Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Толқындық, функцияның бұрыштық бөлігі үшін Шредингер теңдеуін шешу
|
|
Құрамында тек бір ғана белгісіз параметр болғандықтан, алдымен (10.11)-ші теңдеуден бастап шешелік. Бұл теңдеудің шешуі
| F(j )= Сm eimj | (10.18) |
түрінде ізделеді. Мұндағы m -оң жəне теріс мєндерге ие бола алады. Толқындық функцияның бір мєнді болуы керектігінен, F(j )функциясына мерзімділік шарт
| қоямыз: | ||
| F(j ) = F(j + 2p ) | (10.19) | |
| Бұл шарттан e2pim = 1 | ||
| Эйлер формуласын пайдалансақ, | ||
| e2pim =cos 2pm + i sin 2pm =1 | ||
| бұдан m - параметрінің меншікті мєндерін аламыз: | (10.20) | |
| m =0,±1,±2,±3,... |
Параметр т-магниттік кванттық сан деп аталады. Сm коэффициентінің мəнін табу үшін (8.17)-шіF(j ) функциясын нормалау шартын пайдаланамыз.
2∫p Сm*e -imj Cm eimj dj =1
Бұл шарттан Сm коэффициенті
| Сm | = | (10.21) | ||||
| 2p | ||||||
т параметрінің меншікті мєндері анықталғаннан кейін толқындық функцияныңсфералық бұрышқа байланысты бөлігі (10.10)-шы теңдеуді шешуге кірісе аламыз. Бұл теңдеуге жаңа айнымалы енгіземіз
| Сонда | x =cosq | (10.22) | |||||
| sin 2 q = 1 - x 2 , | dx | = -sinq , | d | = -sin | d | (10.23) | |
| dq | dq | dx | |||||
(10.22) жєне (10.23)-ші теңдеулердің негізінде (10.10)-шы теңдеу мынадай түрде жазылады:
| [(1 - x) | ¢ | A - | m | (10.24) | ||||||
| r( x)] | + | r( x)=0 | ||||||||
| 1 - x | ||||||||||
| Соңғы теңдеуде x = ±1 мєні айрықша | нүктелер болып | табылады, яғни |
r(x)функциясының алдындағы коэффициенттердің бірі шексіздікке ұмтылады.Мұндай таралудан арылу үшін (10.24)-ші теңдеудің шешуін мынадай түрде іздестіреміз:
| U ( x)=(1- x 2)S / 2 r( x) | (10.25) |
(10.25)-ші шешуді (10.24)-ші теңдеуге қойып тендеуді (1 - x 2 )S / 2 шамасына қысқартсақ мынадай теңдеу аламыз:
| (1 - x | A - s | ||||
| )U ( x)-2x(s +1)U ( x)+ | |||||
| - s + | s - m | (10.26) | |||
| U ( x)=0 | |||||
| 1 - x | |||||
| Бұл теңдеудің соңғы мүшесіндегі ерекшеліктен кұтылу үшін | (10.27) | |
| s = ±m |
деп алсақ жеткілікті.
Негізгі теңдеу тек m 2 -қа ғана байланысты болғандықтан, (10.26)-ші теңдеудің шешімі s-тің екі мєнін де қанағаттандыратындықтан,бұл екі шешімнің арасында сызықтықтєуелділік болуы қажет.
| r(m)= Ar(- m) | (10.28) | ||||||||||||||
| Сондықтан (10.26)-шы теңдеудің шешуін | (10.29) | ||||||||||||||
| болған жағдайда қарастырамыз. | s = m ³0 | ||||||||||||||
| (10.29)-шы қатынастың негізінде (10.26)-шы теңдеу мынадай түрге келеді: | |||||||||||||||
| x 2 | U ¢¢ | x | )- | 2x m 1 U ¢ | x | )+ [ | A | - | m m 1 U | x | ) = | (10.30) | |||
| ( - | ) ( | ( + ) ( | ( - )] ( |
Соңғы теңдеуде айрықша нүктелер жоқ болғандықтан, оның шешуін полином түрінде іздестіреміз:
| U (x)= | ∑ | ak x | k | (10.31) | |
| k -1 | |||||
Бұл полиномды (10.30)-шы теңдеуге қоюдың
| ∑ | k -2 | k | |||
| {k (k -1)ak x | + ak [A -(k + m)(k + m +1)x ]}=0 | (10.32) | |||
| k -1 | |||||
жєне x - тың дəрежелері бірдей мүшелерін жинақтау нєтижесінде, мынадай қатынасқа келеміз:
| ∑ | {(k +2)(л +1)ak +2 | +[A -(k + m)(k + m +1)]ak }x | k | = 0 | |
| k -1 | |||||
бұдан рекуренттік қатынас
| ak +2= | A -(k + m)(k + m +1) | ak | (10.33) | |
| (k +2)(k +1) |
(10.31)-ші қатардың барлық коэффициенттерінің арасындағы байланысты тағайындайды. (10.31)-ші қатардың дєрежесінің максимум мєніk = q мєнімен шектеліп,
| aq+2=0, aq ¹ o | ||
| шарт орындалса, А параметрінің мəні | ||
| A =(q + m)(q + m +1) | (10.34) | |
| болады. Мұнда, q = 0,1,2,3,... | ||
| Орбиталық кванттық сан ұғымын енгізсек | (10.35) | |
| L = q + m |
бұл кванттық санның q жəне т кванттық сандар сияқты мєндерге ие болатындығын, бірақ тек оң мєндер алатындығын көреміз:
| L = 0,1,2,3,... | (10.36) | ||||||||||
| Сонымен қатар (10.35)-ші қатынастың негізінде | (10.37) | ||||||||||
| L ³ m | |||||||||||
| (10.34)-ші жєне (10.35)-ші өрнектердің негізінде | |||||||||||
| A =L(L+1) | (10.38) | ||||||||||
| Енді (10.30)-шы теңдеу мынадай түрге келеді: | |||||||||||
| (1 - x)2 U (x)- 2x(m +1)U (x)+ [L(L + 1)- m(m + 1)]U (x) = 0 | (10.39) | ||||||||||
| мұнда | |||||||||||
| U (x)= aL-m x L-m + aL-m-2 x L-m-2+...+ | a | (10.40) | |||||||||
| a1 x | |||||||||||
| функциясын жинақталған күйде жазалық. Ол үшін | |||||||||||
| - | x 2 | v¢ | + | 2xLv | = | (10.41) | |||||
| ( | ) | ||||||||||
| теңдеуін қанағаттандыратын | v =(x2-1)L | ||||||||||
| (10.42) |
функциясын енгізейік. Лейбниц ережесін пайдаланып (10.41)-ші теңдеуді (L + m +1) рет дифференциялдап, мынадай белгілеу енгізсек:
| L+m | (x 2 | -1)L = U | ||||||||||||||||
| v ( L+m ) | = | d | 1( x) | (10.43) | ||||||||||||||
| L+m | ||||||||||||||||||
| dx | ||||||||||||||||||
| онда U1 (x) функциясы үшін келесі теңдеу аламыз: | ||||||||||||||||||
| x 2 U ¢¢ | x | )- | 2x m 1 U ¢ | x | L | m | 1 L | m U | x | ) = | (10.44) | |||||||
| ( - | ) 1 ( | ( + ) | 1 ( | )+ ( + | + )( | - | ) 1 ( |
бұл теңдеу тұрақты шамаға тең дєлдікпен (10.40)-шы теңдеуге сєйкес келеді. Яғни,
| U (x)жєне U1(x)функцияларының арасында сызықтық тєуелділік болады: | |||||||
| U (x)= CU1(x) | (10.45) | ||||||
| r(q )функциясы əзірге нормаланбағандықтанC коэффициентінің мєнін m = 0 | болғанда | ||||||
| соңғы (10.45)-ші шешу Лежандр полиномына | |||||||
| P( x)= | 1 d L [(x 2 -1)L ] | (10.46) | |||||
| 2L L! | dx L | ||||||
| ауысатындай қылып, | - ге теңестірген дұрыс. | ||||||
| 2L L! |
Сонда
| d L+m | L | |||||||||||||||||
| U ( x)= | (x 2-1) | (10.47) | ||||||||||||||||
| L | L! dx | L+m | ||||||||||||||||
| Бұл теңдеудің жєне (10.25)-ші теңдеудің негізінде | ||||||||||||||||||
| P mL(x)=C mLP mL(x) | (10.48) | |||||||||||||||||
| мұнда C mL -нормалау P mL (x)-коэффициенті толықтырылған Лежандр полиномы | ||||||||||||||||||
| L+m | L | |||||||||||||||||
| d | -1) | |||||||||||||||||
| P mL( x)=(1- x 2)m / 2 | (x | (10.49) | ||||||||||||||||
| dx | L+m | L | × L! | |||||||||||||||
| (10.49)-шы теңдеу Лежандр полиномының төмендегідей қасиетіне | ||||||||||||||||||
| P mL | ( x)=(-1)m | (L + m)! | r mL( x) | (10.50) | ||||||||||||||
| (L - m)! | ||||||||||||||||||
байланысты m - кванттық санының оң жєне теріс мєндерін түгел қанағаттандырады.
| (10.49) жєне (10.50)-ші қатынастандардың негізінде | m | > L болғанда | P mLнольге тең | ||||||||||||||||||
| болғандықтан, m - кванттық саны мынадай мєндерге ие болады: | (10.51) | ||||||||||||||||||||
| m =0,±1,±2,±3,...,±L | |||||||||||||||||||||
| C mL-коэффициент P mL(q )функциясын нормалау шартынан анықталады: | |||||||||||||||||||||
| p | |||||||||||||||||||||
| ∫ | r * (q )r(q )sinqdq = ∫(rmL )* r mL | ( x)dx =1 | (10.52) | ||||||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||||||||
| Бұл теңдеуге (10.48)-ші шешімді қойып, (10.50)-ші өрнекті ескерсек төмендегідей: | |||||||||||||||||||||
| (-1)m (L + m)! | m | 2 1 d L-m | Ld L+m | 2-1 L | |||||||||||||||||
| C L | ∫ | (x | -1) | (x | ) dx | = 1 | |||||||||||||||
| L | L-m | L+m | |||||||||||||||||||
| (2 × L!) (L - m)! | -1 | dx | |||||||||||||||||||
| dx |
қатынасқа келеміз. Туындылардың ретін ауыстыру теоремасын пайдаланып:
| (-1)m (L + m)! | m | 2 1 | L | d 2L | L | |||||||||||||||||||||||||||
| C L | ∫ (1 | - x | ) | (x | -1) dx = 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| L | 2L | |||||||||||||||||||||||||||||||
| (2 × L!) (L - m)! | -1 | dx | ||||||||||||||||||||||||||||||
| жəне | (n =2L) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| d | 2L | x | n | = | 2L! | |||||||||||||||||||||||||||
| (n <2L) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx 2L | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| теңдігін ескерсек жєне сонымен қатар төмендегідей интегралды | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 L | (L!)2 22L+1 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∫ | (1 - x | ) | dx = | |||||||||||||||||||||||||||||
| (2L + 1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| пайдалансақ, C mL нормалау коэффициенті үшін мынадай өрнекке келеміз: | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| C mL= | (2L +1) | (L - m)! | (10.53) | |||||||||||||||||||||||||||||
| (L + m)! | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сонда толқындық функцияның q - сфералық бұрышқа байланысты бөлігі үшін: | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| r mL(q )= | (2L + 1) | (L - m)! | r mL (cosq ) | (10.54) | ||||||||||||||||||||||||||||
| (L + m)! |
(10.18), (10.54) теңдеулердің негізінде (10.8)-ші Y mL (q ,j )- шар функциясы енді мынадай түрде жазылады:
| Y mL(q ,j )=r mL(q )F m | (j ) = | 2L + 1 | (L - m)! | r mL (cosq )eimj | (10.55) | ||||
| 4p | |||||||||
| (L + m)! | |||||||||
| Мұндай шар функцияларын ортонормалау шарты: | |||||||||
| ∫(Y mL)* Y mLdW = d LL¢×d mm¢ | (10.56) | ||||||||
| m жəне A параметрлерінің меншікті | мєндері | анықталғаннан кейін | толқындық |
функцияның R(r )радикалық бөлігі үшін жазылған (10.7)-ші теңдеуді шешуге кірісуге болады. Бірақ бұл теңдеуді шешу үшін U (r )- потенциялық энергияның түрін білу
қажет. Ал потенциалдың түрі дербес жағдайлар үшін єртүрлі болатындықтан, радиалдық бөлік тек жеке жағдайлар үшін ғана шешіледі.
|
Просмотров 771 |
|
|
