Смешанное произведение трех векторов

Литература: [1]‚ гл. І‚ § 3

[2]‚ § 13;

[9]‚ гл.·3‚ § 3.5

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное векторному произведению векторов и скалярно умноженному на вектор : . Обозначается .

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение не изменится, если переставить перемножаемые векторы в круговом порядке

;

2) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит только знак

;

3) смешанное произведение компланарных векторов равно 0;

4) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах: .

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , и определяется по формуле: .

Если векторы , и заданы в координатной форме, то их смешанное произведение вычисляется при помощи определителя

.

Пример 17. Найти объем пирамиды, имеющей вершины в точках А(5, 5, 6), В(4, 5, 4), С(4, 3, 3), D(2, 2, 2).

Решение. С ребрами пирамиды совпадают векторы . Найдем эти векторы: (-1, 0, -2), (-1, -2, -5), (-3, -3, -4).

(ед³).

Пример 18. Доказать, что точки А(1, 0, 7), В(-1, -1, 2), С(2, -2, 2) D(0, 1, 9) лежат в одной плоскости.

Решение. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы , и компланарны. Найдем эти векторы:

(-2, -1, -5), (1, -2, -5), (-1, 1, 2).

Проверяем условие компланарности трех векторов :

.

Так как смешанное произведение трех векторов равно 0, то они компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая на плоскости

Литература: [1], гл. II, § 2, п. 1-3, 5, § 3, п. 1

[3], гл. 16-20

[9]‚ гл.·1‚ § 1.1

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением первой степени (иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет прямую.

В системе Oxy общее уравнение прямой − это уравнение вида . Частные случаи:

1) , т. е. , , − прямая проходит через начало координат;

2) , т.е. , , − это уравнение преобразуется к виду , оно определяет прямую параллельную оси Оx; аналогично, уравнение или определяет прямую параллельную оси Оy;

3) − прямая совпадает с осью Оx; аналогично, − это уравнение прямой, совпадающей с осью Оy.

Если в общем уравнении прямой , то разделив его на , получим уравнение вида , которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем .

Коэффициент k называется угловым коэффициентом, так как он равен тангенсу угла наклона прямой к оси Оx ( ). Свободный член уравнения b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оy и называется величиной смещения прямой вдоль оси Оy.

Прямая на плоскости может быть задана каноническим или параметрическими уравнениями.

Здесь − координаты точки, через которую проходит прямая, − координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку , имеет вид .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид .

Уравнение прямой в отрезках , где a и b − это величины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей, т. е. прямая проходит через точки и .

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Углом между прямой и прямой называется наименьший угол, на который нужно повернуть прямую до ее совпадения с прямой . Угол между прямыми и определяется по формуле (угол φ – острый).

Для параллельных прямых и . Поэтому условие параллельностипрямых – равенство их угловых коэффициентов . Условие перпендикулярности прямых .

Пример 19. Даны вершины треугольника А(1, 2), В(3, -2) и С(1, -4). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану ВМ.

Решение. Точка M − средина отрезка AC. Найдем ее координаты:

, .

Составим уравнение медианы ВМ (через две точки):

Угловой коэффициент прямой ВМ равен . Прямая AD перпендикулярна прямой ВМ, следовательно, . Перпендикуляр AD, уравнение которого нужно составить, проходит через точку А(1, 2) и имеет угловой коэффициент . Поэтому его уравнение имеет вид или .

Кривые второго порядка

Литература: [1], гл. III, § 2, п. 1-3

[3], гл. V, §§ 34-36

[9], гл. 1, §§ 1.2-1.5

Линии, которые определяются уравнением второй степени относительно текущих координат, называются линиями (кривыми) второго порядка. К линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность ─ это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Уравнение определяет окружность радиуса R с центром в точке С(x₀, y₀). Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение принимает вид .

Эллипс ─это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a) и большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса находятся на оси Ox на равных расстояниях от начала координат в точках и , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

.

Здесь a – большая, b – малая полуоси эллипса. Величины a, b и с связаны соотношением .

Форму эллипса (меру его сжатия) характеризует эксцентриситет ε (0< ε <1).

Гипербола ─это геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a) и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы с фокусами в точках и имеет вид:

,

где a – действительная, b – мнимая

полуоси гиперболы. Величины a, b и с

связаны соотношением и .

Эксцентриситет гиперболы ε (ε >1). Гипербола имеет две асимптоты (прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от произвольной точки М гиперболы до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой от начала координат).

Парабола ─это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая (p>0), а фокусом − точка , где p – параметр параболы, то каноническое уравнение параболы имеет вид:

.

Пример 20. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.

Решение. Приведем уравнение кривой к каноническому виду. Для этого выделим вначале полные квадраты:

, .

Разделив обе части уравнения на 4, получим

.

Сделаем замену , . Тем самым мы выполним параллельный перенос системы координат в точку О₁, которая в «старой» системе координат Оxy имеет координаты (1, -2).

В «новой» системе координат О₁x₁y₁ уравнение кривой имеет вид:

.

Это каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью a=2 и мнимой полуосью b=1, график которой представлен на рисунке 3.1.