Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
ТАРАУ. БІРДЕЙ БӨЛШЕКТЕР ЖҮЙЕСІ
|
|
§ 1. Бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасы
Бірдей бөлшектер деп калыпты жағдайда массалары, зарядтары, спиндері жəне т.б. характеристикалары бірдей бөлшектерді айтады.
Классикалық механикада бірдей бөлшектерді олардың физикалық қасиеттеріне қарап ажыратуға болады. Мысалы, белгілі бір уақыт моментінде бірдей бөлшектер жүйесі берілген болса, онда бөлшектерді нөмірлеп алып, кейін оларды қозғалыс процесінде траекторияларына қарай айыруға болады, яғни кез келген уақыт моментінде кез келген бөлшекті айырып ала аламыз. Енді кванттық механикада бірдей бөлшектерді бірінен-бірін ажыратуға бола ма, жоқ па, соны қарастырайық. Ол үшін
N бірдей бөлшектер жүйесін алып, к, j - ші бөлшектердің координаталарын
| арқылы белгілейік. Бөлшектердің массасы m, сыртқы өріс энергиясы | U (qк , t ), к жєне |
| j бөлшектердің өзара əсерлесу энергиясы W (qк , q j ),болсын.Мұнда qк | деп бөлшектің |
ауырлық орталығының орнын көрсететін үш кеңістіктік координата (x, y, z ) мен
| спиндік координатаны S Z айтамыз. | Сонда | мұндай бөлшектер | жүйесінің | ||||||||||||||||
| гамильтонианы: | |||||||||||||||||||
| ˆ | , t )= | N | H 2 | N | W (qк | ) | (16.1) | ||||||||||||
| ∑ | ∑ | ||||||||||||||||||
| , q2 | ,..., qк | ,..., q j ,..., qN | - | Ñ | к | + | , q j | ||||||||||||
| H (q1 | к=1 | +U (qк , t ) | i ¹ j =1 | ||||||||||||||||
| 2m0 | |||||||||||||||||||
Мұнда бөлшектердің бірдейлігі бөлшектердің массалары m , сыртқы өрістегі энергиясы U жəне єсерлесу энергиясы W бірдей болып алынуы арқылы ескерілген. Гамилътонианның бұл қасиеті кез келген сыртқы өрісте де сақталады, яғни барлық бөлшектерге сыртқы өріс бірдей єсер етеді. Егер осы бөлшектер жүйесінің j, к - шы
бөлшектерінің орындарын ауыстырсақ, гамильтониан өзгермейді. Себебі, мұндай орын ауыстыру (16.1)-ші теңдеудегі қосындыларға кіретін қосылғыштардың орындарын ауыстырумен бірдей. Жүйені құрайтын кез келген ( j, к) жұп бөлшектер үшін гамильтонианның бұл қасиетін мынадай түрде жаза аламыз:
| ˆ | , q2 | ,..., qк | ,..., q j | ,..., qN , t ) | ˆ | , q2 | ,..., q j | ,..., qк | ,..., qN , t ) | (16.2) | |
| H (q1 | = H (q1 | ||||||||||
| Егер жүйеде ең болмаса бір | бөлшек | өзгеше болса, | онда осы | бөлшектің |
орнын басқа бөлшекпен ауыстырғанда (16.2)-ші қатынас орындалмайды. Сондықтан (16.2)-ші өрнек бірдей бөлшектер жиынының гамильтонианының ең жалпы қасиетін сипаттайды.
Бірдей бөлшектер жүйесінің гамильтонианы кез келген жұп бөлшектердің орындарын ауыстыруға инвариантты.
Бөлшектердің орындарын ауыстыру жағдайы алға қарайда жиі кездесетіндіктен
| ˆ | ˆ | - операторы к - шы | ||||||||||||||||||
| арнайы бөлшектердің орнын ауыстыру операторын Pкj | енгізейік. Pкj | |||||||||||||||||||
| жəне j - шы бөлшектердің орын | ауыстырылуы | қажет екендігін | көрсететін белгі. | |||||||||||||||||
| Мысалы, | бізге | f (q1, q2,..., qк ,..., q j ,...)функциясы берілген болса,онда | ˆ | |||||||||||||||||
| Pкj операторының | ||||||||||||||||||||
| єсері нєтижесінде жаңа f ¢ | функциясын аламыз: | |||||||||||||||||||
| ˆ | f q , q | ,..., q | ,..., q | ,... | f ¢ q , q | ,..., q | ,..., q | ,... | (16.3) | |||||||||||
| P | к | j | j | к | ||||||||||||||||
| кj | ( 1 | )= | ( 1 | ) | ||||||||||||||||
| ˆ | ||||||||||||||||||||
| Pкj операторы сызықтық операторларға жатады. | ||||||||||||||||||||
| Енді осы | ˆ | |||||||||||||||||||
| Pкj операторын пайдаланып(16.2)-ні теңдікті төмендегіше жазамыз: | ||||||||||||||||||||
| ˆ | ˆ | ,..., qк ,..., q j | ˆ | ˆ | (16.4) | |||||||||||||||
| Pкj H (q1, q2 | ,..., qN , t )= H (q1 , q2 | ,..., q j ,..., qк ,..., qN , t )Pкj | ||||||||||||||||||
| (16.4)-ші | өрнек | орын | ауыстыру | операторы | ˆ | бірдей бөлшектер жүйесінің | ||||||||||||||
| Pкj |
гамильтонианымен коммутативті екендігін көрсетеді. Гамильтонианның осы қасиетін пайдаланып, бірдей бөлшектер жиынының күйін сипаттайтын толқындық функцияларды қарастырайық. Бірдей бөлшектерден тұратын жүйенің толқындық
| функциясын Y(q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) | арқылы белгілейік. | Бұл | функция Шредингер | ||||||||||||
| теңдеуін қанағаттандыруы керек: | |||||||||||||||
| dY(q1, q2 | ,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) | ˆ | |||||||||||||
| iH | = HY(q1 | , q2 ,..., qк | ,..., q j ,..., qN , t ) | (16.5) | |||||||||||
| dt | |||||||||||||||
| Осы | теңдеудегі к, j - шы | бөлшектердің | орнын | ауыстыралық. | Ол | үшін | (16.5)-ші | ||||||||
| ˆ | əсер етеміз: | ||||||||||||||
| теңдеуге орын ауыстыру операторымен Pкj | |||||||||||||||
| ˆ | |||||||||||||||
| ˆ | ˆ | d (Pкj Y) | |||||||||||||
| Pкj | (HY)= iH | dt | (16.6) | ||||||||||||
| ˆ | ˆ | операторларының | коммутативтілігі | қасиетін пайдалансақ, | (16.6) | теңдеуді | |||||||||
| Pкj | , H |
мынадай түрде жазуға болады:
| ˆ | Y) | ||||
| ˆ ˆ | d (Pкj | ||||
| H (Pкj | Y)= iH | dt | (16.7) | ||
(16.7) жəне (16.5) теңдеулерді салыстыралық.
Сонда, егер Y(q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., qN , t ) функциясы Шредингер теңдеуінің шешуі болып табылса, онда
| ˆ | ¢ q | , q | ,..., q | ,..., q | ,..., q | , t | ) | (16.8) | ||||
| P | N | |||||||||||
| кj Y = Y(1 | j | к | ||||||||||
| функциясы | да | Шредингер | теңдеуінің | шешуі | болып | табылатынын |
көреміз. Орын ауыстыруды єрі жалғастыра отырып, бірінен бірінің айырмашылығы бөлшектердің кеңістікте үлестірілуіне байланысты болатын Y¢¢, Y¢¢¢,... т.б. толқындық функцияларды алуға болады.
Яғни, Y¢ функциясы да Y функциясы сияқты жүйенің мүмкін күйлерінің бірі болып табылады. Оның Y функциясынан айырмашылығы к - шы бөлшек бұрын j -шы бөлшек болған күйге ауысқан жєне керісінше бөлшек j -шы бөлшек к -шы
күйге орналасқан. Осы толқындық функциялар бірдей ме, жоқ, бірінен бірі өзгеше ме соны қарастырайық. Алдымен 16.1 суретті талқылайық.
| х΄1 | А | ||
| А | х΄1 | ||
| В | |||
| х1 | х΄2 | ||
| В | х΄2 | ||
| х2 | |||
| а) классикалық теория бойынша | б) кванттық механика бойынша | ||
| 16.1 сурет. | |||
| Бірінші бөлшек | A -күйде,ал екінші бөлшек B -күйде деп қарастырғанда біз |
кейбір қиындықтарға тап боламыз. Себебі атомдықтұрғыдан қарастырғанда бірдей бөлшектерді бірінен бірін олардың күйлеріне, мысалы олардың кеңістіктегі орындарына, энергиялары мен импульстерінің мөлшеріне қарап ажырата аламыз. Классикалық механикада бөлшектердің траекториясын бақылауға болатындықтан, олардың t = 0 уақыт моментіндегі орнына байланысты, кейінгі уақыт моменттерінде бірінші немесе екінші бөлшектердің кеңістіктегі орындарын көрсете аламыз. Бірақ кванттық механикада бірдей бөлшектерді бұлай ажырату мүмкін емес. Бөлшектердін орнын t = 0 уақыт моментінде белгілеп алғанмен де, əртүрлі бөлшектерді сипаттайтын толқындық пакеттер сейіліп, бірімен бірі тез беттеседі де, t > 0 уақыт моменттерінде бірдей бөлшектерді ажырату мүмкін болмайды. Осы айтылғандарды 16.1 суретпен көрсетуге болады.
16.1 а) суретте t = 0 моментте бөлшектердің орны x1 жєне x2 көрсетілген.
Бөлшектердің қозғалысы, классикалық механика бойынша, траекториямен сипатталған.
16.2 б) суретте t = 0 уақыт моментінде x1 жєне x2 нүктелердің төңірегіндегі
толқындық пакеттер алынған жєне олардың қозғалысы көрсетілген.
| Суретте штрихталған облыс | Y | мєнінің үлкен шамаларына сəйкес келеді. Бос, | |||||
| штрихталмаған облыстарда | Y | - тың | мєні аз. Толқындық пакеттер беттескен | ||||
облыстарда бөлшектерді ажырату мүмкін емес.
Тағы бір мысал қарастырайық. Бөлшек кедергімен бөлінген жəшікте болсын (16.2 сурет). Кедергіні потенциалық тосқауыл ретінде қарастыруға болады.
| а | в |
Ψа΄ Ψа Ψв Ψв΄
Сурет
Егер бөлшектің энергиясы потенциялық тосқауылдың биіктігінен кіші болса, классикалық механика бойынша жєшіктің ортасындағы кедергіден өтіп, келесі облысқа шығуы мүмкін емес. Сондықтан бөлшектердің кедергінің оң не сол жағында екендігін оңай білеміз.
Ал, кванттық механикада бөлшектің потенциалық тосқауылдан өту ықтималдығы нольден өзгеше болады. Егер бастапқы уақыт моментінде бөлшектердің толқындық функцияларын Yа жєне Yв деп белгілесек, белгілі бір уақыт өткеннен кейін
толқындық функциялар Yа¢ жєне Yв¢ болып, a бөлшегі жəшіктің оң бөлігіне өтіп, ал в
бөлшегі кедергінің сол жағында болуы мүмкін (үзік сызықтар), уақыт t ® ¥ ұмтылғанда Yа¢ жєне Yв¢ толқындық функциялары бірдей болып, жєшіктің екі
бөлігіндегі максимумдар симметриялы болады. а - бөлшектің жєшіктің бір бөлігінде болуының ықтималдылығы в - бөлшегінің ықтималдылығымен бірдей болады да, алғашқы уақыт моментіндегі бөлшектердің кеңістікте орналасуының симметриялы еместігінен ешқандай белгі қалмайды.
Сонымен, кванттық механикада бірдей бөлшектерді олардың күйлеріне қарап ажырату мүмкін еместігін көреміз. Бұл табиғатта бірдей бөлшектерді бірінен бірін ажырату мєселесінің болмауы керек екендігін, яғни бірдей бөлшектердің жиынының жалпы күйі туралы ғана айтылып, жеке бөлшектердің күйі жайында мəселе қозғап қажеті жоқтығын дєлелдейді. Бұл айтылғандар кванттық механикада бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасы түрінде тұжырымдалады. Бірдей бөлшектер жиынында бірдей бөлшектердің орындарын ауыстырғанда өзгермейтін күйлер ғана орын алады.
|
Просмотров 1128 |
|
|
