Декартовы координаты. Способы задания вектора

Литература: [1]‚ гл. I‚§§ 1, 2

[2]‚ § 5

[9]‚ гл.·3‚ § 3.2

Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .

Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Например, . Здесь , , − базисные векторы. Коэффициенты , , разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами , , . Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис , , поэтому называется ортонормированным.

Любой вектор в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде .

Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения , , (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле:

.

Направление вектора задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:

, , .

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

Если векторы и коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:

, , .

Откуда, введя обозначение , получим условия коллинеарности векторов и :

.

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , причем и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

, , ,

при этом длина вектора определяется следующим образом

.

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются

.

При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число

.

Пример 11. Вектор составляет с осями координат острые углы α, β, γ, причем α = 45˚, β = 60˚. Найти его координаты, если .

Решение. Прежде всего, найдем угол . C учетом того, что угол острый, имеем

, .

Искомые координаты вектора

Итак, .