Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Физикалық шамаларды сызықтық, өзара түйіндес операторлармен сипаттау
|
|
Кванттық механиканың математикалық аппаратының негізіне – кванттық жүйе координаталарға тəуелді Y(x, y, z, t ) функциясымен сипаттальш, осы функцияның
модулінің квадраты координаталар мəндерінің кеңістікте үлестірілуінің ықтималдылығын көрсетеді деген тұжырым жатыр.
Көптеген тəжірибелер кейбір физикалық шамалардың белгілі бір жағдайларда үзілісті мəндерге ие болатынын көрсетеді. Классикалық физикада мұндай жағдай белгісіз еді. Сондықтан классикалық физикада физикалық шамалар үзіліссіз, дифференциалданатын функциялармен сипатталады. Ал кванттық механикада физикалық шамалар үзіліссіз де, дискретті де мəндерге ие болуы мүмкін. Мысалы: бос электрондардың координатасы, импульсі үзіліссіз мəндерге, ал атомдардағы электронның энергиясы Е мен импульс моменті М дискретті мəндерге ие болады.
Мысалы, Бор теориясы бойынша сутегі атомындағы электронның энергиясының мəндері үзілісті:
| E = - | m0 Z 2 e04 | , n =1,2,3... | (4.1) | |
| 2H 2 n 2 | ||||
Үзіліссіз, дифференциалданатын функциялармен дискретті мəндерге ие болатын физикалық шамаларды сипаттау мүмкін емес. 1925 жылы алдымен Гейзенберг, кейін Дирак кванттық механикадағы физикалық шамалардың математикалық көрінісі ретінде функцияларды емес, операторларды пайдалану керек екендігін тағайындады.
Математикада функция деп белгілі бір нақты сандарға басқа бір сандарды сəйкестендіруді айтады. Ал, операторлар деп белгілі бір функцияларға басқа белгілі функцияларды сəйкестендіруді айтамыз.
| ˆ | (4.2) | ||||||||
| LU (x)= v(x) | |||||||||
| ˆ | ¶ | x | x | ||||||
| Мысалы: L = | ¶x | , | U (x)= x | , ln x, e | , | онда | v(x)=2x,1/ x, e |
Классикалық механикада қозғалыстың үзіліссіз болуына байланысты пайдаланылатын функциялар белгілі бір талаптарға сəйкес болу керек. Үзіліссіз, дифференциалданатын, шектелген жөне модулінің квадраты интегралданатын функцияларды регуляр функциялар деп атайды. Осы сияқты кванттық механикадаға операторлар да белгілі бір талапқа жауап беруі кажет. Кванттық механикада күйлерді суперпозициялау кағидасы бұзылмауы үшін тек сызықтық жөне өзара түйіндес
операторлар ғана пайдаланылады. Оператор ˆ сызықтық деп аталады, егер төмендегі
L
шарт орындалса:
Оператор
Мысалы ˆ
Px
| ˆ | (x) + C2U 2 | ˆ | ˆ | (x) | (4.3) | |
| L[C1U1 | (x)] = C1 LU1 | (x) + C2 LU 2 |
ˆ өзара түйіндес деп аталады, егер мынандай теңдік орындалса
L
| ∫U | * | ˆ | (x)dx =∫U 2 | ˆ* | * | (x)dx | (4.4) | |
| (x)LU 2 | (x)L U |
= -iH¶операторының өзара түйіндес оператор екендігін дəлелдейік:
¶x
| +¥ | * | ¶U 2 | * | ¶U1*(x) | +¥ | ˆ ** | |||||
| - iH∫ U | (x) | dx = -iHU | (x)U 2 (x) | + ¥ + iH∫U 2(x) | dx = | ∫ U | 2 (x)Px U 1(x)dx | ||||
| -¥ | ¶x | ¶x | -¥ |
мұнда U1*U 2 ± ¥ = 0 .
Сызықтық жəне түйіндес операторлар эрмиттік операторлар деп аталады.
ˆ операторының өзара түйіндестігін сипаттайтын (4.4)-ші функционалдық
L
теңдеуді қысқаша мынадай түрде жазуға болады:
| ˆ | ˆ* | (4.5) | ||||||||
| L = L | ||||||||||
| Сызықтық операторлардың негізгі қасиеттері: | ||||||||||
| 1. | ˆ | ˆ | ˆ | операторларының қосындысы деп аталады, егер | ||||||
| C операторы | A жəне B | |||||||||
| мынадай қатынас орындалса: | ||||||||||
| ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | (4.6) | ||||
| СY = AY + BY, | C | = A + B | ||||||||
| 2. | С операторы А жəне В операторларының көбейтіндісі болады, егер | |||||||||
| ˆ | ˆ ˆ | (4.7) | ||||||||
| СY = A(BY) |
шарты орындалса.
Операторларды қосуға, көбейтуге, тағы басқа амалдарды қолдануға болады, бірақ олардың орындарын ауыстыруға болмайды. Ψ-толқындық функциясымен сипатталатын кванттық күйдегі физикалық шама L-дің орта мəні кванттық механикада мынадай қатынас бойынша анықталынады:
| * | ˆ | (4.8) | |||||||||||||
| L =∫Y | |||||||||||||||
| (x)LY(x)dx | |||||||||||||||
| Мұнда | ˆ | ге сəйкес келетін сызықтық, өзара түйіндес оператор. | |||||||||||||
| L -физикалық шама L – | |||||||||||||||
| (4.8)-ші теңдеудің комплекс түйіндесін анықталық: | |||||||||||||||
| * | = ∫Y | * | ˆ* | * | (x)dx | (4.9) | |||||||||
| L | |||||||||||||||
| (x)L Y | |||||||||||||||
| (4.8)-ші жəне (4.9)-шы теңдеулерді (4.4) – ші теңдеуімен салыстырсақ: | (4.10) | ||||||||||||||
| = | * | ||||||||||||||
| L | L |
Яғни, кванттық механикада физикалық шаманың орта мəні əр уақытта да нақты
| болады. Сонымен кванттық механикада | барлық физикалық | шамаларға сызықтық | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (суперпозиция қағидасы сақталуы үшін) | жəне өзара түйіндес | (физикалық шаманың | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| орта мəні нақты болуы қажет) операторлар сəйкестендіріледі. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Физикалық шаманың орта | мəні | жайындағы қосымша | деректерді орташа | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ˆ | ˆ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| квадраттық ауытқу деп аталатын шама арқылы да алуға болады: DL = L - L | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| * | x | ˆ | ¢ | x dx | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| L | = ∫Y | ( | L | ) | (4.11) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| (D ) | )(D | Y ( | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| DL2 | ³ 0 | (4.12) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| осы | (4.12) теңсіздікті дəлелделік. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4.11) теңдеуге сызықтық операторлардың өзара түйіндестік қасиетін | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| пайдалансақ: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = ∫Y | * | ˆ | ˆ | ³ 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| DL | ( x)(DLY( x))dx =∫ | (DLY( x)) dx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| енді | қарастырылып | отырған | физикалық | шама | бір | ғана | мəнге ие болсын, онда | |||||||||||||||||||||||||||||
| ˆˆ | ˆ | немесе, | ˆ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| L = L,DL = L - L =0, | L =0, | DLY =0 | (L - L)Y =0бұдан | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ˆ | (4.13) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| LY(x)= LY(x) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кванттық механикада көбінесе L операторы дифференциалдық оператор түрінде берілетін болғандықтан (4.13) теңдеу операторына сəйкес келетін меншікті мəндерді анықтауға мүмкіндік беретін дифференциалдық теңдеу болып табылады. Ал,
дифференциалдық теңдеулердің шешуі L операторының кез келген мəндерінде бола бермейді. (4.13)-ші дифференциалдық теңдеудің шешуі болатын мəндер: L1, L2, L3,... L-операторының меншікті мəндері деп, ал оларға сəйкес келетін теңдеудің шешулері: Ψ1, Ψ2, Ψ3,...–меншікті функциялар деп аталады.Мысал ретінде екі жағынан бекітілгенсымның тербелісін қарастыралық. Тербеліс теңдеуі:
| ¶2U (x) | + K 2U ( x)=0 | |||||||||||||||||||
| l | ¶x 2 | |||||||||||||||||||
| U (x) = 0, егер x=0 жəне x=1 болса,осы қатынасты(4.3)теңдеумен салыстырсақ: | ||||||||||||||||||||
| ˆ | ¶x 2 | - оператор: | меншікті | функциялар. Ln | p 2 n 2 | меншікті | ||||||||||||||
| L = - | ¶x 2 | = K | = | l 2 | - операторының | |||||||||||||||
| мəндері. | Ln : p 2 | , | 4p 2 | , | 9p 2 | ,... егер | n=1,2,3,…болса | Yn | : sin p x, sin | 2p | x, sin | 3p | x,... | меншікті | ||||||
| l 2 | ||||||||||||||||||||
| l 2 | l 2 | l | l | l |
функциялары.
Оператордың меншікті мəндерінің жиыны спектр деп аталады. Егер оператор дискретті меншікті мəндерге ие болса, онда оның спектрі дискретті болады. Ал, оператордың меншікті мəндері үзіліссіз болса, онда оның спектрі де біртұтас немесе үзіліссіз болғаны. Кейбір операторлар кей жағдайда дискретті, кей жағдайда үзіліссіз
меншікті мəндерге де ие болуы мүмкін. ˆ ˆ операторлары коммутативті деп аталады,
L, M
егер төмендегі қатынас орындалса
| ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ | (4.14) | |
| [L, M ]= LM - ML =0 |
р физикалық шамалар L жəне М бір мезгілде нақты мəндерге ие болса, онда олардың
операторлары коммутативті болады. Егер осы екі ˆ жəне ˆ операторлар
L M
коммутативті болса, оларға ортақ меншікті функция пайдалануға болады
| YL = YM = YLM | (4.15) |
Сонымен, оператордың коммутативтілігі физикалық шамалардың бір мезгілде өлшенетіндіктерінің керекті жəне жеткілікті шарты болып табылады.
Теорема: Ym , Yn меншікті функциялары өзара ортогоналды болады, егер
| Y*Y dx =0 | (4.16) | ||||
| m | n | ||||
| қатынас орындалса. | ˆ | ||||
| Дəлелделік: | = Ln Yn | ||||
| LYn | |||||
| ˆ* | * | ||||
| L Ym | = Lm Ym | ||||
| жоғары теңдікті сол жағынан | Ym * - функциясына, ал төменгі теңдікті дəл солай Yn - | ||||
| функциясына көбейтіп, екі теңдікті бірінен бірін алып, интегралдасақ: | |||||
| * ˆ | ˆ | * | * | (4.17) | |
| ∫Ym LYn dx -∫Yn LYm dx =(Lm | - Ln )∫Ym Yn dx |
(4.17)-ші теңдеудің сол жағын (4.4) қатынасымен салыстыралық, сонда (4.17)-ші теңдеудің сол жағы нольге тең, демек
(Lm - Ln )∫ Ym* Yn dx = 0
| егер m ¹ n болса, ∫ Ym* Yn dx = 0 | (4.18) |
ал, егер т = п болса (4.17)-ші қатынастан ∫ Ym* Yn dx = 1 бұл толқындық функцияларды нормалау шарты. (4.16) жəне (4.18) қатынастарды біріктіріп жазуға болады:
| ∫Y*Y dx = d | mn | (4.19) | |||||||||||
| m | n | ||||||||||||
| (4.19) меншікті функциялардың ортонормалдық шарты деп аталады. | |||||||||||||
| Мұнда: | m ¹ n | ||||||||||||
| d | егер | (4.20) | |||||||||||
| mn | = n | ||||||||||||
| 1 | егер | m | |||||||||||
| d mn - Кронекер белгісі. | |||||||||||||
| ˆ | ˆ | ||||||||||||
| L жəне | M операторлар өзара түйіндес операторлар болсын,яғни олар үшін(4.4)-ші | ||||||||||||
| шарт орындалсын. Енді осы | операторлардың | ˆ | |||||||||||
| көбейтіндісін қарастырайық: L - | |||||||||||||
| операторы өзара түйіндес болғандықтан | |||||||||||||
| * | ˆ ˆ | ˆ | ˆ* | * | (x)dx | ||||||||
| ∫U1( x)LMU 2 | ( x)dx =∫ (MU 2 )( x)L U | ||||||||||||
| ˆ | |||||||||||||
| Ал M операторының өзара түйіндестігінен: | |||||||||||||
| ˆ | ˆ** | ˆ** | ˆ | ˆ * ˆ** | ( x)dx | ||||||||
| ∫ (MU | 2 )L U1 dx =∫ (L U1 | )(MU 2 )dx =∫U 2 ( x)M L U1 | |||||||||||
| Бұдан | ˆ ˆ | ˆ | * ˆ* | ||||||||||
| * | * | ||||||||||||
| ∫U1 | ( x)LMU 2 (x)dx =∫U | 2 (x)M L U1 ( x)dx |
Демек, екі өзара түйіндес операторлардың көбейтіндісі де өзара түйіндес оператор болуы үшін бұл операторлар коммутативті болуы қажет.
|
Просмотров 1389 |
|
|
