Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Ротатордың меншікті функциялары
|
|
Бұрыштық моменттің квадратының меншікті функцияларын ротатордың, яғни материялық нүктенің сфера бойынша еркін қозғалысының кванттық теориясын құрастыруға қолданалық.
Ротатор теориясының негізгі нєтижелерін екі атомды молекулалардың спектрін зерттеуге пайдалануға болады.
Алдымен, жартылай кванттың Бор теориясындағы ротаторды қарастырайық. Координаттар жүйесінің басын материалдық нүкте қозғалатын радиусы r = a = const сфераның ортасына орналастырайық. Бұл жағдайда потенциялық энергия тұрақты болады:
| U (r )U (a)= const | (11.1) |
| Потенциялық энергияны кез келген мєнінен бастауға болатындықтан: | |
| U (a)=0 | (11.2) |
деп қабылдай аламыз. Сонда ротатордың толық энергиясы оның кинетикалық энергиясына тең болады:
| & 2 | ||||
| E = T = | m0 a j | (11.3) | ||
Бұдан бұрыштық моментке эквивалентті жалпылама импульс:
| Pj = | dT | = m0 a 2j 2 | (11.4) | |||
| & | ||||||
| dj | ||||||
| Бор теориясы бойынша кванттасақ: | (11.5) | |||||
| Pj = nj H | ||||||
| Сонда, ротатордың толық энергиясы: | ||||||
| n 2H | ||||||
| E = | j | (11.6) | ||||
| 2I | ||||||
мұнда I = m0 × a 2 - инерция моменті.
Ротатордың кванттық теориясын құрастыру барысында бұл есептің орталық симметриялы өрістегі бөлшек қозғалысының дербес жағдайы екендігін ескереміз. Сондықтан, R(r )- радиал функцияны анықтау үшін мынадай теңдеуді пайдалана аламыз:
| 2m0 | L(L + 1) | ||||||||||||||||||||
| Ñr R(r )+ | E - | R(r )=0 | (11.7) | ||||||||||||||||||
| r | |||||||||||||||||||||
| H | |||||||||||||||||||||
| Ротатор үшін | r = a = const болғандықтанÑr2 R(a)=0,демек(11.7)теңдеуден ротатордың | ||||||||||||||||||||
| энергиясы | H 2 × L(L + 1) | H 2 L(L + 1) | |||||||||||||||||||
| EL | = | = | (11.8) | ||||||||||||||||||
| 2m0 a 2 | 2I | ||||||||||||||||||||
| Бұл өрнекті | Бор теориясындағы ротатордың | энергиясы (11.6)-мен | салыстырсақ, | ||||||||||||||||||
| ал кванттық теорияда екендігін көреміз. Бұл айырмашылық | ˆ | ˆ | |||||||||||||||||||
| энергия EБор ~nj , | M x | , M y | |||||||||||||||||||
| жєне | ˆ | бұрыштың момент операторларының өзара коммутативті емес екендігіне | |||||||||||||||||||
| M z | |||||||||||||||||||||
байланысты жєне ол кванттық теорияның негізгі ерекшеліктеріне жатады. Кванттық жєне Бор теорияларының арасындағы сєйкестілікті тек қана L кванттық сандарының
үлкен мєндерінде L 2 >> 1 ғана байқауға болады. (11.8)-ші өрнек бойынша ротатордың энергиясы тек L орбиталық кванттық санға тєуелді де, M бұрыштық моменттің Z осіне проекциясын сипаттайтын m - магниттік кванттық сан бұл өрнекке кірмейді. Бірақ осы EL энергияның меншікті мєндеріне сєйкес келетін Y (q ,j ) меншікті
функциялары m кванттың санына тєуелді: m саны - L ден + L мєніне дейін өзгеретін
| болғандықтан, EL энергиясының | єрбір мєніне | бірінен бірінің | айырмашылығы M |
| бұрыштық моментінің Z осіне | бағытталуына | байланысты | болатын (2L + 1)өзара |
ортогонал меншікті функциялар сєйкес келеді. Бұл жағдайда EL энергиялық деңгей (2L + 1)ретті "азған" делінеді.
Ротатордың энергиялық деңгейлерінің азғын болуы физикалық тұрғыдан ротатордың орталық симметриялы жүйе болуының, яғни, координаттар осінің басы арқылы өтетін барлық бағыттардың бірінен бірінің айырмашылығы жоқ болуының салдары. Осы тұрғыдан кез келген орталық – симметриялы жүйелердің барлығында да азған күйлер болуы қажет.
Ал егер де жүйеде белгілі бір бағыт анықталған болса, мысалы, сыртқы магнит өрісінің єсері, онда орталық симметрия бүзылады, M бұрыштық моменттің барлық моменттері өзара эквивалентті болмайды, яғни азғындық реті азаяды, не мүлдем
| жойылады. | |||||||||||||||||||||||||||||
| Спектрлік | терминологияда | єртүрлі | энергиялық | деңгейлер – | термдер деп | ||||||||||||||||||||||||
| аталады. Мысалы, L = 0 мєніне сєйкес келетін деңгей s - терм, | L = 1 болғанда | деңгей | |||||||||||||||||||||||||||
| p -терм деп аталады.Сол сияқты | d -термдеL=2, | f -термде | L = 3 болады. | Ал, біз | |||||||||||||||||||||||||
| қарастырып отырған жағдайларда ротатор егер L = 0 | болса, | s -күйде | L = 1 болғанда | ||||||||||||||||||||||||||
| p -күйде т.с.с. | делінеді. Ротатордың s - жєне p - күйлерін толығырақ қарастыралық. | ||||||||||||||||||||||||||||
| s -күйдеL= m =0болғандықтан E0 | = 0 мєніне сєйкес келетін меншікті функция: | ||||||||||||||||||||||||||||
| Y | 0 = | (11.9) | |||||||||||||||||||||||||||
| 4p | |||||||||||||||||||||||||||||
| бұдан осы күйдің ықтималдылық тығыздығы | |||||||||||||||||||||||||||||
| Y | 2 = | (11.10) | |||||||||||||||||||||||||||
| 4p | |||||||||||||||||||||||||||||
| p -күйдеL=1,ал т кванттың саны0, 1, -1мєндеріне ие болады. | |||||||||||||||||||||||||||||
| Сонда энергияның меншікті мєніне: E1 = | H 2 | үш меншікті функция сєйкес келеді: | |||||||||||||||||||||||||||
| I | |||||||||||||||||||||||||||||
| Y -1 | = - | e -ij ×sinq | (11.11) | ||||||||||||||||||||||||||
| 8p | |||||||||||||||||||||||||||||
| Y 0 | = | cosq | (11.12) | ||||||||||||||||||||||||||
| 4p | |||||||||||||||||||||||||||||
| Y 1= | eij ×sinq | (11.13) | |||||||||||||||||||||||||||
| 8p | |||||||||||||||||||||||||||||
Ал ықтималдылық тығыздықтары мынадай өрнектермен беріледі:
| Y | -1 | = | Y | = | sin 2 q | (11.14) | |||||||||||
| 8p | |||||||||||||||||
| 2 = | (11.15) | ||||||||||||||||
| Y 0 | cos 2 q | ||||||||||||||||
| 4p | |||||||||||||||||
Графиктік түрде (11.10, 11.14, 11.15)-ші ықтималдылық тығыздықтарының үлестірілуі 11.1-ші суретте берілген.
 |Y00|2
| Z | |Y1ϭ1|2 | Z | |Y10|2 | Z | |||||||||
| 4p | 4p | |||||||||||||
| Y | Y | Y | ||||||||||||
| M (m=-1) | ||||||||||||||
| 8p | ||||||||||||||
| l = m = 0 | l =1, m =ұ1 | l = 1, m = 0 |
|
Просмотров 1071 |
|
|
