Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)


 

 

 

 

Спиндік операторлар. Олардың меншікті функциялары



 

Кванттық механикада физикалық шамаларға операторлар
сəйкестендірілетіндігі белгілі. Мысалы, механикалық моменттің операторлары:

ˆ ˆ ˆ , толық момент операторы  
M x , M y , M z  

арасындағы коммутативті қатынастар


 

ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 жəне осы операторлардың  
M =M x+M y+M z  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,...  
M x M y - M y M x = iHM z  

Осы сияқты электронның механикалық моменттеріне операторлар сəйкестендірелік, ал коммутативтік қатынасты мынадай түрде жазамыз:


 

 

ˆ ˆ ˆ
S x , S y , S z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (15.8)  
S x S y - S y S x = iHS z  

Электронның меншікті механикалық моменті кванттық механикада спиндік момент деп, ал осы моментті сипаттайтын кванттық сан – спиндік кванттық сан деп аталады. Паули спиндік момент операторларын екі қатарлы матрицалар түрінде жазуды ұсынды:

 

ˆ H   ˆ   H   ˆ   H        
                     
S x =   ˆ   =   ˆ ), S z =   ˆ ) (15.9)  
(s x ), S y (s y (s z  
                     

Мұнда (sˆ x ), (sˆ y ), (sˆ z )- Паули операторлары:


    ˆ       ˆ     - i              
              =                            
    (s x ) =       , (s y )             ,            
                  i                  
                                    (15.10)  
                                                 
    ˆ ) = ˆ )         ˆ       ˆ )      
              =     = I  
    (s x         , (s x     (s y )   = (s z    
        -1                                    
                                             
                                               
                                                (15.11)  
мұнда I = - бірлік матрица                                            
                                               
                                                 
Егер (15.10)-ші матрицаларды (15.8)-ші қатынасқа қойсақ:        
      ˆ   ˆ       ˆ     ˆ             ˆ )     (15.12)  
      (s x )(s y )- (s y )(s x ) = 2i(s z      
бұдан                                               (15.13)  
        ˆ ˆ       ˆ     ˆ                  
      (s x )(s y ) = -(s y )(s x )            
жəне осы қатынасты (15.12)-ге қойсақ                     )             (15.14)  
          ˆ     ˆ             ˆ              
          (s y )(s x )= -i(s z              
екендігін тағайындауға болады.                                              
Спиндік момент операторларының квадраты              
          ˆ 2   ˆ 2 ˆ 2   ˆ 2              
          S =S x +S y +S z =     H   I          
                                             

бұдан, осы оператордың меншікті мəні:

 

      S 2= H 2 = L S (L S + 1)H 2       (15.16)  
               
                 
мұнда L S = 1/ 2 - cпиндік кванттық сан         (15.17)  
          ˆ H ˆ ), оның меншікті  
спиндік моменттің z осіне проекциясының операторы S z = ±  
  / 2(s z  
мəні   mS = ±1/ 2           (15.18)  
мұнда mS - магниттік спиндік кванттық сан деп аталады.          
Электронның спиндік қасиеті тағайындалғанға дейін оның күйі  

Y(x, y, z, t )-толқындық функциямен сипатталатын еді,енді осы функцияға электронның

спиндік қасиетін енгізу қажет: Y(x, y, z, t, S Z ), мұндағы sz = ±1/ 2H . Сондықтан  
Y(x, y, z, t, S Z )функциясының орнына екі функция жазу қажет болады:  
         
Y1 x, y, z, t,+   H    
   
         
жəне            
         
Y1 x, y, z, t,-     H    
     
         

Паули электронның спиндік қасиетін ескергеннен кейінгі толық толқындық функцияны екі қатарлы матрица түрінде жазуды ұсынды:

             
Y1 x, y, z, t,+       H 0      
     
          (15.19)  
YY1 ,Y2 =        
  x, y, z, t,-       H 0      
         
Y2      
           
мұндағы Y1 жəне Y2 функцияларының айырмашылығы тек спиннің бағытына  
байланысты. Бұл функцияға комплекс түйіндес функция    

      *     *      
Y* Y1 ,Y2 Y x, y, z, t,+   H Y   x, y, z, t,-   H  
   
=            
                 
                 

Егер электронның спиндік моменті мен оның ауырлық орталығы байланысты ескерсек, онда электронның күйін сипаттайтын толық фукцияны төмендегідей түрде жазуға болады:

Y1(x, y, z, t, sz )= Y1(x, y, z, t )j(sz )

 

Енді толық толқындық функцияға екі қатарлы матрица түрінде берілген

ˆ L11 L12    
         
(L)=   L21      
    L22  

физикалық шаманың операторымен əсер етелік. Сонда

ˆ L L Y 0 L Y + L Y0    
         
(L)YY1 ,Y2 = L21     Y2 0   = L21 Y1 + L22Y20    
    L22        

 

арасындағы

 

толқындық

 

(15.20)

 

 

(15.21)

 

(15.22)


 

Электронның спинді ескергендегі толқындық функциясы. Паули теңдеуі

 

Енді электронның спиндік   қасиетін     ескергендегі   қозғалыс теңдеуін, яғни  
Паули теңдеуін қарастырайық. Ол   үшін Шредингер теңдеуіндегі гамильтонианды  
электронның m магниттік моменті мен сыртқы магнит өрісі R арасындағы əсерлесуді  
H  
ескеретін қосымша мүшемен                                          
            R R       e H       ˆ        
    ÑU = -(mH )=                 (15.23)  
              [(s )H ]    
                      2m0 c              
толықтырайық. Мұндағы ˆ Паулидің спиндік матрицалары. Сонда Шредингер  
(s )-  
теңдеуі мынадай түрде жазылады:                                        
            d     ˆ 0               (15.24)  
        iH   dt - H   + ÑU Y =0    
                                     
мұнда Шредингер теңдеуінің гамильтонианы:                      
                R     e     R        
                    ˆ        
    ˆ =           ˆ +       - e0j + U   (15.25)  
    H   2m0 p c   A    
                             

 

j жəне A электромагниттік өрістің скалярлық жəне векторлық потенциалдары. Енді гамильтонианға (15.23)-ші қосымша энергияны қосып жазсақ:

    R   e   R      
      ˆ        
ˆ     ˆ             (15.26)  
H = 2m0 p +   c A - e0j + U + ÑU  
                   
Енді Шредингер теңдеуінің мынадай түрде жазылған түрін алайық    
    dYY1Y2         ˆ   (15.27)  
  iH           = HYY1Y2  
    dt        
                         

мұнда YY1Y2 - спиндік ескергендегі толық толқындық функция. ˆ - тың орнына (15.26)-  
H  
ны қойсақ:                              
  dY       R e0 R              
  Y1Y2   ˆ ˆ           (15.28)  
iH dt =     p + c A   - e0j + U + ÑU YY1Y2  
  2m                      
                             

Гамильтонианды мынадай түрде жазайық:

ˆˆ 0 e0H   Н11 H12    
(H )= H I +   ˆ          
2m0 c [(s )H ]= Н21      
      H 22  

(15.29)-ды (15.27)-ші теңдеуге қойсақ:

    dY Y1Y2 = H H Ψ 0H Ψ + H Ψ  
i H                        
                               
  dt                 Ψ1 + H 22 Ψ2    
      H 21 H 22Ψ2 H 21    

 

 

(15.29)

 

(15.30)


Бұдан электронның спинінің бағытталуына байланысты мынадай екі теңдеу аламыз:


 

    iH dY1   = H     Y + H     Y          
             
      dt                  
жəне                                  
    dY2                                
    iH = H     Y + H     Y        
             
      dt                  
                                   
Енді (15-29) Гамильтон операторын ашып жазалық:                  
ˆˆ 0 e0H   ˆ 0e0H                      
(H )= H I +   ˆ                 ˆ         ˆ )H y ˆ )H z }  
                           
2m0 c [(s )H ]= H I + 2m0 c {(s x )H x +(s y + (s z  
                             

 

мұнда Паулидің спиндік матрицаларының мəндерін қойсақ:

 

ˆ ˆ 1 0   + e H   0 1     0 - i   1 0      
0             H x       H y       H z  
             
(H )= H       2m c   1 0   + i 0   + 0 - 1    
      0 1                      
                         
                                     

Бұдан (15.29)-шы теңдеудегі матрицалық мүшелердің мəндері


 

(15.31)

 

(15.32)

 

 

(15.33)


      ˆ         e0H    
H11 = H   +           H z    
         
                2m0 c    
H12 =   e0H   (H x - iH y )    
       
      2m0 c         (15.34)  
      e0H (H x + iH y )  
H 21 =    
     
      2m0 c            
      ˆ         e0H    
H 22 = H   -           H z    
               
                  2m0 c    

Енді осы алынған нəтижелерді (15.31) жəне (15.32)-ші теңдеулерге қойсақ, электронның спиндік қасиетін ескергендегі күйін сипаттайтын Паули теңдеулерін аламыз:

 

    dY1   ˆ         e0 H   {H z Y1+(H x - iH y )Y2} (15.35)  
iH dt   = H   Y1 +        
                  2m 0 c      
  dY2   ˆ 0           e0 H {(H x + iH y )Y1- H z Y2} (15.36)  
iH     = H Y2 +   2m 0 c  
    dt                      
                                 

Бұл уақытқа тəуелді толық теңдеулер. Сонымен қатар, уақытқа байланыссыз Паулидің стационар теңдеулерін де алуға болады. Ол үшін (15.35), (15.36)-шы теңдеулердегі

  d ˆ  
iH     - ның орнына энергия операторы E аламыз, сонда
  dt    
         

ˆ         e0 H {H z Y1+(H x - iH y )Y2} (15.37)  
EY1= H   Y1 +      
  2m 0 c  
                     
ˆ       e0 H   {(H x + iH y )Y1- H z Y2} (15.38)  
EY2= H     Y2 +        
            2m 0 c        

(15.35)-(15.38) теңдеулер электронның спиндік қасиетін ескергендегі алғашқы қозғалыс теңдеулері немесе Паули теңдеулері деп аталады. Бұл теңдеулерге электронның меншікті магниттік моментінің абсолют мəнінің эмпирикалық түрде енгізілгенін ескерген жөн. Сондықтан, Паули теңдеулері электронның күйін толық ескеретін Дирак теориясының алғашқы сатысы ғана болды.

 

 

Просмотров 887
Эта страница нарушает авторские права


allrefrs.su - 2024 год. Все права принадлежат их авторам!