Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность P(A|B) события А при условии, что произошло событие В. Она определяется формулой

P(A|B)= (*) P(B) в случае классического определения вероятности.

P(A|B)= . Из формулы (*) следует P(A*B)=P(B)*P(A|B)

Теорема умножения вероятностей:Пусть произвольные события, тогда имеет место P( )=P( )*P( )*P( )*…*P( )

Независимые события.

Опр. События А и В наз-ся независимыми,если условная вероятность P(A|B)=P(A) и P(В|А)=P(В), P(A) , P(B)

Теорема1:Если А и В независимы, то P(A*B)=P(А)* P(В) (**).

Теорема2:Если А и В таковы, что P(A*B)=P(А)* P(В), то А и В независимы(P(A) , P(B) )

Теорема3:Если А,В,С взаимно – независимые события, то P(A*B*С)=P(А)* P(В)* P(С)

P(A|B)= P(A|С)= P(A|B*С)= P(A)

Формула полной вероятности.

Опр.События образуют полную группу, если они попарно – несовместны ( ) и

Теорема:Пусть образуют полную группу событий, тогда для любого события А выполняется P(A)=P( )*P(A| )+P( )* P(A| )+…+P( )*P(A| )

Док-во:

A* =A

A= в этой сумме события несовместны, несовместны.

P(A)= ={по теореме умножения}=

Формула Байеса.

Пусть образуют полную группу событий. Требуется найти условную вероятность

Эта формула Байеса.

События А, наз-ся гипотезами

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Производится несколько испытаний. Вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний и P(A)=p такие испытания наз-ют независимыми относительно А.

Ставится задача вычислить вероятность того, что при n испытаний событие А произойдёт ровно k раз. вероятность.

Одно конкретное событие состоит в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз (и не наступит следовательно n-k раз) – это сложное событие , которое можно представить как следующее произведение независимых событий.

событие А произошло при i испытании

событие А не произошло при j испытании

Вероятность такого события в силу, что P( )=P( )*P( )*P( )*P( )*…*P( )={P( )=p; P( )=1-q}=

Таких сложных событий элементарных исходов может быть . Значит (использовали теорему сложения вероятностей для сложения вероятностей).

- формула Бернулли

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно. В таких случаях используют локальную теорему Лапласа.

Локальная теорема Лапласа:Если вероятность p – появление события А в каждом испытании постоянная и отличается 0 и 1 , то

где , x=

Для вычисления используются специальные таблицы.

Интегральная теорема Лапласа:Рассматривается та же ситуация, что и выше задача: вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не меньше и не более раз.

Интегральная теорема Лапласа:Если вероятность p – наступило событие А в каждом испытании постоянна и отличается 0 и 1, то

Где

<= формула Лапласа

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Считаем, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p.

Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине не превосходит заданного числа ε:

Последнее неравенство домножим на

.

Согласно Т.Лапласа: