Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Бөлшектің еркін қозғалысы
|
|
Кванттық механиканың өте қарапайым, бірақ көрнекті есептерінің бірі-бөлшектің бүкіл кеңістікте (- ¥ < x < +¥) еркін қозғалысы. Бөлшекке єсер ететін күш жоқ болғандықтан, потенциялық энергия тұрақты болады жөне оны нольге тең деп қабылдай аламыз, U = 0 . Классикалық механикада бұл жағдайда Гамильтон функциясы кинетикалық энергияға тең болады:
| H = T = | p 2 | (7.16) | |
| 2m0 | |||
Қозғалыс бір өлшемді болғандықтан импульс операторының орнына оның берілген
ось бойынша құраушыларын алуға болады ˆ = ˆ
Px P,
| ˆ | = -iH | ¶ | (7.17) | ||||||||||||||||
| ал Гамильтон операторы | Px | ¶x | |||||||||||||||||
| ˆ | ˆ 2 | H 2 | (7.18) | ||||||||||||||||
| H | = | 2m0 | Px | = - | 2m0 | Ñ x | |||||||||||||
| Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі: | |||||||||||||||||||
| - | H 2 | d 2 | Y(x) = EY(x) | (7.19) | |||||||||||||||
| 2m0 dx 2 | |||||||||||||||||||
| егер | 2m | E = k 2деп белгілесек, | (7.19)-шы тендеудің дербес шешуі мынадай болады: | ||||||||||||||||
| H | |||||||||||||||||||
| Y | » e ±ikx | (7.20) | |||||||||||||||||
| 1,2 |
Бөлшектің энергиясы оң мєнді болғанда Е > 0, (7.20)-шы шешу бүкіл кеңістікте үзіліссіз жєне шектелген болады. Яғни, микробөлшек бүкіл кеңістікте еркін қозғалғанда оның энергиясының меншікті мєндерінің спектрі үзіліссіз болады.
Егер Y1 жєне Y2 функцияларын (7.19)- шы Шредингер теңдеуіне қойсақ, онда
осы екі меншікті функцияларға энергияның бір меншікті Е мєні сєйкес келетіндігін көреміз. Ол бұл энергиялық деңгейдің "азған" екендігін көрсетеді жəне осы жағдайда азғындық реті екіге тең болады.
Азғандықтың физикалық мағынасын түсіну үшін энергияның меншікті функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары бола ала ма, жоқ па соны қарастыралық. Кинетикалық энергия мен импульстің арасындағы байланыс
2m0 E = P
Енді (7.17)- ші қатынасты пайдалансақ,
| ¶Y | d | i | Px x | |||||||||
| - iH | = -iH | = PY | ||||||||||
| 1 | e H | |||||||||||
| ¶x | dx | |||||||||||
| ¶Y | d | i | Px x | |||||||||
| - iH | 2 | = -iH | e H | = -PY | ||||||||
| ¶x | dx | |||||||||||
Бұл қатынастар шындығында да энергия операторының меншікті функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары болатындығын көрсетеді жəне бір меншікті функцияға импульстің +р меншікті мєні, екіншісіне -р меншікті мєні сєйкес келеді. Сонымен, энергияның меншікті функцияларының азғындығы еркін қозғалыстағы бөлшектің түзу сызықты қозғалысының бағытының анықталмағандығына байланысты болады. Мєндері үзіліссіз спектр болатын меншікті
| функциялардың тағы бір қасиетін қарастырайық. | iPx | x функциясы х -айнымалы - ¥ | пен | ||
| e h | |||||
| + ¥ -ке дейін өзгергенде шектелген болғанмен | де, оның модулінің квадратынан |
алынған интеграл (нормалау шарты бойьшша) жинақталмайды:
| +¥ | +¥ i | Px | x -i | Px | x | +¥ | |
| ∫ | Y*Ydx =∫ e h e h dx =∫ | ||||||
| -¥ | -¥ | -¥ |
| dx ® ¥ | (7.21) |
яғни, бұл функцияларда бүрыннан белгілі əдістермен нормалау мүмкін емес. Жалпы оператордың меншікті мəндері үзіліссіз болған жағдайдың бєрінде де меншікті функциялардың осы қасиеті сақталады. Дискретті жəне үзіліссіз спектрлердің арасындағы осы айырмашылықтарға єрдайым көңіл бөлу қажет. Спектр дискретті
болғанда, Y1 , Y2 , Y3 т.б. меншікті функцияларға l1 , l2 , l3 ... т.б. дискретті меншікті мєндер сєйкес келеді, ал үзіліссіз спектр жағдайында Y( x, l) меншікті функциясының мєні үзіліссіз болатын l параметріне тєуелді болады. Мүндай функцияларды нормалау мүмкіндіктерінің бірін М. Борн ұсынды. Борн бойынша Y( x) толқындық функцияға шекаралық шарттың орнына, мерзімділік шарт қойылады:
| Y( x) = Y(x) + L | (7.22) | |||||||||||||||
| Мұнда параметр L - мерзімділік ұзындығы деп аталады. L кез келген үлкен | ||||||||||||||||
| шамаға ( L ® ¥ ) | ие | бола алады. Себебі, бұл параметр есептеулердің | соңғы | |||||||||||||
| нєтижелеріне айқын түрде енбейді. (7.22)- ші шарт бойынша | (7.23) | |||||||||||||||
| бұданeikx = 1, яғни | eikx = eik ( x+L ) | |||||||||||||||
| 2pn | ||||||||||||||||
| K = | (7.24) | |||||||||||||||
| L | ||||||||||||||||
| мұндаn = 0,±1,±2,±3,.... | ||||||||||||||||
| екінші жағынан | k 2= | 2m0 | E болғандықтан,энергияның меншікті мєндері | |||||||||||||
| h 2 | ||||||||||||||||
| En = | h 2 k 2 | = | 2p 2 h 2 n 2 | (7.25) | ||||||||||||
| m0 L2 | ||||||||||||||||
| 2m0 | ||||||||||||||||
| L -дің бүкіл мəнінде | Y периодты функция болғандықтан, нормалау шартын былай | |||||||||||||||
| жазуға болады: | ||||||||||||||||
| L / 2 | Y*Ydx =1 | (7.26) | ||||||||||||||
| ∫ | ||||||||||||||||
| -L / 2 | ||||||||||||||||
| Бұл теңдеуге Y = Aeikx | мєнін қойсақ, онда | |||||||||||||||
| A = | (7.27) | |||||||||||||||
| L | ||||||||||||||||
Сонда нормаланған шешу мынадай түрде жазылады:
| i | 2pn | x | (7.28) | |||||||||
| Y (x) = L2 eikx = L2 e | L | |||||||||||
| n | ||||||||||||
| (7.28)-ші | функциялар | нормалануы | мен | қатар | ортогонал | функция- |
лар екендігін де көрсетуге болады:
| L / 2 | YL*¢YL dx = | 1 L / 2 | |
| ∫ | ∫ | ||
| -L / 2 | L -L / 2 |
| - | 2pn | ( L¢-L ) | dx = | sin p (L¢ - L) | ||
| e | L | |||||
| p (L¢ - L) | ||||||
| 0 егер | L ¹ L¢ | (7.29) | ||
| = | L | = | L¢ | |
| 1егер | ||||
Сонымен, жасанды түрде мерзімділік ұзындығы L ұғымын енгізу арқылы, үзіліссіз спектрді қалай дискретті спектрге айналдыруға бо-латындығын, Борн үсынған єдіспен көрсеттік. Шектік жағдайда, L шексіздікке ұмтылғанда, керісінше үзіліссіз
| спектрге ауысамыз. Шындығында да | K = | P | = | m0 v | екендігін ескерсек көршілес | |
| hh |
орналасқан деңгейлердің энергияларының ара қашықтықтарын анықтай аламыз:
| DE = | h 2 k | × | 2p | = v | 2ph | (7.30) | |
| m0 L | L |
Бұдан, L ® ¥ болғанда DE ® ¥ , яғни энергия үзіліссіз мəндерге ие бо-лады. Бөлшектің бір өлшемді еркін қозғалысындағы үзіліссіз спектрді нормалаудың
тағы бір мүмкіндігі d - функцияны пайдалану. Егер Y меншікті функциясын мынадай түрде алсақ,
| i | Px , | i | Px | (7.31) | |||
| Y( p) = Ae | Y* ( p) = Ae | ||||||
| h | h |
онда d -функцияны пайдаланып осы нормалау шартын былай жазуға болады:
| P | - | P¢ | ||||||||||||||||
| ∫ Y* ( p¢)Y( p)dx = A2 | +¥ | ix | = A22phd ( p - p¢)= d ( p - p¢) | (7.32) | ||||||||||||||
| ∫ | dxe | h | h | |||||||||||||||
| бұдан | -¥ | |||||||||||||||||
| A = | (7.33) | |||||||||||||||||
| меншікті функция | 2ph | |||||||||||||||||
| i | p | x | (7.34) | |||||||||||||||
| Y( p) = | e h | |||||||||||||||||
| 2ph | ||||||||||||||||||
Толқындық функцияларды қарапайым нормалау шарты мен d -функция арқылы нормалауды салыстырайық. Ол үшін қарапайым нормалауды (Борн өдісі) мынадай түрде жазалық:
| 1, | егер мына аралықта n1 < n2 орналасқан | ||
| n2 | * | болса. | |
| ∑ | ∫Yn¢Yn dx = | ||
| n¢=n1 | |||
0, егер n¢ - n1 > n2 аралығының сыртында жатса
d - функцияға нормаланған толқындық функциялар үшін
| 1, | егер p¢ - p1 | < p2мына аралығының ішінде | ||
| p2 | dp¢∫Y*( p¢)Y( p)dx = | орналасса. | ||
| ∫ | ||||
| p1 | ||||
| 0, егер p¢ - p1 | < p2аралығының сыртында | |||
| орналасқан болса |
Сонымен, микробөлшектің потенциялық шұңқырдағы (шектелген) жєне кеңістіктегі еркін (шектелмеген) қозғалыстарын қарастыру нəтижесінде, кеңістіктің U > E нүктелерінің барлығында спектр үзіліссіз болады деген қортындыға келеміз.
§ 3. Квазиклассикалық жуықтау (ВКБ — тєсіл)
Алдыңғы тарауда біз h ® 0 болғанда кванттық теңдеулердің толығынан классикалық қозғалыс теңдеулерінде ауысатындығын көргенбіз. Яғни, S єсер функциясы арқылы жазылған Шредингер теңдеуі
| ( gradS ) 2 + U - E - ih | Ñ2 S =0 | (7.35) | |||
| 2m0 | 2m0 |
Планк түрақтысы нольге тең болғанда классикалық механиканың Гамильтон-Якоби теңдеуімен эквивалентті болады.
Бір өлшемді қозғалыс жағдайында (7.35)- ші теңдеу мынадай түрде жазылады:
| ihS ¢¢( x)+ S ¢2(x)+2m0(E - U )=0 | (7.36) | |||||
| (7.36)-шы теңдеудің шешуін шамасы аз H параметрі арқылы іздестіреміз | (7.37) | |||||
| S (x)= S0(x)+ hS1(x)+ h 2 S 2(x)+... | ||||||
| (7.37)-ші қатардың тек алғашқы екі мүшесімен шектеліп, | (7.38) | |||||
| S (x)= S0(x)+ hS1(x) | ||||||
| оны (7.36)- шы теңдеуге қойсақ, мынадай өрнек аламыз: | ||||||
| 2m | (E -U ) - S ¢2 | + h(iS ¢¢ -2S ¢ | × S ¢)=0 | (7.39) | ||
Соңғы теңдеуде тепе- тендік шарты орындалуы үшін h параметрі жоқ мүшелер нольге тең болуы керек
| 2m | (E - U ) - S ¢2 | = 0 | (7.40) | ||||
| iS0¢¢-2S0¢× S1¢=0 | (7.41) | ||||||
| (7.40)- шы шарттан 2m0 (E -U ) = p екендігін ескерсек: | |||||||
| S0¢ = ± | = ± p | (7.42) | |||||
| 2m0 (E -U ) | |||||||
| бұдан | |||||||
| x | (7.43) | ||||||
| S0= ±∫ dx ×p | |||||||
| x0 |
мұнда х0 – қозғалыс жүретін түзу сызықтың бойынан алынған, бекітілген нүкте. (7.41)-ші теңдеуден S1 (x) - ті табуға болады:
| S1 | = | i | S | 0¢¢ | - | i | ln(ln S ¢) | ||
| S | 0¢ | ||||||||
бұл теңдеуді интегралдасақ
| S1(x)= | i | ln S | 0 = | i | ln p = i ln | (7.44) | |||||||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||||||||||||
| Енді | (7.41)-ші | жөне | (7.42)-ші | нєтижелерді | (7.38)- | ші | жуықтап | ||||||||||||||||||||
| алынған теңдеуге қойсақ | |||||||||||||||||||||||||||
| x | (7.45) | ||||||||||||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||||||||||||
| S (x)= ±∫ dx × p + ih ln | |||||||||||||||||||||||||||
| x0 | |||||||||||||||||||||||||||
| Толқындық функция Y мен S - əсер функциясының арасындағы байланысты альш | |||||||||||||||||||||||||||
| i | S ( x) | (7.46) | |||||||||||||||||||||||||
| Y(x) = e h | |||||||||||||||||||||||||||
| ондағы S(х) функциясының орнына (7.45)- ші теңдеуді қойсақ мынадай қатынасқа | |||||||||||||||||||||||||||
| келеміз | |||||||||||||||||||||||||||
| Y( x)= | i | Spdx | i | Spdx | |||||||||||||||||||||||
| h | + C2 e | h | (7.47) | ||||||||||||||||||||||||
| C1e | |||||||||||||||||||||||||||
| p |
Шредингер теңдеуінің шешуі жуықтап алынған (7.47)-ші толқындық функциямен сипатталуы Вентцель-Крамерс-Бриллюэннің жуықтау тəсілі деп, қысқаша ВКБ - тєсілі деп аталады.
Енді микробөлшектің кез келген формалы, бір өлшемді потенциялық шұңқырдағы қозғалысын қарастырайық (7.2-сурет). E F U min - белгілі бір стационар күйдің энергиясы болсын.
| U | Бір | өлшемді | қозғалыстың | жалпы | |||||||||||||||||
| қасиеттері | бойынша | энергияның | |||||||||||||||||||
| мəндері | дискретті | спектрге | жатады | ||||||||||||||||||
| жəне | осы мєндерге | сєйкес | келетін | ||||||||||||||||||
| энергиялық деңгей азбаған болады. Бұл | |||||||||||||||||||||
| деңгейдің | потенциялық | қисықпен | |||||||||||||||||||
| қиылысу | нүктелері | x = a | жєне | x = b | |||||||||||||||||
| классикалық | бұрылыс | нүктелеріне | |||||||||||||||||||
| E | сəйкес | келеді, | бұл | нүктелерде | |||||||||||||||||
| І | ІІ | ІІІ | кинетикалық энергия нольге тең болады, | ||||||||||||||||||
| классикалық | микробөлшек | шүңқыр | |||||||||||||||||||
| x=a | x=b | қабырғаларына | соқтығысып, | кері | |||||||||||||||||
| (7.2 сурет) | серпіледі. Ал, кванттық | механикада | |||||||||||||||||||
| бөлшектердің классикалық физикада өтуге мүмкін емес бірінші ( x P a ) жєне үшінші | |||||||||||||||||||||
| ( x F b ) обылыстарға да өту ыктималдығының нольге тең болмайтындығы белгілі. | |||||||||||||||||||||
| Кеңістіктің єртүрлі нүктелеріндегі бөлшектің қозғалысын ВКБ— тєсілін | |||||||||||||||||||||
| пайдаланып қарастырайық. Шүңқырдың ішінде, яғни екінші обылыста (а < х < b ) | |||||||||||||||||||||
| энергия Е F U | жєне импульс р-ның мєні нақты. Сондықтан (7.47)-ші жалпы шешу | ||||||||||||||||||||
| мынадай түрде беріледі: | |||||||||||||||||||||
| С | x | (7.48а) | ||||||||||||||||||
| Y11 | = | sin ∫ | pds + q | ||||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||||||
| a | |||||||||||||||||||||
немесе
| С¢ | d | ¢ | (7.48б) | |||||||||||||||||||||||||||
| Y11 = | ∫ pds +q | |||||||||||||||||||||||||||||
| p | sin | |||||||||||||||||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Классикалық шұңқырдағы бөлшек енуі мүмкін емес обылыстар | (I, III) үшін энергия | |||||||||||||||||||||||||||||
| Е < U, ал импульс р жорымал мєндерге ие болады.Бұл жағдайда(7.47)-ші жалпы | ||||||||||||||||||||||||||||||
| шешу | ||||||||||||||||||||||||||||||
| A¢ | i | p | dx + | B¢ | i | p | dx | |||||||||||||||||||||||
| Y = | e | ∫ | ∫ | (7.49) | ||||||||||||||||||||||||||
| h | e h | |||||||||||||||||||||||||||||
| p | p | |||||||||||||||||||||||||||||
| мұнда | p | нақты сан | ||||||||||||||||||||||||||||||
| = | (7.50) | |||||||||||||||||||||||||||||
| p | 2m0 (U - E ) |
x ® ¥болғанда толқындық функцияның шектелген болуы қажет деген стандарт
шартты қанағаттандыру үшін (7.49)-шы өрнектегі екінші мүшенің алдындағы коэффициент В-ты нольге теңестіреміз. Сонда I-ші облыс үшін (х<а) жалпы шешу былай жазылады:
| i | x | ||||||||||||||||||||||||
| A | ∫ | p | dx | ||||||||||||||||||||||
| YI = | h | (7.51) | |||||||||||||||||||||||
| e | a | ||||||||||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||||||||||
| Ал үшінші обылыс (x > b) үшін | |||||||||||||||||||||||||
| B | i b | p | dx | ||||||||||||||||||||||
| YIII | | = | e | x∫ | (7.52) | |||||||||||||||||||||
| h | |||||||||||||||||||||||||
| p |
Бірақ ВКБ-тєсілімен алынған үш шешуде (7.48), (7.51), (7.52)- бөлшектің бұрылыс нүктелерінен алыс болғанда ғана дұрыс болады. Себебі х = а жєне х = b нүктелерінде
| Е = Uболады.Ал импульс р бұрылыс нүктелерінде нольге тең жəне1 | шексіздікке | ||
| p |
ұмтылады. Сондықтан келесі мєселе: х = а жєне х = b нүктелерінде осцилляциялық жөне экспоненциалдық шешулерді Шредингер теңдеуін қанағаттандыратын қылып біріктіру (тігу) қажет. Бұл мєселе толығынан єдебиетте қарастырылған жəне мынадай нєтиже алынған. Егер бөлшек потенциялық шұңқырдың сыртында, I-ші облыста болса, онда толқындық функция (7.51)-ші өрнекпен сипатталады, ал бөлшек потенциялық шұңқырдың ішінде, II-ші облыста болса, толқындық функция:
|
Просмотров 1551 |
|
|
