Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Потенциялық шұнқырдағы бөлшек қозғалысы жайындағы есеп
|
|
Бөлшектің энергиясының дискретті мəндерге ие болатындығын көрсететін қарапайым мысалы ретінде шексіз терең потенциал шұңқырдағы микробөлшектің қозғалысын қарастыралық.
Шұңқырдағы бөлшектің энергиясы Е болсын. Бұл бөлшектің кинетикалық энергиясы потенциялық энергиядан кем болатындықтанT < U ( x) , потенциялық
энергияның нольге тең болатын мєнін потенциялық шұңқырдың түбінен алалық. 7.1-ші суретте көрсетілген потенциялық өріс үшін кеңістікті мынадай үш облысқа бөлуге болады:
U (x)
| U | егер | х <0 | |||||||||
| U 01 | Y | 0 £ х £ 1 | (7.1) | ||||||||
| U (x)=0 | егер | ||||||||||
| егер | х >1 | ||||||||||
| U | |||||||||||
| U 0 | |||||||||||
| I | II | III | |||||||||
| i |
Сурет. Потенциялық шұңқыр
Біздің мақсатымыз: бір өлшемді қозғалыс үшін 7.1- ші суретте берілген потенциялық облыстарға сөйкес келетін Шредингердің стационар теңдеулерін шешу. Бірінші жəне үшінді облыстар үшін:
| Ñ2 YI ,III | (x) + | 2m | [E -U ( x)]YI ,III( x)=0 | (7.2) | ||||||
| h | ||||||||||
| 2-ші облыста U (x) = 0 болғандықтан (7.2)-ші теңдеу мынадай түрде жазылады: | ||||||||||
| Ñ2 Y ( x) + | 2m0 | EY(x)=0 | (7.3) | |||||||
| h 2 | ||||||||||
| Белгілеу енгізейік, | ||||||||||
| к2= | 2m0 | E | (7.4) | |||||||
| h 2 |
Сонда екінші облыс үшін жазылған Шредингер теңдеуі мынадай түрге келеді:
| d 2Y(x) | + K 2Y(x)=0 | (7.5) | |
| dx 2 | |||
Классикалық механика заңдылықтарымен сипатталатын бөлшек үшін (7.5)-ші теңдеудің шешулерін гармоникалық тербелістер түрінде жазуға болады:
Y2 (x) @ cos kx, sin kx
1-ші жөне 3-ші облыстар үшін U = U 0 > E , сондықтан төмендегідей белгілеу енгізсек,
| h 2= | 2m0 | (U 0 - E) | (7.6) | |
| H 2 | ||||
| (7.2)- ші теңдеу мынадай түрге келеді: |
| d 2Y | ||
| 1,3 | + h 2 Y = 0 | |
| dx 2 | 1,3 | |
Ал, бұл теңдеудің шешуі экспоненттер түрінде беріледі:
Y1,3 (x) @ e±hx
Шредингер теңдеуі стандарт шарттарды канағаттандыруы үшін
шексіз өскенде теңдеудің шешуі шексіз кемуі қажет. Сондықтан 1- ші X < 0 болғанда(7.8)-ші теңдеуде жоғарғы таңбаны,ал3-ші облыстатаңбаны алу қажет.
Y1,3 (x) = B1,3e -hx + A1,3 e+hx
2- ші облыс үшін
(7.7)
(7.8) x -тің мєндері
облыста, яғни (Х>0) төменгі
(7.9)
| Y2 (x) = B2 cos kx + A2 sin kx | (7.10) |
Сонымен біз 7.1-ші суретте көрсетілген єрбір үш облыс үшін Шредингер теңдеулерінің шешулерін тағайындадық. Қарастырылып отырған есепті жеңілдету үшін потенциялық шұңқыр шексіз терең (U 0 ® ¥)деп алалық. Онда (7.6)-шы
қатынастан h мєндері де шексіздікке ұмтылады. Бұл жағдайда (7.9)-шы теңдеуден Y1 = Y3 = 0 болатындығын көреміз. Егер толқындық функция нольге тең болса, онда
бұл функциялар сипаттайтын кеңістіктің бөліктерінде бөлшектің жоқ болғаны. Сондықтан бұдан былай 1- ші жөне 3-ші облыстарды қарастырмауға болады. Енді 2-ші облысқа оралайық. Потенциялық шұңқырдың ішінде (7.10)-шы теңдеудің шешулері үшін шекаралық шарттар:
| X = 0 болғанда | Y2 (x) | x =0=0 | (7.11) | ||
жєне
| X = l болғанда | Y2(х) | х = l =0 | (7.12) | ||||||||||||||
| Бұлардан (7.11)- ші шарт | орындалуы | үшін | В2=0, | ал | энергияның | ||||||||||||
| меншікті мєндері үшін к = пp , | мұндағы | п = | 1, | 2, | 3, т.б. п = 0 | ||||||||||||
| мəнінде толқындық функция | нольге | тең | болғандықтан, | алға | карай | бұл мєнді | |||||||||||
| қарастырмаймыз. Сонда | k | = | 2m0 | En | = | n | 2p 2 | бұдан, | |||||||||
| H | l 2 | ||||||||||||||||
| En | = | p 2 H 2 | n 2 | (7.13) | |||||||||||||
| 2m0 l 2 |
Энергияның осы меншікті мєндеріне сєйкес келетін меншікті функциялар:
| Yn ( х)= A2 | sin | np | x | (7.14) | |
| l |
А2 коэффициентін толқындық функцияны нормалау шартынан анықтауға болады:
l
∫ A2sin kx 2 dx =1
| бұдан: | A2 | = | ||||
| l | ||||||
Сонымен потенциялық шұңқырдағы микробөлшектің қозғалысын сипаттайтын толқындық функция
| Yn | ( x)= | sin pn x | (7.15) | ||||
| l | |||||||
| l |
Энергияның меншікті мєндерімен, меншікті функцияларының кейбір мəндерін жазалық:
| p 2 H 2 | sin p x | |||||||||||||||||||
| n =1 | E | = | , | Y = | ||||||||||||||||
| 2m0 l 2 | l | l | ||||||||||||||||||
| sin | 2p | x | ||||||||||||||||||
| n =2 | E | = 4E , | Y = | |||||||||||||||||
| l | l | |||||||||||||||||||
| sin | 3p | x | ||||||||||||||||||
| n =3 | E | = 9E | , | Y = | ||||||||||||||||
| l | l | |||||||||||||||||||
| ,,, | ,,, | ,,, |
Сонымен, егер бөлшектің қозғалысы потенциялық шұңқыр ішімен ғана шектелген болса, онда оның энергиясы тек дискретті мєндерге ие болады.
|
Просмотров 1271 |
|
|
