Методы измерений и описание аппаратуры

Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн, на котором смонтированы подушки для опорных призм физического маятника. На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно изменять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (рис. 2), на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4 в форме чечевиц, Расстояние между опорными призмами равно 0,730 м. Масса маятника m = 10,55 кг (Dm = 0,01 кг).

Один из методов определения момента инерции маятника относительно оси, проходящей через опорную призму, сводится к определению периода колебаний T маятника относительно этой оси, массы m и расстояния d от центра масс до оси (см. формулу (6) для ). В этом случае момент инерции маятника вычисляется по формуле

(8)

Положение центра масс определяется с помощью призмы балансировки.

Кроме этого метода, на практике часто используется метод определения момента инерции по приведенной длине физического маятника. Приведенную длину находят из опыта, подбирая длину математического маятника так чтобы он колебался синхронно с данным физическим. Определив длину математического маятника l_п, находят момент инерции по формуле (см. (7))

(9)

Приборы и принадлежности: физический маятник, математический маятник, секундомер, линейка, штангенциркуль, призма балансировки.

Порядок выполнения работы

Первый метод. Подвесив маятник на одной из призм (см. рис. 2), отклонить его на небольшой угол ( 10 градусов) и измерить секундомером время n = 10 колебаний. Измерения произвести пять раз. Данные занести в табл. 1. Вычислить t_ср, а затем найти период по формуле T_ср = t_ср/n. Результаты занести в табл. 1.

Таблица 1

Для определения расстояния d от центра тяжести до оси вращения снять маятник с опоры и положить на специальную подставку (призму балансировки). На подставке, которая имеет острую грань, маятник необходимо уравновесить. Расстояние от точки, находящейся над гранью призмы балансировки, до опорной призмы измерить масштабной линейкой с точностью до 0,001 м и занести в табл. 1 и 2. Рассчитать момент инерции по формуле (8). Результат занести в табл. 1.

Таблица 2

Второй метод. Изменяя длину математического маятника, добиться того, чтобы он колебался синхронно с физическим. Полного совпадения периодов обоих маятников добиться нелегко. Поэтому следует, постепенно меняя длину нити математического маятника, добиться того, чтобы маятники колебались синхронно в течение 10 - 15 колебаний. Измерить расстояние от шарика до точки подвеса. Длина маятника равна этому расстоянию плюс радиус шарика (диаметр шарика измеряется штангенциркулем). Ее можно считать приведенной длиной l_п физического маятника. Результаты занести в табл. 2. Момент инерции вычислить по формуле (9) и результат занести в табл. 2.

Сравнить момент инерции физического маятника, рассчитанного исходя из периода его колебаний (табл. 1) с моментом инерции, рассчитанным по приведенной длине (табл. 2). Объяснить возможные расхождения в значениях полученной величины.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение гармонических колебаний.

2. Что называется математическим маятником, физическим маятником?

3. Что называется приведенной длиной физического маятника?

4. Напишите формулу периода колебаний физического маятника?

5. Напишите формулу приведенной длины физического маятника

6. Почему при выполнении лабораторной работы следует брать очень малые амплитуды колебаний?

Список литературы

1. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Физика». Работы 4, 5, 5а. М.: МИИТ, 2003.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. М.: Высш. шк., 2001.

3. Никитенко В.А., Прунцев А.П. Концепции современного естествознания. М.: МИИТ, 2004.

Работа 29Е*

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы. Изучение с помощью электронного осциллографа электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения затухающих колебаний в контуре; расчет основных физических величин, характеризующих эти колебания.

Введение. На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединенные конденсатор емкостью C, катушку индуктивностью L и активное сопротивление R.

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок конденсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (ЭДС) индукции, а затем убрать источники возбуждения, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеализированном колебательном контуре в отсутствие сопротивления R = 0 при сообщении конденсатору заряда q₀.

Энергия электрического поля конденсатора емкостью C равна

,

где U₀ = q₀/С -максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток. При этом энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I₀. Максимального значения достигает и энергия магнитного поля в катушке:

С этого момента начинается перезарядка конденсатора. Ток в контуре начинает убывать, энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растет, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в ноль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания (см. рис. 2.а).

Зависимость напряжения на обкладках конденсатора при этом имеет вид

, (1)

где = - собственная циклическая (круговая) частота контура, j₀ - начальная фаза колебаний.

Интервал времени между двумя последовательными максимумами колебаний (разность фаз 2p) называется периодом колебаний T₀.

Т₀ = , (2)

(формула Томсона).

Заметим, что описанные выше колебания происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии испускания таким контуром электромагнитного излучения.

Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании по нему тока часть энергии выделяется в виде тепла

(3)

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обкладках конденсатора U(t) наблюдается в данной работе на экране осциллографа. Эту зависимость можно получить теоретическим путем, используя закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. В случае, когда величина активного сопротивления не слишком велика, эта зависимость имеет вид

(4)

где j₀ - начальная фаза колебаний; w - циклическая частота затухающих колебаний:

;

b - коэффициент затухания:

. (5)

Выражение (4) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2.б) с периодом колебаний

(6)

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

(7)

где U₀ - максимально возможное значение амплитуды напряжения: U₀ = A(t = 0).

Как видно из формул (4) и (7) степень затухания колебаний зависит от величины коэффициента затухания b. Из (7) следует, что коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

при

Из формулы (7) следует, что величину коэффициента затухания b можно рассчитать, зная значения двух последовательных амплитуд напряжения. Действительно, если в какой-то момент времени t напряжение равно , (i = 1, 2, 3), то через период Т напряжение будет равным . Поделив первое выражение на второе, получим, что / = . Отсюда

. (8)

Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и C. Так, при b = 0 в контуре устанавливаются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса) колебания (рис. 2, а).

При критическом сопротивлении, см. формулу (6),

R = R_кр = 2 (9)

w = w₀, и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напряжение на конденсаторе асимптотически приближается к нулю (рис. 2.в).

При R < R_кр (то есть при w < w₀) в контуре реализуется затухающий колебательный процесс (рис. 2,б).

При R > R_кр (w > w₀) циклическая частота w и период колебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответствует апериодическому затухающему процессу разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 2,г).

Для характеристики затухающих колебаний наряду с коэффициентом затухания b используются и другие параметры: логарифмический декремент d и добротность контура Q.

Логарифмический декремент вводится как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, разделенных во времени периодом Т.

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (периодов) N = t/T, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Добротность контура Q - важный параметр, характеризующий быстроту потери энергии, запасенной в контуре. По величине добротность равна умноженному на 2p отношению электромагнитной энергии, имеющейся в контуре, к потерянной за один период колебаний (в частности, рассеянной на активном сопротивлении контура).

Для исследуемого контура при малом затухании (b << w₀ ) имеем:

w @ w₀ и T @ T₀ = 2p . (10)

Добротность в этом случае

Q

Физическую величину r = называют волновым или характеристическим сопротивлением контура.

Из соотношения (10) следует, что контур, имеющий большое активное сопротивление, обладает малой добротностью, т. е. интенсивно теряет электромагнитную энергию, колебания быстро затухают.

Схема установки

На рис. 3 изображена схема установки для исследования затухающих колебаний в контуре RLC. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсаторов С₁ и C₂, катушек L₁ и L₂, магазина сопротивлений R_м. Значения емкостей С₁и C₂, индуктивностей L₁ и L₂ , а также величины активного сопротивления катушек R_L и других элементов цепи R_ц указаны на панели контура. С помощью ключей К₁ и К₂ можно изменять величины емкости и индуктивности контура. Разделительный конденсатор C₀ в контур не входит и его емкость при расчетах не учитывается.

Для возбуждения колебаний в данной работе используется пилообразное напряжение генератора развертки луча осциллографа. Это напряжение снимается с выхода X-пластин, расположенного на задней панели (ЗП - рис. 3) осциллографа, и подается к клемме B колебательного контура.

Возникающие в контуре затухающие колебания можно наблюдать на экране осциллографа при подаче напряжения U_с (клемма А контура) на вход Y осциллографа. Клемма «вход Y» расположена на передней панели осциллографа. Клемма Е («земля») контура соединяется с земляной клеммой осциллографа. Устойчивое изображение затухающих колебаний можно получить на экране осциллографа при правильном подборе частоты развертки, частоты синхронизации, усиления сигнала по вертикальной (Y) и горизонтальной (X) осям.

Приборы и принадлежности: панель с колебательным контуром, магазин сопротивлений, электронный осциллограф, соединительные провода.

Порядок выполнения работы

1. Соберите схему установки в соответствии с рис. 3. Обратите внимание, что клеммы «земля» и «вход Y» находятся на передней панели осциллографа, а клемма В контура соединяется с верхней клеммой «X» на задней панели осциллографа.

2. Подключите осциллограф к внешней сети и включите тумблер «сеть», дайте прогреться 2 - 3 мин и отрегулируйте яркость и фокусировку луча. Плохая фокусировка увеличивает погрешность измерений. Переключатель «синхронизация» поставьте в положение «внутр.», тумблер «делитель» на передней панели осциллографа - в положение «до 5 В». Не выключайте осциллограф до конца измерений.

3. Установите на магазине сопротивлений R_м = 0, для чего все ручки должны быть выставлены на нулевые отметки. С помощью ручек усиления и установки частоты развертки и синхронизации осциллографа получите на экране устойчивое изображение затухающих колебаний.

Варьируя с помощью ключей К₁ и К₂ величины L и С контура, наблюдайте за изменением характера колебаний. Помните, что замыкание ключа выключает элемент из схемы, размыкание - подсоединяет его последовательно другим элементам контура.

Увеличивая сопротивление R_м, наблюдайте за изменением скорости затухания и характера колебаний. Выясните, как влияет изменение электрических параметров контура R, L, C на период и затухание колебаний.

4. Проведите количественное исследование влияния сопротивления R контура на характеристики затухающих колебаний:

а) установите с помощью ключей К₁ и К₂ некоторые значения индуктивности и емкости в контуре, учитывая, что при последовательном соединении

Запишите в табл. 1 параметры контураС, L, R_L, R_ц. Рассчитайте по формулам (2) и (9) и запишите в табл. 1 значение периода колебаний Т и величину сопротивления R_кр, при котором колебательный процесс переходит в апериодический (рис. 2.в).

Таблица 1

Rм	Rм = 0 Ом	Rм = … Ом
R = Rм + RL + Rц			C = … Ф
U01 U02 U03 U04			L = … Гн RL = … Ом Rц = … Ом
U01/U02 U02/U03 U03/U04			Rкр = … Ом Т = … с
(U0i /U0i+1)cp
ln(U0i /U0i+1)cp
Q

б) получите изображение затухающих колебаний при сопротивлении R_м = 0. Пользуясь калибровочной сеткой осциллографа, измерьте величины любых четырех последовательно расположенных (через период) амплитуд колебаний: U₀₁; U₀₂; U₀₃; U₀₄(см. рис. 2.б). Данные измерений занесите в табл. 1.

в) не изменяя величины индуктивности и емкости контура, проведите измерения, описанные в п. 4.б при другом значении сопротивления R_м << R_кр.

5. Рассчитайте и запишите в табл. 1 для двух значений R:

– отношения напряжений / (i = 1, 2, 3), их среднее значение ( / )_ср и натуральный логарифм данной величины;

– по формуле (8) экспериментальное значение коэффициента затухания b_ср;

– по формуле (5) теоретическое значение коэффициента затухания b_T;

– по формуле (10) значение добротности контура Q.

6. Сравните и поясните зависимость полученных результатов от величины сопротивления R.

Контрольные вопросы

1. Что такое колебательный контур?

2. Укажите способы возбуждения колебаний в контуре.

3. Объясните причины затухания колебаний в реальном контуре.

4. Запишите формулу периода колебаний в контуре.

5. Запишите уравнение затухающих колебаний.

6. От каких величин зависит коэффициент затухания?

7. Перечислите величины, характеризующие затухающие колебания.

Список литературы

1. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Физика». Работы 4, 5, 5а. М.: МИИТ, 2003.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. М.: Высш. шк., 2001.

3. Никитенко В.А., Прунцев А.П. Концепции современного естествознания. М.: МИИТ, 2004.

СОДЕРЖАНИЕ

Учебно-методическое издание

ИЛЬИН Станислав Иванович

Методические указания

К лабораторным занятиям

по дисциплине

«Концепции современного естествознания»

Часть 2

127994, Москва, А-55, ул. Образцова, 15

Типография МИИТа

* Данная работа рекомендуется наиболее подготовленным студентам для выполнения в рамках УИРС (учебно-исследовательской работы студентов).