Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли

Опр. Наивероятнейшим числом появлений событияА в n независимыхиспытаниях называется такое натуральное число m₀, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не менее вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А.

Должны выполняться следующие неравенства:

1) P_n(m₀)>=P_n(m₀+1)

2) P_n(m₀)>=P_n(m₀-1)

В силу формулы Бернулли

Решим неравенства относительно m₀

Длина интервала [np-q, np+p] равна –(np-q)+(np+p)=p+q=1.

Значит, может быть либо 2 значения m₀ (если (np-q) – целое число), либо 1 значение (если (np-q) – дробное число).

Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Случайные величины (СВ).

Опр. Случайнойназывают величину,которая в результате опыта примет одно и только одно значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

СВ обозначаются, как правило, X, Y, Z, W,…

Пусть СВ мы обозначили Х, тогда возможные значения СВ обозначаются х₁, х₂,…,х_n,…

CВ бывают дискретные и непрерывные.

Опр. Дискретной СВназывают СВ, которая принимает отдельные, изолированные, возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Опр. Непрерывной СВназывают СВ, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной СВ бесконечно.

Закон распределения вероятностей дискретной СВ.

Опр. Законом распределения вероятностей дискретной СВназывают соответствие между возможными значениями этой СВ и их вероятностями.

Его можно задать таблично, аналитически, графически.

Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.

Биноминальное распределение.

Рассматривается схема Бернулли. Рассмотрим в качестве дискретной СВ Х число появлений события А в n независимых испытаниях.

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли.

Пусть СВ Х – число проведения экспериментов по схеме Бернулли до наступления первого успеха.

Закон распределения СВ Х: P(X=k).

Первый успех в k-ом испытании наступит т. и т.т., когда:

а) первые (k-1) эксперименты закончились неудачей. Вероятность этого q^k-1.

б) k-ое испытание закончилось успехом. Вероятность этого р.

Т.о. P(X=k)=pq^k-1 – формула геометрического распределения(k=1, 2, …).

Проверим, что .

Распределение Пуассона.

Рассматривается схема Бернулли. Число независимых испытаний п велико, а вероятность события мала (р<=0.1).

В этом случае формула Лапласа непригодна. Поэтому прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Т.о. перед нами задача: найти вероятность того, что при очень большом числе испытании, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Сделаем важное предположение: произведение n*p сохраняет постоянное значение (np=λ). Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (т.е. при различных значениях п) остается неизменным:

Т.к. п очень велико, вместо Р_n(k) найдем и его будем считать приближенным значением вероятности Р_n(k):

.

.

Рассмотрим СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2, …

В этом случае говорят, что СВ Х имеет закон распределения Пуассона.

Закон распределения Пуассона можно задать в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…
p	e-λ	λe-λ		…		…

Заметим, что