Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Сурет. Энергияның кез келген мєніне сєйкестендірілген толқындық функция
|
|
| d | Y | 2m0 | x | ||||||||
| + | E - | m0 w | Y( x)=0 | (8.12) | |||||||
| dx 2 | H 2 | ||||||||||
Мынадай белгілеулер енгізелік:
| a = | 2m0 | b = | = | m0 w | a | = | 2E | (8.13) | |||
| E, | , | b | |||||||||
| h 2 | x 02 | ||||||||||
| h | hw |
жєне x = x b = x - өлшемсіз айнымалы.
x0
Сонда (8.12)-ші теңдеудің орнына мынадай теңдеу аламыз:
d 2 Y + (l - x 2 )Y(x ) = 0 dx 2
Бұл функцияның айнымалысы x ® ±¥ ұмтылса(l << x 2 ), онда жазылады:
Y¢¢ - x 2 Y = 0
¥ ¥
Бұл теңдеудің шешуін мынадай түрде іздестіреміз:
Y¥ e ax 2
Бұл қатынасты (8.16)-ші теңдеуге қойсақ, онда
| x | e | ax 2 | - x | e | ax 2 | = 0 | |||||||
| 4a | |||||||||||||
| Бұдан 4a 2 -1 = 0 | бұдан a = ± 1 | ||||||||||||
Сонда (8.16)-шы шешудің орнына мынадай қатынас аламыз:
| x 2 | x 2 | ||||||
| Y | = С e 2 | + C | e 2 | ||||
| ¥ |
(8.14)
(8.14)-ші теңдеу былай
(8.15)
(8.16)
(8.17)
(8.18)
| x ® ±¥ | ұмтылғанда, толқындық функция шектелген болуы | керек шартынан, | |||
| C2=0, C1 | = 1 болуы қажет. Енді (8.18) мынадай түрге келеді: | ||||
| x 2 | (8.19) | ||||
| Y = e 2 | |||||
| ¥ |
Сонда (8.14)-ші теңдеудің шешуі былай жазылады:
| x | |||
| Y(x )= Y¥U (x )e | U (x ) | ||
Енді (8.14)-ші теңдеу мынадай түрге келеді:
U ¢¢(x )-2xU ¢(x )+(l -1)U (x )=0
Бұл теңдеудің шешуін қатар ретінде іздестіреміз:
| n | n | k | |||
| ∑ | |||||
| U (x )= a0+ a1x + a2x +...anx | = | ak x | |||
| k =1 | |||||
(8.21)-ші қатарды (8.20)-шы теңдеуге қойып, қосындының индексін бір келтіреміз:
| ∑ | x | k | [(k +2)(k +1)ak +2- ak (2k +1- l)]=0 | ||||||||||
| k =0 | |||||||||||||
| Бұл рекурренттік қатынас: | 2k +1 - l | ||||||||||||
| a | k +2 | = | a | ||||||||||
| (k + 2)(k +1) | k | ||||||||||||
| Бұдан k ® ¥ жағдайда | |||||||||||||
| ak +2 | » | ||||||||||||
| k | |||||||||||||
| ak |
(8.20)
(8.21)
мєнге
(8.22)
(8.23)
| x k +2 |
(8.21)-ші дəрежелі қатардың ex 2 түрінде өсетіндігін көреміз. Мұны дєлелдеу үшін
функциясын қатарға жіктейік
ex 2 = 1 + x 2 + x 4 + x 6
2! 3!
| + ... + | x k | + | ||||||
| k | k | |||||||
| ! | ||||||||
+
1 !
+ ... = 1 + x 2 + ... + bk x k + ... + bk +2 S
бұдан
| k | |||||||||
| bk +2 | ! | k | |||||||
| = | = | ||||||||
| k | |||||||||
| bk | |||||||||
| + 1 ! | |||||||||
- жоғарыда айтылған тұжырым дєлелденді.
(8.21)-ші қатар kmax = n мєнімен шектеліп, an ¹ 0 жєне an+2 = 0 болса, онда
l = 2n + 1 (8.24)
(8.13)-ші қатынас бойынша ln = 2En / hw
Сонда кванттық механикадағы гармоникалық осциллятордың энергиясының меншікті мəндері:
| (8.25) | ||||
| En | = hw n + | |||
мұндағы п = 0, 1, 2, 3,...
Егер n=0 болса, гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясы:
| E0 | = | hw | (8.26) | ||
(8.26)-ші рекуреттік қатынастан (8.21)-ші полиномның жұптылығы n санының мєнінің жұптылығына байланысты екендігін көреміз. Сондықтан полиномды былай жазуға болады:
| U n (z )= anx n + an-2x n-2+...+ | a0,егер | n -жұп болса | |||||||
| (8.27) | |||||||||
| a1x ,егер | n -тақ болса | ||||||||
| an =2n | деп қабылдап, (8.23)- ші рекуренттік формуладан калған коэффициенттердің | ||||||||
| мєндерін анықтайық. | |||||||||
| ак коэффициенттері үшін l =2n +1болғанда | |||||||||
| ak (l -1-2k )= ak (2n +1-1-2k )= ak (2n -2k )= -ak +2(k +2)(k +1) | |||||||||
| немесе | an-2= -an (n -1)/(2×2)= -2n n(n -1)/1! | ||||||||
| an-4= -an-2(n -2)(n -3)/(2×4)=2n-4 n(n -1)(n -2)(n -3)/ 2! | |||||||||
| an =2n | жєне l = 2n + 1болатын | (8.21)-ші | дєрежелі қатар Эрмит полиномы деп | ||||||
| аталады: | a1x ,егер | n -тақ болса | |||||||
| n(n -1) | n(n -1)(n -2)(n -3) | ||||||||
| U(x)= Hn (x)=(2x)n - | (2x)n-2 + | (2x)n-4 +...+ | (8.28) | ||||||
| 1! | 2! | ||||||||
| a0,егер | n -жұп болса |
| жеке жағдайларда H 0 (x ) = 1 | егер | n =0 |
| H1(x )=2x | егер | n =1 |
| H 2(x )=4x 2-2 | егер | n =2 |
| H 3(x )=8x 3-12x | егер | n =3… |
Эрмит полиномын тұйықталған күйде де жазуға болады:
| H n | (x ) = (-1)n e-x 2 | d n e-x 2 | |
| dx n | |||
(8.29)
(8.30)
Сонымен, энергияның меншікті Еп мєнін сипаттайтын толқындық функция мынадай түрде жазылады:
| - | x 2 | (8.31) | |||||||
| Y | (x ) = С | e 2 | H | n | (x ) | ||||
| n | n |
Сп -коэффициентін толқындық функцияны нормалау шартынан анықтауға болады.
| +¥ | Y | n | dx = С2 x | +¥ | -x | (x )dx = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∫ | ∫ e | H 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -¥ | n | n | -¥ | n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| H n (x )=(-1)n e s 2 | d 4 e -x 2 | болғандықтан | теңдіктің оң жағындағы интегралды былай | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| +¥ | +¥ | d | n | -x 2 | -2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| түрлендіріп жазуға болады: ∫e-x 2 | H n2(x )dx =(-1) n ∫ H n | (x ) | e | dx = | Cn | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n | x0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Енді | -¥ | -¥ | dx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| d n H n (x ) | = 2n × n! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| +¥ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| e-x | p ; екендігін ескерсек: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| жєне ∫ | dx = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -¥ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Cn = | (8.32) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2n × n! | p x0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сонда толық шешу | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Cn = | (8.33) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2n × n! | p x0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сонымен, кванттық механикадағы гармоникалық осциллятордың энергиясының меншікті мєндері мен оларға сəйкес келетін меншікті функциялар (8.25)-ші жəне (8.33)-ші өрнектермен анықталады. Энергияның меншікті мəндерінің спектрлерін қарастырайық.
n =0 E0=1 hw,2
n =1 E1=3 hw,2
n =2 E2=5 hw,2
| x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Y0( x)= | - | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| e | x0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| px0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | - | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Y1( x)= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| e | x0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| px0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | - 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | - | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Y2( x)= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| e | x0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| px0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бірінші толқындық функция x - тің ( x ® ±¥ мєнінен басқа) қандай мєндерінде болса нольге тең болмайды. Екінші толқындық функция x = 0 нүктесінде нольге тең болады. Толқындық функция нольге тең болатын нүкте түйін деп аталады. Ал үшінші
толқындық функция x = ±x0 2 нүктелерінде нольге тең, яғни түйіндердің саны екіге тең
болады. Бұдан меншікті функциялардың түйіндерінің саны n кванттық санының мєндеріне тең болатындығын көреміз.
U (x)
n=0
| │Ѱ2│2 | r 2 | E2 | = | Hw | ||||||||||||
| │Ѱ1│2 | r | = | H | |||||||||||||
| E1 | w | |||||||||||||||
| │Ѱ0│2 | r 0 | E1 | = | Hw | ||||||||||||
0 x
8.2-сурет. Энергияньң меншікті мəндері, кванттық сан п = 0, 1, 2 болғанда гармоникалық осциллятордың меншікті функцияларын классикалық теориямен (үзікті сызық) салыстыру
Графиктен п-нің үлкен мєндерінде кванттық механиканың нəтижелерінің классикалық физиканың мєндеріне жуық келетіндігін көреміз.
|
Просмотров 731 |
|
|
