Линейных алгебраических уравнений

Литература: [1]‚ гл. V‚ § 5

[2]‚ § 15

[9]‚ гл. 2, § 2.4

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной матрице , если для нее выполняется условие

.

где Е − единичная матрица того же порядка, что и матрица .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы 3-го порядка:

.

Вычисляем определитель det A этой матрицы. Он должен быть отличен от нуля. Затем находим алгебраические дополнения элементов матрицы А (А₁₁, А₁₂, ..., А_nn). Из них строим присоединенную матрицу по следующему правилу: алгебраические дополнения элементов строк матрицы А составляют соответствующие столбцы матрицы :

.

Обратную матрицу получаем по формуле:

.

Для матрицы А размерности обратная матрица имеет вид:

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Построим следующие матрицы:

, , .

Здесь А − основная матрица системы, X − матрица-столбец неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов уравнений системы.

Тогда, используя операцию умножения матриц, данную систему можно представить в матричном виде

Пусть , тогда для матрицы существует обратная матрица .

Для нахождения элементов неизвестной матрицы умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу :

Так как , а , то получим

Пример 6. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Вначале убедимся, что эта матрица невырожденная. Для этого вычислим ее определитель:

Значит, для матрицы существует обратная матрица .

Обозначим через матрицу-столбец из неизвестных и через В − матрицу-столбец из свободных членов уравнений системы:

, .

Тогда заданную систему уравнений можно записать в матричном виде , откуда .

Строим обратную матрицу .

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Записываем присоединенную матрицу

Тогда обратная матрица имеет вид

.

Для проверки правильности построения обратной матрицы нужно проверить, выполняются ли равенства и :

Равенство проверяем аналогично.

Находим неизвестную матрицу X

.

Элементы матрицы составляют решение заданной системы уравнений, т.е. .

Общий случай линейной алгебраической системы уравнений.

Условие совместности

Литература: [1]‚ гл. V‚ §§ 3, 4

[2]‚ §§ 3, 4

[9]‚ гл. 2, § 2.4

Ранг матрицы

Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы А, называется минором k-го порядка, порожденным данной матрицей.

Например, для матрицы А

минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы: . Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:

и т.д.

Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка

Рангом матрицы А (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.

Так как этот минор отличен 0, то .

Вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, затруднительно. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) умножение какой-либо строки (столбца) на число ,

2) перестановка двух строк (столбцов),

3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число .

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,

.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду.

Пример 7. Найти ранг матрицы

.

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду, для чего:

1) поменяем местами 1-ю и 2-ю строки;

2) прибавим ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (-2),

к 3-й строке 1-ю, умноженную на (-1);

3) прибавим к 3-й строке 2-ю, умноженную на (-2).

Получим

~ ~ ~ .

У матрицы, приведенной к ступенчатому виду, две ненулевые строки, значит, ранг этой матрицы равен 2.

Итак, .