Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Фазалық жəне группалық жылдамдықтар. Толқындық пакет
|
|
Де Бройль бос бөлшектердің козғалысын толқындық функциямен сипаттауды ұсынды. Жеке жағдайда мұндай функцияның орнына жарық қозғалысын сипаттайтын монохроматты жазық толқынды пайдалануға болады:
| x | |||||||||||||||
| y ( x, t )= | -2pi vt - | (2.7) | |||||||||||||
| Ae | |||||||||||||||
| немесе | i | ( Et - px ) | (2.8) | ||||||||||||
| y ( x, t ) = Ae -i ( wt -kx ) = Ae H | |||||||||||||||
| Де Бройль толқындарының кеңістікте таралуын қарастырып, олардың фазалық | |||||||||||||||
| жəне топтық жылдамдықтарын табалық. Егер толқын х нүктесінен | X = x + DX | ||||||||||||||
| нүктесіне Dt уақыттың ішінде орын ауыстырса яғни Dt ішінде фаза j = ( Et - px) | i | х | |||||||||||||
| H | |||||||||||||||
| нүктесінен х1 нүктесіне ауысады, сонда фазаның тұрақтылық шартынан | |||||||||||||||
| Et1- px1= Et - px = const | (2.9) | ||||||||||||||
| E(t1- t)- p(x1- x)=0 | бұдан фазалық жылдамдық | ||||||||||||||
| u =Dx = | E | = | c 2 | > c | (2.10) | ||||||||||
| Dt | p | J |
(2.10)-қатынастан микробөлшектер қозғалысына сəйкес келетін монохроматты жазық толқынының фазалық жылдамдығының жазық жылдамдығынан артық болатындығын көреміз. Арнайы салыстырмалы теориясы бойынша бөлшектердің таралу жылдамдығы, жалпы кез келген мəліметтің берілу жылдамдығы жарық жылдамдығынан артық болмауы тиіс. Сондықтан (2.10)-қатынас монохроматты жазық толқындардың жеке бөлшектердің қозғалысын сипаттай алмайтындығын көрсетеді. Жеке бөлшектердің қозғалысын сипаттау үшін жиілігі біріне бірі жақын, бірнеше монохроматты жазық толқындарды жинастырып, толқындық пакет құрған дұрыс. Мұндай толқындық пакеттің қорытқы амплитудасын бөлшектің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болуы ықтималдығымен байланыстыруға болады. Толқындық пакеттің қорытқы амплитудасының таралу жылдамдығы, бөлшектердің топтық жылдамдығынан кем, ал Де Бройль толқындары үшін толқындық пакеттің фазалық жылдамдығы бөлшектердің топтық жылдамдығына тең болатындығын дəлелдейік. Ол үшін толқындық сандары
| к0 | - Dк мен | к0 | +Dк |
аралығында жататын жазық толқындардан толқындық пакет құрамыз. Мұндай пакеттің таралуын сипаттайтын толқындық функция
| Y( x,t)= | к0+Dк | а(к)l-i( wt-кх)dx | |||||
| ∫ | (2.11) | ||||||
| к0-Dк | |||||||
| мұнда w = f (к) , ал амплитуда a(к) = | A | яғни берілген | аралықта тұрақты деп | ||||
| Dк | |||||||
| қарастырайық. w = f (k ) функциясын k = k0 | нүктесінің аймағында Тейлор қатарына | ||||||
| жіктейміз: |
| w = w(к0)+ к - к0) | ¶w | к = к | + | (к - к0 )2 | × | ¶2 w | к = к0 | + ... = w0 + w1 + w2 ... | |||||
| ¶к | ¶к2 | ||||||||||||
| 2! | |||||||||||||
| (2.12)-ші қатардың алғашқы | екі | мүшесімен | шектелелік, w = w0 | ||||||||||
ретті аз шама деп ескермеген мүшеміз:
| w2 | = | (к - к | 0 ) 2 | ¶2 w | |
| ¶к2 | |||||
Сонда (2.11) толқындық функция мынадай түрге келеді:
Y(x, t) = Be-i ( w0t -к0 x)
мұнда B = A sinxx
x = Dк (x - w0¢ × t) 2
(2.12)
+ w1.Екінші
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.15), (2.16)-шы қатынастардан микробөлшек қозғалысын сипаттайтын толқындық пакеттің кеңістікте де, уақыт бойынша да тұрақты болмайтындығын көреміз. Енді толқыңдық пакеттің қозғалыс жылдамдығын табу үшін амплитуданың белгілі бір мəнінде x
| x = | Dк | (x | - | w¢ | × | t) | = | соnst | (2.17) | ||||||||||||||||||||||||
| деп қарастырып, бұдан жылдамдық U | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| =¶x = w¢ =¶w | (2.18) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| U | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ¶t | ¶к | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Толқындық | пакеттің кеңістікте | шоғырлануын | қарастыралық. (2.17)-ші | өрнектен | |||||||||||||||||||||||||||||
| t =0деп алсақ,онда | x =Dк x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2.19) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Толқындық пакеттің амплитудасының квадраты, өзінің максимум мəніне x ® 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| болғанда жетеді: | B 2= A2 | (2.20) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Амплитуда | квадратының | басқа | салыстырмалы | максимумдерінің | мəндері | ||||||||||||||||||||||||||||
| x = ± | 3p | ,± | 5p | ,± | 7p | ... үшін амплитудалар: | |||||||||||||||||||||||||||
| 3p | 5p | (2.21) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| B | ± | = | A | , B | ± | = A | ,... | ||||||||||||||||||||||||||
| 9p 2 | 25p 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Ал, x = ±p ,±2p ,... мəндерінде толқындық пакеттің амплитудасы нольге тең.
Толқындық пакеттің кеңістікте шоғырлануының негізгі облысы [- p ,+p ] аралығы.
Яғни
| x = | (2x0 ) = | Dk × Dx = p | (2.22) | |||
Бірақ толқындық пакеттің амплитудасы бұл облыстың сыртында да нольден өзгеше болатындықтан (2.22) теңдікті теңсіздікпен алмастыралық:
| Dk × Dx ³2p | (2.23) |
(2.23)-шы өрнектен монохроматты жазық толқындардан кұрылған толқындық пакеттің микробөлшектердің қозғалысын сипаттай алмайтындығын көреміз. Енді толқындық пакеттің уақыт бойынша шоғырлануын қарастыралық, ол үшін (2.16) қатынастан х = 0 деп алсақ
| x = -Dk × w | (2.24) | ||||||||
| Жоғарыдағы талдауды қайталасақ, төмендегі қатынасқа келеміз | |||||||||
| Dw × Dt ³2p | (2.25) | ||||||||
| Толқындық пакеттің кеңістікте таралуында екінші ретті аз | шама деп ескерілмеген | ||||||||
| мүшенің толқындық процеске тигізетін əсерін қарастыралық: | |||||||||
| w2= | (k - k0 )2 | × | ¶2 w | k | = k 0 | ||||
| 2! | ¶k 2 | ||||||||
Егер толқындық пакеттің дисперсиясы болмай, яғни пакет тек монохроматты жазық толқындардан тұрса, онда (2.13) теңдеуді ескермеуіміз дұрыс. Себебі, мұндай кеңістікте пакет өзгермейді, тұрақты фазалық жылдамдықпен қозғалады. Керісінше, дисперсия құбылысы болса, онда (2.13) мүшені ескермеу мүмкін емес, себебі мұндай толқындық пакеттің фазалық жылдамдығы тұрақты болмайды, толқындық пакеттің формасы уақыт бойынша өзгеріп, сейіле бастайды.
Осы алынған нəтижелерді де Бройль толқындарына қолданайық (2.3 сурет). (2.18)-ші қатынас бойынша толқындық пакеттің жылдамдығы мынаған тең:
Dx =DР Dx ~ p
2H
группалық жылдамдық фазалық жылдамдық
u = v 
U = c
v
x =DР x
2H
-2π -π π 2π
-1
|
Просмотров 1694 |
|
|
