ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебаний и приведенной длине.

Введение. Математический маятник - это точечный груз массой m, подвешенный на нерастяжимой невесомой нити и совершающий колебания под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, то есть период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина этого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

	d	О
		j
		В
Рис. 1

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 1 точка О - след горизонтальной оси вращения, точка В - центр масс физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр масс совпадают.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

M = mgd×sinj, (1)

где m -масса физического маятника, d -расстояние от оси вращения до центра масс маятника, j - угловое отклонение тела, отсчитываемое от положения равновесия.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малых углах можно принять sinj = j, если j выражен в радианах, и записать формулу (1) следующим образом

M = mgdj (1.а)

Учитывая, что величина М стремится уменьшить угол отклонения j, величинам вращающего момента и углового перемещения следует приписать противоположные знаки. Тогда формула (1.а) примет вид

M = -mgdj. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси (аналог второго закона Ньютона при поступательном движении):

(3)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения, а b - угловое ускорение, причем

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

(4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

(5)

где j₀ и a₀ -постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины j₀ и (w₀t + a₀) называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а a₀ - начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина w₀ - циклической собственной частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение 2p, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина T называется периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

(7)

Это и есть формула приведенной длины l_п физического маятника.