Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Операторларды уақыт бойынша дифференциалдау. Классикалық жəне кванттық Пуассон жақшалары
|
|
Кез келген, координаталар мен импульстерге байланысты физикалық шама берілген болсын:
| L = L(xi , pi , t ) | (5.41) |
Тұйықталған физикалық жүйенің Гамильтон функциясы
| P 2 | R | ||
| H = | i | + U (r ) | |
| 2m0 | |||
Бұдан канондалған қозғалыс теңдеулерін алуға болады:
| xi | = | ¶H |
| ¶pi |
Pi = -¶H ¶xi
Сонда физикалық шама L - дің уақыт бойынша өзгерісі
(5.42)
(5.43а)
(5.43б)
| & | & |
| X i | жəне Pi |
мұндағы
| dL | = | ¶L | dt + | ¶L | + | ¶L | |||||
| ∑ | & | & | |||||||||
| dt | ¶t | X i | ¶pi | Pi | |||||||
| i | ¶xi |
шамаларының орныныа (5.43а) жəне (5.43б) қатынастарын қойсақ
| dL | = | ¶L dt +{H , L} | ||||||||
| dt | ¶t | |||||||||
| {H , L}= | ¶H | ¶L | - | ¶H | ¶L | |||||
| ∑ | ||||||||||
| ¶pi | dxi | ¶xi | ||||||||
| i | ¶pi |
(5.44)
(5.45)
(5.46)
классикалық Пуассон жақшалары деп аталады. Егер физикалық шама L уақытқа айқын түрде тəуелді болмаса
dL =0 dt
онда
| dL | ={H , L} | (5.47) | |
| dt |
яғни Пуассон жақшалары физикалық шаманың уақыт бойынша өзгерісін сипаттайды. Ал, егер Пуассон жақшалары нольге тең болса, онда
| L = const | (5.48) |
физикалық шама L қозғалыс интегралы болып табылады, оған белгілі бір сақталу заңдылығы сəйкес келеді.
Енді классикалық Пуассон жақшаларын кванттық жағдайға жалпыдайық. Кванттық механикада физикалық шамалардың орнына оларға сəйкес келетін оператордың орта мəндері алынатындығы белгілі.
| * | ˆ | (5.49) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| L =∫Y | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| (x)LY(x)dx | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5.49)-шы өрнекті уақыт бойынша дифференциялдайық: | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ˆ | ¶Y | * | ¶Y | ||||||||||||||||||||||||||||||
| dL | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| *¶L | ˆ | * ˆ | (5.50) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| dt | = ∫ Y | ¶t Ydx +∫ | dt | LYdx +∫Y L | ¶t | Ydx | |||||||||||||||||||||||||||
| Бұл теңдеулердегі | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ¶Y | i | ˆ | ¶Y* | i | ˆ | * | (5.51) | ||||||||||||||||||||||||||
| ¶t | = - | H | HY, | ¶t | = | H | HY | ||||||||||||||||||||||||||
| Сонда (5.50)-ші өрнектің орнына мынадай қатынас аламыз: | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| dL | = | ¶L +{H , L | } | (5.52) | |||||||||||||||||||||||||||||
| мұндағы | dt | ¶t | |||||||||||||||||||||||||||||||
| i | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ˆ ˆ | ˆ | ˆ | |||||||||||||||||||||||||||||||
| {H , L}= | (HL | - LH ) | (5.53) |
H
кванттық Пуассон жақшалары деп аталады. Егер физикалық шама L -дің орта мəні уақыт t -ға айқын түрде тəуелді болмаса, онда кванттық Пуассон жақшалары осы физикалық шаманың уақыт бойынша өзгерісін сипаттайды.
| ={H , L | } | |||||
| dL | (5.54) | |||||
| dt |
Ал, егер де Пуассон жақшалары нольге тең болса, онда физикалық шама L -дің орта мəніне кванттық механикада кеңістік пен уақыттың симметриялығына байланысты белгілі бір сақталу заңдылығы сəйкес келеді:
| dL | = 0 , | L = const | |||||||||||||||
| dt | ˆ | ||||||||||||||||
| яғни | физикалық | шаманың | орта | мəні | сақталады, | жəне | |||||||||||
| L –операторы | |||||||||||||||||
| ˆ | коммутативті | болады. | Сонымен қатар, осы | динамикалық | |||||||||||||
| H гамильтонианмен | |||||||||||||||||
| айнымалының | ˆ | ||||||||||||||||
| L -операторына сəйкес келетін L меншікті мəнінің ықтималдығы да | |||||||||||||||||
| сақталады. Бұны дəлелдеу үшін L | мəнінің ықтималдығын жазалық: | ||||||||||||||||
| wn = | an | 2 = | R | ||||||||||||||
| ∫U n*(r)Y(r , t)dv | |||||||||||||||||
| R | ˆ | меншікті мəніне сəйкес келетін меншікті функция, | |||||||||||||||
| мұндағы U n (r ) | - L операторының Ln | ||||||||||||||||
| Y - | ˆ | операторы өлшенетін стационар күйдің толқындық функциясы. wn - | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||||
| ықтималдылықтың | уақытқа тəуелсіздігін | дəлелдеу | үшін | n -күйдің | an - дербес |
амплитудасын айқын түрде жазайық:
| R | R | i | En t | R | R | |||||||||||
| an =∫U n*(r )Y(r , t)dv | = e H | ∫ Y(r )U n* (r , t)dv | ||||||||||||||
| R | i | Ent | . Сонда | |||||||||||||
| мұнда Y(r , t) = Y(r)e H | ||||||||||||||||
| an | = | ∫ Y(r)Un* (r)dv | 2= const | |||||||||||||
яғни ықтималдылықтың уақытқа тəуелді емес екендігін жəне тұрақты болатындығын көреміз.
Эренфест теоремалары
Классикалық қозғалыс теңдеулерінің кванттық механикада қалай жазылатындығын қарастырайық. Ол үшін физикалық шама L - дің орнына координата х-пен импульс р -ны аламыз.
1. L = x . Бұл жағдайда (5.54)-ші қатынастан х-тің уақыт бойынша өзгерісі
| dX | i | |||||||||
| ˆ ˆˆ ˆ | ||||||||||
| dt | = | (HX - XH ) | (5.55) | |||||||
| H | ||||||||||
| мұндағы | ˆ 2 | |||||||||
| ˆ | Px | (5.56) | ||||||||
| H = | 2m0 | + U x | ||||||||
Гамильтон операторы. Осы операторды (5.55)-ші теңдікке қойып, координата х-пен потенциялық энергия операторының коммутативтік екендігін ескерсек:
| ˆ | |||||
| dX | ||||||
| = | Px | (5.57) | ||||
| dt | m0 | |||||
осы сияқты у жəне z үшін
dY ˆ
= Py dt m0
dZ = ˆ Pz
dt m0
2. Енді физикалық шама L -дің орнына импульсті алалық
L = Px
Сонда
dPx = i (ˆ ˆ-ˆ ˆ)
HPx Px H
dt H
Импульстің операторлары өзара коммутативті болғандықтан орнына мынадай қатынасқа келеміз:
| dPx | i | |||||
| ˆ | ˆ | |||||
| = | (U (x)Px | - PxU (x)) | ||||
| dt | H | |||||
(5.58)
(5.59)
(5.60)
(5.60)-шы өрнектің
(5.61)
импульс операторының орнына (5.61)-ге оның мəнін қойсақ ,
| ˆ | ¶ | ||||||||||||||
| онда | Px | = -iH | ¶x | ||||||||||||
| dPx | ¶U (x) | (5.62) | |||||||||||||
| = - | = Fx | ||||||||||||||
| dt | ¶x | ||||||||||||||
импульстің басқа компоненттері үшін
| dPy | ¶ | U ( y) | (5.63) | |||||||||||||
| = - | = Fy | |||||||||||||||
| dt | ¶y | |||||||||||||||
| ¶ | ||||||||||||||||
| dPz | U (z) | (5.64) | ||||||||||||||
| = - | = F | |||||||||||||||
| dt | ¶z | z | ||||||||||||||
(5.57- 5.69) жəне (5.62-5.64)-ші өрнектер кванттық механикада Эренфест теоремалары деп аталады. Бұл теоремалар бойынша классикалық қозғалыс теңдеулерінің кванттық баламаларын табу үшін классикалық теңдеулердегі физикалық шаманың орнына оларға сəйкес келетін операторлардың орта мəндерін алса жеткілікті.
ТАРАУ
|
Просмотров 1823 |
|
|
