Функции случайных величин, их законы распределения

Опр:пусть дана ф-ция одной переменной с областью определения D(f), и пусть дана некоторая СВ Х все значения которой принадлежат D(f). Тогда, если Х приняла значение х, будем считать, что новая СВ У приняла значение f(x). Эта новая СВ называется ф-цией СВ Х. В этом случае записываем: Y=f(X).

I. Выясним как найти распределение ф-ции одной СВ по известному распределению дискретного аргумента.

а)если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения ф-ции У, то вероятности соответствующих значений Х и У между собой равны:

б)еслиразличным возможным значениям Х соотв значения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся вероятностей:

II.Та же задача ставится и для непрерывного аргумента: имеется плотность распределения СВ – р(х), а через нее хотим выразить .

Теорема:если f(x) дифференцируемая строго возрастающая ил строго убывающая ф-ция, обратная ф-ция которой , то имеет место равенство

Док-во:пусть и пусть множество значений СВ А это отрезок [a,b].

Ф-ция распределения СВ Y=f(X) имеет вид

f(x) - возрастает возрастает x

Замечание:можно рассматривать также ф-ции от 2 и более случайных величин

Числовые характеритики СВ.

СВ описываются числовыми характеристиками, различают характеристики положения ( ожидания , моде, медиана) и характеристики рассеивания ( дисперсия, среднеквадратичное отклонение , моменты)

В мат ожидании (средним значением вероятности называется действительное число М(х))

М(х)=

Мат. ожидание существует, если ряд или интеграл - сходятся абсолютно, если абсолютной сходимости нет , то говорят, что Х не имеет мат ожидания.

Мат ожидание характеризует среднее значение принимаемое СВ.

Свойства:

1.М(с)=с - const

2.М(кх)=кМ(х), к -const

3.М(х+у)=М(х)+М(у)

4.М(ху)=М(х)М(у), если х,у- независимые

5.М(х-М(х))=0

6.х≥0 => М(х) ≥0

7.М²(ху)=М(х²)М(у²) - неравенство Коши Буняковского

26. Дисперсия, её свойства. Среднеквадратическое отклонение

Дисперсией СВ называют неотрицательное число:

D(x)=

Свойства дисперсии:

1.D(c)=0, c-const

2.D(kx)=k²D(x)

3.D(x±y)=D(x)+D(y), если х,у - независимые

4.D(x)=M(x²)-(M(x))² --- упрощённое правило вычисления

Модой непрерывной СВ Х называют действительное число d_x – точка максимального распределения.(модой дискретной СВ Х – называют значение х_к имеющее наибольшую вероятность)

Медианойнепрерывной СВ Х – называют действительное число h_х , такое что Р(х<h_x)= Р(х≥h_x)

Средним квадратичным отклонением CВ Х – называют число δ(х)=(D(x))^0.5

Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 СВ, их свойства.

Основная характеристика описывающая связь между СВ Х и У является ковариация (корреляционный момент):

K_xy=cov(x,y)=M[(x-M(x))(y-M(y))]

Теор.cov(x,y)=0,Для независимых Х и У

Свойства ковариации:

1.К_ху=К_ух

2.|К_yx|≤δ_хδ_у

Величина r_ху= К_ух/ δ_хδ_у называется линейной ковариацией

Свойства r_ху:

_1. r_ху =r_ух

2. r_хх=1, К_хх=D(x)

3. |r_yx|1≤1

4. К_ху= 0, если Х и У независимые СВ

5. r_ху=±1, то между СВ Х и У существует функцинальная зависимость

М((х-m_x)/ δ_х ±(y-m_y)/ δ_y)²= 2 ± 2 К_ух/ δ_хδ_у

Неравенство Маркова.

Теорема(неравенство Маркова):Пусть собственная величина(СВ) Х принимает только неотрицательные значения, тогда справедливы неравенства .

Доказательство:Докажем для непрерывной СВ Х , . ; ; . доказано.

29.Неравенство Чебышева.

Теорема(неравенство Чебышева):Пусть Х-СВ с дисперсией D(X), тогда справедливо неравенство .

Доказательство: Рассмотрим СВ , , тогда для справедливо неравенство Маркова ; ; из последних 2-х неравенств следует неравенство. доказано.

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева:Пусть - независимые СВ с конечными мат. ожиданиями , причем , тогда

Опр. по вероятности, если .

Доказательство: Рассмотрим СВ . Найдем мат. ожидание и дисперсию: ; . Применим неравенство Чебышева: ; . Пусть и получаем утверждение теоремы.

Теорема Маркова.

Теорема Маркова:Если имеются зависимые СВ и если при выполняется , то среднее арифметическое сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий

Доказательство:Аналогично доказательству Чебышева ; ; ; . доказано.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то при достаточно большом n для произвольного ε >0 справедливо неравенство

Переходя к пределу, имеем

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях. Из теоремы видно, что отношение m/n обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа m появления события в n испытаниях от ожидаемого результата np не превысит определенного числа ε. Для данной оценки неравенство переписывают в виде