Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
ТАРАУ. ШРЕДИНГЕР ТЕҢДЕУІН ЖУЫҚТАП ШЕШУ ƏДІСТЕРІ
|
|
Йытқу теориясының негіздері теңдеулері
Кванттық механиканың есептерінің барлығын бірдей нольге тең дəлдікпен шешу мүмкін емес. Ал көптеген жағдайларда энергия мен толқындық функцияның мəндерін тек жуықтап қана анықтауға болады. Сондықтанда кванттық механикада Шредингер теңдеуін жуықтап есептеу тəсілдері кеңінен пайдаланылады. Мұндай мүмкіндіктердің кең тараған түрінің бірі – ұйытқу теориясы.
Кванттық механикада атомдағы электрондардың қозғалысын қарастыру үшін негізгі əсер етуші күш ретінде ядро мен электронның арасындағы əсерлесу күштері алынады. Ал ұйытқу ретінде электрондардың арасындағы өзара кулондық тебіліс күштері қарастырылады. Егер атомды сыртқы электр немесе магнит өрісіне орналастырса, онда бұл өріс шамасы жағынан ядроның электр өрісінен көп кем болады да, ұйытқу ретінде электрондардың сыртқы электр немесе магнит өрісіндегі қозғалысын қарастыра аламыз.
Жүйенің гамильтонианы уақытқа байланысты болмайтын стационар құбылыстар үшін ұйытқу теориясын қарастырайық. Бұл жағдайда жүйенің гамильтонианы
| ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | ˆ | ˆ 0 | ˆ | (14.1) | ||||||
| H | = T + V = T | + V0 | + V ¢ | = H | + V ¢ | |||||||||
| мұндағы ұйытқу операторы V ¢ << V , | ал потенциялық энергияның негізгі бөлігі V 0 - дəл | |||||||||||||
| шешілетін | ˆ | |||||||||||||
| (14.2) | ||||||||||||||
| H | Y n | =E nY n | ||||||||||||
| Шредингер теңдеуін қанағаттандырады. | Егер V ¢ = 0 болса, бұл теңдеудің | E n0жəнеY n0 | ||||||||||||
| мəндерімен сипатталатын дəл шешулері болады. Бірақ V ¢ нольге тең болмағандықтан | ||||||||||||||
| біз мынадай теңдеуді шешуіміз қажет: | ˆ 0 | ˆ | )Y = | |||||||||||
| + | ¢ | E | Y | (14.3) | ||||||||||
| H | V | |||||||||||||
| ( | ||||||||||||||
| Біздің міндетіміз – осы теңдеуден V ¢ ұйытқу энергиясын | ескерген жағдайда жуықтап |
болса да En - энергиясының меншікті мəндері мен оларға сəйкес келетін Yn - меншікті
функцияларды анықтау.
¦йытқу теориясы бойынша Е мен Y - дің мəндері қатар түрінде ізделеді:
| Y = Y 0 | + Y¢ + Y¢¢ + K | (14.4) |
| E = E 0 | + E ¢ + E¢¢ +K | (14.5) |
| мұндағы E ¢, Y¢ жəне E ¢¢, Y¢¢ - Y 0 , E 0 шамаларына қарағанда бірінші жəне екінші реті аз | ||
| шамалар, ал, ұйытқу энергиясын V 0 - потенциалының энергиямен | шамасы аз | |
| l - параметрінің (l << 1) көбейтіндісі |
V ¢ = V 0× l
ретінде өрнектеуге болады.
(14.4) жəне (14.5)-ші өрнектерде бірінші ретті аз шамалармен шектеліп, оларды (14.3)-ші теңдеуге қойсақ Y¢ жəне E¢ мəндерін анықтау үшін мынадай қатынас аламыз:
| E | E | ¢ | ˆ | ˆ | ¢ | )= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| + | - | H | - | V ¢ | (14.6) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | )(Y + Y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| мəндерінің шамаларына қарай жинақтасақ: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ˆ 0 | )Y | E | ¢ | ˆ | E | ˆ | )Y | ¢ | E¢ | ˆ | )Y | ¢ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| E | H | + | - | V ¢ | - | H | - | V ¢ | = | (14.7) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | - | [( | )Y + ( | ]+ ( | ˆ | )Y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| E ¢ | - | ¢ | ¢ | - екінші | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| V | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ¦йытқу теориясының бірінші ретті жуықталған шешулерін табу үшін ( | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ретті шаманы нольге тең деп алып, дəл шешу (E | ˆ | )Y | - екендігін ескереміз, сонда | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| - H | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| бұл (14.7)-ші теңдеуден нольдік жуықтауда | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (E | ˆ | = 0 | (14.8) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| - H | )Y n¢ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| қатынасын канағаттандыратын энергияның меншікті мəндері | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| E 01,E 20,E 03,...,E n0,... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| мен меншікті функцияларын | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Y 01 ,Y 20 ,Y 03 ,...,Y n0 ,... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| анықтауға болады. Сонда (14.7)-ші теңдеудің орнына төмендегідей теңдеу аламыз: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| E | - | ˆ | )Y | ¢ | E ¢ | - | ˆ | ¢ | )Y | (14.9) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| H | V | n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | = -( | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Енді алғашқы уақыт моментінде жүйе | n¢= n | кванттық | күйде | болсын. | Сонда дəл | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| шешуде E 0 =E n0 , Y 0 =Y n0 болғандықтан бірінші ретті жуықтау үшін | E ¢= En¢,Y¢= Y¢деп | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| алсақ; (14.9)-шы теңдеуді былай жазуға болады: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| E | ˆ | ¢ | E ¢ | ˆ | ¢ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n - | H | - | V | )Y n | (14.10) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( | )Yn | = -( | n |
Кез келген функцияны ортонормаланған функциялардың толық жүйесі бойынша қатарға жіктеуге болатындықтан, Y n0¢ фукнциясын мынадай қатар түрінде іздестіреміз:
| Y¢ =∑ C | n¢ | Y 0 | (14.11) | ||
| n | n¢ | n¢ | |||
| Ендігі біздің міндетіміз – осы | Фурье | қатарындағы белгісіз | Cn¢,коэффи- |
циенттерін анықтау болып табылады. (14.11)-ші өрнекті (14.10)-шы теңдеуге қойсақ:
| ∑ С | ˆ 00 | E ¢ | ˆ | ||||||
| E | - | H | )Y n¢ | - | V ¢ | )Y n¢ | |||
| n¢ | n¢( | n | = -( n |
ал (14.8)-ші теңдікті ескерсек (14.12) теңдеу мынадай түрде жазылады:
| ∑ С | E | E | E¢ | ˆ | ||||||
| n - | - | V ¢ | )Y n | |||||||
| n¢ | n¢( | n¢)Y n¢= -( | n | |||||||
(14.12)
(14.13)
|
Просмотров 817 |
|
|
