Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Толқындық функцияның радиалдық бөлігінің шешуі
|
|
Сутегі тєріздес атом деп – сыртқы электрон кабықшасында бір электроны бар атомдарды айтамыз. Оған периодтық таблицаның бірінші группасындағы элементтер жатады: H, Li, Na, т.б. Бор тағайындаған сутегі тєріздес атомның теориясы-жартылай классикалық теория болып табылады да, атомның көптеген қасиеттерін түсіндіре алмайды. Мысалы, Бор теориясын пайдаланып атомдардың сєуле шағылу спектрлерінің қарқындылығын есептеу немесе көп электронды атомдар теориясын құру мүмкін емес.
Ал, кванттық механикада бұл сияқты мєселелерді шешу онша қиынға түспейді. Бір электронның атомдағы қозғалысы математикалық тұрғыдан планеталардың Күнді айнала қозғалысына (Кеплер мєселесі) ұқсас жєне гармоникалық осциллятор мен ротатор есептері сияқты дєл шешілетін болғандықтан, тєсілдік тұрғыдан да пайдасы зор. Электронның ядромен єсерлесу энергиясы ядромен электронның арақашықтығына ғана байланысты функция:
| U (r )= - | ZL | 02 | (12.1) | |
r
Сондықтан, сутегі тєріздес атом теориясын орталық симметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысы теориясының дербес жағдайы деп қарастыруға болады.
Санақ жүйесінің басын ядроға орналастырып, толқындық функцияның Y(r,q ,j )= R(r )Y (q ,j )бүрыштық бөлігінің Y (q ,j )шешуі белгілі деп есептесек,радиалдық
бөлігі үшін Шредингер теңдеуі былай жазылады:
| d R(r) | dR | 2m0 | ZL0 | H L(L +1) | |||||||||
| + | + | E + | - | R(r)=0 | |||||||||
| dr2 | 2m0r 2 | ||||||||||||
| r drH2 | r |
Тиімді потенциялық энергия ұғымын енгізейік:
| U эф | = - | ZL02 | + | H 2 L(L + 1) | ||
| r | 2m0 r 2 | |||||
(12.2)
(12.3)
мұндағы бірінші мүше кулондық єсерлесуге, ал екінші мүше – орталықтан тепкіш күштерге байланысты шамалар. Осы потенциялық энергияның қашықтыққа тєуелділік графигін тұрғызайық.
Графиктен егер электронның толық энергиясы Е < 0 болса, онда оның қозғалысы кеңістіктің екі жағынан да потенциялық тосқауылмен шектелген, яғни,
электронның энергиясы дискретті мєндерге ие болады (эллиптикалық орбиталар), керісінше егер Е > 0 болса, онда 12.1- ші суреттегі графиктің оң жағынан тосқауыл болмайды (гиперболалық орбиталар), ал электронның энергиясы үзіліссіз мєндерге ие болады.
| Электронның атомдағы | ||||||
| орны rmax | мєнімен | шектелген | эф | |||
| болғандықтан, сутегі тєріздес | ||||||
| атом | теориясын | кұрғанда | ||||
| ондағы электронның энергия- | Е>0 | |||||
| сының | мəндерін 0-ден кіші | rmin rvax | ||||
| деп қарастырамыз. (12.2)-ші | E<0 | φ | ||||
| теңдеуді | мынадай түрде | |||||
түрлендіріп жазалық:
Сурет. Тнімді потенциялық энергияның қашықтыққа тєуелділігінің графигі. Үзік сызықпен толқындық функцияның өзгерісі берілген.
| d 2 R | 2 dR | 2B | L(L + 1) | (12.4) | |||||||
| + | + | - A + | - | R =0 | |||||||
| dr 2 | r 2 | ||||||||||
| r dr | r |
мұнда
| m0 ZL02 | = B >0,- | 2m0 | E = A >0 | |
| H | ||||
| H | ||||
Мынадай жаңа айнымалы енгізсек:
r(r )=2× 
A × r
(12.4)-ші өрнектің орнына мынадай теңдеу аламыз:
| B | L L | ||||||||||||||
| R¢¢ | ( r )+ | R¢ | + | r - | ( | + 1) | R | ( r ) = | |||||||
| r | (r )+ | A | r 2 | ||||||||||||
мұндағы
R¢( r )+ dR(r ) dr
(12.5)
(12.6)
(12.7)
r ®0жєне r ® ¥болғанда(12.7)теңдеуде шексіз артатын жєне шексіз кемитінмүшелер кездеседі. Біздің мақсатымыз (12.7) теңдеуден мұндай жинақсыздықты жою, ол үшін:
1) r ® 0 болғанда, (12.7) теңдеудің орнына
| R¢¢ | - | R | = 0 | (12.8) | |||
| ¥ | |||||||
| ¥ | |||||||
теңдеуін аламыз. (12.8) теңдеудің шешуін мынадай түрде ізделік:
| r | r | (12.9) | |||||||
| = C e | + C | ||||||||
| R | ¥ | e 2 | |||||||
| Бұл теңдеудегі шексіз артатын екінші мүшеден құтылу үшін C2 = 0, C1 = 1 | деп алалық. |
Сонда
| r | |||||||||||||||||||||||||||||
| 2) r ® 0 болғанда | R¥= e 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
| L(L + 1) | |||||||||||||||||||||||||||||
| R¢¢ + | R¢ | - | R | = 0 | |||||||||||||||||||||||||
| r | ¥ | r 2 | |||||||||||||||||||||||||||
| (12.11)-ші теңдеудің шешуін | |||||||||||||||||||||||||||||
| R0 | = r q | ||||||||||||||||||||||||||||
| деп қарастырамыз. Енді | |||||||||||||||||||||||||||||
| q(q +1)-L(L+1)=0 | бұдан q 2 + q - L(L + 1) = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
| = L × q2 = -(L + 1) | |||||||||||||||||||||||||||||
| q1,2 = - | ± L + | ; | q1 | ||||||||||||||||||||||||||
| Сонда: | r -(L+1) | ||||||||||||||||||||||||||||
| R | = C r L+ C | ||||||||||||||||||||||||||||
| C1=1, C2 | = 0 болғандықтан | R0 | = r L | ||||||||||||||||||||||||||
| (12.7)-ші теңдеуді былай түрлендіріп жазайық: | |||||||||||||||||||||||||||||
| d | (R × r ) | B | L(L + 1) | ||||||||||||||||||||||||||
| + - | + | - | ( rR)=0 | ||||||||||||||||||||||||||
| r | |||||||||||||||||||||||||||||
| dr 2 | A | r 2 |
(12.10)
(12.11)
(12.12)
(12.13)
(12.14)
(12.15)
(12.16)
(12.16) теңдеудің жалпы шешуін мынадай түрде қарастырамыз:
| R = R0× R¥×U (r ) | ||||||||||||||||
| rU ( r ) | ||||||||||||||||
| Ал, ( rR) = r L+1e | ||||||||||||||||
| Сонда (12.17)-ші негізгі теңдеуіміз мынадай түрге келеді: | ||||||||||||||||
| r | U ¢¢ | U ¢ | B | ( r ) = | ||||||||||||
| 2 L 1 | L | 1 U | .0 | |||||||||||||
| + | - | |||||||||||||||
| + [ ( + ) | - r] | A | - | |||||||||||||
(12.17)
(12.18)
(12.19)
(12.19)-шы теңдеудің шешуін дєрежелі қатар түрінде іздейміз
| U (r )= | ∑ | av r | v | (12.20) | |
| v=0 | |||||
Бұл шешуді (12.19)-ші теңдеуге қойып, индекстерін бір мєнге келтірсек мынадай өрнек аламыз:
| B | ||||||||||||||||||||||
| ∑r v av | - L -1 + av+1 [v(v +1) + 2(v +1)(L | +1)] | = 0 | (12.21) | ||||||||||||||||||
| A | ||||||||||||||||||||||
| v=0 | ||||||||||||||||||||||
| B | - L -1 - v | |||||||||||||||||||||
| = - | (12.22) | |||||||||||||||||||||
| A | ||||||||||||||||||||||
| av+1 | av | |||||||||||||||||||||
| [v(v +1)+2(v +1)(L+1)] | ||||||||||||||||||||||
| (12.20)-шы қатарды максимум к мєнімен шектеп, aк ¹ 0, aк+2 | = 0 | деп алсақ, (12.22)-ші | ||||||||||||||||||||
| қатынастан | ||||||||||||||||||||||
| B | (12.23) | |||||||||||||||||||||
| L +1 + v = n | ||||||||||||||||||||||
| A | ||||||||||||||||||||||
| Мұнда п-1,2,3,... бас кванттық сан, | L = 0,1,2,...; к = 0,1,2,... Осы өрнектерді ескергенде | |||||||||||||||||||||
| (12.20)-шы қатар мынадай түрде жазылады: |
| к(к + s) | к+ j | (к -1)(к + s)к(к + s -1) | ||||||||||||||
| U =(-1)к | r к - | r к-1+ | r к-2 | ... | = | |||||||||||
| 1! | 2! | |||||||||||||||
| = | к | (-1) | к+ j | r | к- j | к!(к + s)! | ||||||||||
| ∑ | ||||||||||||||||
| j!(к - j )!(к + s - j)! | ||||||||||||||||
| j =0 | ||||||||||||||||
| (12.24)-ші қатар | к -ретті жалпыланған | Ляггер полиномы деп | аталады. | |||||||||||||
| S =2L+1.Ляггер полиномын тұйықталған түрде де жазуға болады: | ||||||||||||||||
U =Q s ( r )= e r r -s d к (e -r × r к+s )
к dr к
Сонда толқындық функцияның радиалдық теңдеуінің шешуі
( r ) = 1 r r L 2L+1 ( r )
Rnl Cnl e 2 Q n-1
(12.24)
Мұндағы
(12.25)
| мұндағы r = 2 | B | = n, | сонда | r = | 2Z | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ar , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| na0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| A | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| H 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| a0= | - бірінші | Бор | орбитасының | радиусы. Cnl - коэффициенті | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| m0 e2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| функцияның нормалау шартымен анықталады: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 / 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Cnl = | na0 | n(n -L-1)(n +L)! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Енді | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 / 2 | 2Zr | L | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ´ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Rnl (r )= | n(n -L-1)(n +L)! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| na0 | na0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Zr | 2L+1 | 2Zr | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ´ e | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| na0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Q | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n-L-1 | na0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Толық толқындық функция | Yn,L,m(r,q ,j )= RnL(r )Y mL(q ,j ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Энергияның меншікті мəндері: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En = - | Z 2 e04 | = -R | HZ 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2a0 n 2 |
(12.26)
радиалдық
(12.27)
(12.28)
(12.29)
(12.3)
| - R = | e04 m0 | - Ридберг тұрақтысы. | |||||||||
| 2H3 | |||||||||||
| Сутегі | тєріздес атомның негізгі | күйлерін | карастырайық: | n =1, m =0.Бұл | |||||||
| жағдайда толқындық функция: | = R1,00(r )Y 00(q ,j ) | ||||||||||
| Y1,0,0, | (12.31) | ||||||||||
| мұнда | |||||||||||
| Y 00(q ,j )=r 00(q )F0 | (j ) = | (12.32) | |||||||||
| 4p | |||||||||||
| Zr | |||||||||||
| сонда | (12.33) | ||||||||||
| Y1,0,0,= Ce a0 |
(12.33)-ші толқындық функцияның нормалау шарты мынадай түрде жазылады:
∫Y*1,0,0 Y1,0,0 d 3 x =∫Y*1,0,0 Y1,0,0 r 2 drdW
Бұл қатынасқа Y1,0,0 - функциясының мєндерін қойып жєне бұл функцияның
q ,j - бүрыштарына тєуелсіздіктерін ескерсек:
¥ 2 Z
C 2×4p ∫e na0 r 2 dr =1
| Z | 3 / 2 | |||||||
| бұдан С = | ||||||||
| 4p | a0 |
Сонда ең төменгі кванттық күйдің толқындық функциясы:
|
Просмотров 752 |
|
|
