Нормальный закон распределения

Опр:непрер СВ Х распределена по нормальному закону, если её плотность распр определена формулой

20.Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.

Пусть некоторый эксперимент описывается некоторыми случайными величинами . Упорядоченный набор случайных величин ( ) называется n-мерной СВ или n-мерным случайным вектором. i-ая компонента данной СВ.

Пусть (Х,У) – двумерная СВ, множ значений которой состоит из изолированных точек на плоскости. Такая СВ называется дискретной.

Перечень возможных значений пар компонент и соотв каждой такой паре вероятностей удовлетворяет условию называется законом распределения дискретной СВ (Х,У).

Одномерные законы распределения отдельных компонент выражаются через вероятности совм значений по формулам: .

Распр дискр СВ

Y X			…
			…
…	…	…	…	…
			…

По аналогии можно определить распределение вероятностей n-мерной СВ.

Опр:ф-ция распр n-мерн СВ ( ) назыв ф-ция от n переменных определенная во всем n-мерном евклидовом пр-ве формулой:

.

В частном случае для 2-х мерной СВ имеем:

Ф-ция распр обладает следующ св-вами:

1.

2. неубывающая ф-ция по каждому аргументу

Док-во:ф-цияраспр имеет следующ геометрич истолкование:

вероятность того, что случайная точка (Х,У) попадет в бесконечный квадрат с вершиной (х,у). Если смещать границу этого квадрата в сторону увеличения х или у, то вероятность попадания в этот квадрат случайной точки (Х,У) может только увеличиться.x

3. непрерывна слева по каждому из аргументов по каждой точке плоскости

4. имеют место следующие предельные соотношения:

Док-во (одного из равенств): . Используя аксеому непрерывности вероятности получим: . x

5. , -одн-ные ф-ции распр велич

Док-во:отодвигаем одну из границ квадрата к . При этом квадрат превращается в полуплоскость. Вероятность попадания случайной точки в такую полуплоскость есть ф-ция распре-деления соотв составляющей двумерной величины (Х,У). x

Для дискретной СВ ф-ция распр имеет вид:

Св-ва 2-мерной СВ распространяются на n-мерные СВ.

21. Двумерные непрерывные СВ. Плотность распределения вероятностей двумерной СВ, её свойства

Опр:2-мерная СВ назыв непрерывн СВ, если ее ф-ция распр непрерывна на всей плоскости и сущ такая неотрицат интегрируемая по Римману в бесконечных пределах по каждой из координат ф-ция , такая, что

Ф-ция назыв плотностью распределения СВ (Х,У).

Св-ва плотности: 1.

2.

3.если (х,у) точка непрерывности плотности , то

4.плотности распределения вероятностей отдельных компонент СВ (Х,У) выражается следующ образом через :

5.если (Х,У) непрер СВ, то вероятн попадания случайной точки в произвольный квадрат области G на плоскости определяется по формуле: .

Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть непрерывна в окрестности точки (х,у).

Т.о плотность распределения вероятностей 2-метной СВ (Х,У) можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания СВ (Х,У) в прямоугольник со сторонами к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к 0 по длине.

Из полученной формулы следует, что

С точностью до бесконечно малых высшего порядка чем .