Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей

Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

Основные понятия ТВ.

Под событием ТВ понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры: А-появление герба при бросании монеты; В-появление 3-х гербов при 3-х кратном бросании монеты; С-попадание в цель при выстреле.

Будем рассматривать вначале классическую вероятностную модель, которая используется для описания опытов с конечным числом взаимно-исключающих возможных исходов. Пусть результаты опыта описываются с взаимно-исключающими исходами . Эти исходы называют также элементарными событиями.

Мн-во –это мн-во всех элементарных исходов называют множеством элементарных событий. Любое случайное событие А связанное с данным опытом может быть связано посредством перечисления всех элементарных событий, при которых оно происходит A={ }. Исходы наз-ют благоприятствующими событию А. Событие состоящее из всех возможных исходов наз-ют достоверным. |A|-число элементарных событий входящих в А. Вероятность- числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определимых могущих повторятся неограниченное число раз (обозначение P(A)).

Классическое определение вероятности:Классические вероятностные модели P(A)= (*). Более общий подход в определении P(A) следующий: с каждым из элементарных исходов связывающие неотрицательное число причём . Пусть A={ } тогда полагают, что P(A)= . Легко видеть, что (*) получается из послед-ей в случае, если .

,

число перестановок из m элементов

число упорядоченных размещений из n элементов по k

Статистическое определение вероятности

В основе лежит эксперимент. Проводят серию из n опытов, в каждом из которых может появиться событие A.Пусть А появилось в m случаях, тогда величина наз-ся относительной частотойсобытия А. Её часто наз-ют статистической вероятностью события А. Обозначение: .

Геометрическое определение вероятности

Геометрической вероятностью явл-ся вероятностной моделью с бесконечным числом исходов. Возьмём в качестве элементарных событий мн-во точек плоскости. Считаем, что в этой плоскости задана система ккординат, Ω событие A . Вероятностью события А в модели геом-х вероятностей наз-ся число P(A)=

2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события.

Отношение между событиями

А\В-это событие состоящее в том, что А происходит, а В-нет.

Свойства алгебраических операций над событиями:

1. А+В=В+А

2. А*В=В*А

3. (А+В)+С=А+(В+С)

4. (А*В)*С=А*(В*С)

5. (А+В)*С=А*С+В*С

А и В события, А В-событие А влечёт за собой событие В.

А=В- событие А тождественно событию В и означает А В и В А.

Система F подмножеств множества такая, что:

1. Ω

2. если А, В , то А+В и А*В

3. если А , то

называется алгеброй.Система F замкнута относительно операций +,*, -отрицание. Если система F замкнута относительно алгебраических операций над счётным числом событий, то она наз-ся σ-алгеброй.( )

Счётное мн-во - бесконечное мн-во м/д элементами, которого и элементами мн-ва натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.

Аксиоматическое определение вероятностей события

Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей.

Свойства вероятностей:

1. P(A) P(A)

2. P(Ω)=1

Событие А+В наз-ют суммой событий А и В, если считается, что А+В происходит ó когда происходит одно из событий.

Произведение А*В-событие состоящее в том, что происходит и событие А и событие В.

Событие А и В наз-ся несовместными, если они не могут произойти одновременно. Если А и В несовместные события, то имеет место следующее равенство P(A+B)=P(A)+P(B).

Общий случай: для произвольных А и В имеет место формула P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B). Эта формула соответствует предыдущей: если А и В несовместные события, А*В не содержит ни одного элементарного исхода P(A*B)=0. Пусть А произвольное событие, тогда ч/з будем обозначать событие противоположно событию А, а состоит в том, что А не произошло.

P(A)=1-P( )

А+ =

P(А+ )=P( )=1

Если среди событий любые 2 несовместны, то P(

Доказывается методом индукции на основании равенства для 2-х несовместных событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

+B=A* +B* +A*B

P( +B)=P(A* +B* +A*B)=P(A* )+P(B* )+P(A*B)={P(A* )=P(A)-P(A*B); P(B* )=P(B)-P(A*B)}=P(A)+P(B)-P(A*B)

Пусть А и В, С несовместные события

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A*B)-P(B*C)-P(C*A)+P(A*B*C)

P( )=