁, Р₂, Р₃. Найти:

а) уравнение медианы, проведённой к стороне Р₁Р₂;

б) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины Р₁.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

Задание 5. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

Контрольная работа № 2

«Введение в математический анализ»

Задание 1.Найти область определения функции.

1.1.	а) ;	б) .
1.2.	а) ;	б) .
1.3.	а) ;	б) .
1.4.	а) ;	б) .
1.5.	а) ;	б) .
1.6.	а) ;	б) .
1.7.	а) ;	б) .
1.8.	а) ;	б) .
1.9.	а) ;	б) .
1.10.	а) ;	б) .

Задание 2. Найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

2.1.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.2.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.3.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.4.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.5.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.6.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.7.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.8.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.9.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .
2.10.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) .

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и установить их характер. Сделать схематический чертеж.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

Программа,

методические указания и контрольные задания

по курсу “Высшая математика”

Часть І

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии,

введение в математический анализ

(для студентов заочной формы обучения)

Составители: Азарова Наталья Викторовна

Дегтярёв Валерий Степанович

Евсеева Елена Геннадиевна

Рубцова Ольга Александровна

Соловьева Злата Александровна

Рецензент: доц. Абдулин Рафаиль Наилович