Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Литература: [9]‚ гл.·3‚ § 3.8

Вопросы взаимного расположения плоскости и прямой сводятся, в основном, к установлению взаимного расположения нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой .

Углом между прямой и плоскостью называется наименьший угол между прямой и ее проекцией на плоскость:

.

Условие параллельности прямой и плоскости определяется условием перпендикулярности векторов и :

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости определяется условием параллельности векторов и :

.

Пример 24. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Решение. Так как искомая прямая перпендикулярна заданной плоскости, то нормальный вектор плоскости одновременно служит направляющим вектором прямой, т.е. .

Подставляя в каноническое уравнение прямой координаты точки и направляющего вектора , получим

.

Пример 25. Найти точку, симметричную точке , относительно прямой, проходящей через точки и .

Решение. Через точку P проведем плоскость α, перпендикулярную прямой M₁M₂. Точка O − точка их пересечения. Точка N − искомая точка. Ввиду симметрии PO = ON.

Каноническое уравнение прямой M₁M₂:

.

Откуда .

Перейдем к параметрическим уравнениям этой прямой: , , .

Уравнение плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку имеет вид или .

Координаты точки О пересечения плоскости α с прямой M₁M₂ находим решением системы уравнений:

Отсюда или . Следовательно, значение параметра . Тогда координаты точки О:

.

Точка О − срединная для отрезка . Поэтому

.

Из этих формул определяем координаты искомой точки N:

,

,

.

Итак, .

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Понятие функции

Литература: [7], гл. I, §§ 1-9

[9], гл. 4, § 4.1

Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому элементу x из некоторого числового множества D соответствует вполне определенное значение y из другого множества E. Величина x называется аргументом или независимой переменной, а множество D − областью определения функции. Множество E называется множеством значений функции. Функция может быть задана таблицей, графически, аналитически. Графиком функции называется множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Основными элементарными функциями называются следующие аналитически заданные функции:

1) степенная функция , где − действительное число;

2) показательная функция , , ;

3) логарифмическая функция , , ;

4) тригонометрические функции , , , ;

5) обратные тригонометрические функции , , .

Сложные функции или суперпозиции функций − это элементарные функции, аргумент которых в свою очередь представляет собой функции. Этот аргумент называется промежуточной функцией.

Например, . Здесь аргументом тригонометрической функции является степенная функция .

Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций посредством конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и имеющих конечное число суперпозиций.

Например, или . Элементарные функции задаются одной формулой.

Пример неэлементарной функции

.