Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)


 

 

 

 

ТАРАУ. КӨРІНІСТЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ



 

Шредингер теңдеуі кеңістіктік координаталар мен уақытқа тєуелді толқындық функциямен сипатталады. Бұл жағдайда толқындық функция координаталық көріністе берілген деп айтылады.

 

Кванттық механикада координаталық көріністен басқа импульстік, матрицалық (энергетикалық) жəне тағы басқа да көріністер пайдаланылады.

 

Гармоникалық осциллятор теориясы негізінде бұл көріністерді жєне олардың арасындағы байланысты талқылайық. Осы мақсатта классикалық теориядан белгілі импульс пен координатаның арасындағы байланысты сақтай отырып, гамильтонианды былай жаза аламыз:

  ˆ 2   m0 w        
ˆ P x     ˆ (9.1)  
H = 2m0 +   X    
             

 

пен арасындағы коммутативтік қатынас мынадай түрде болатындығы белгілі:

 

ˆ ˆˆ ˆ   H (9.2)  
Px X - XPx = i  
         

Осы шартты қанағаттандыру үшін кванттық механикада əрқайсысы өзінің көріністерімен байланысты болатын əртүрлі əдістер қарастырылады. Біз негізі үш көріністі жəне олардың арасындағы байланысты қарастырамыз.

 

1. Координаталық көрініс (х-көрініс)

 

Импульсті оператор ретінде қарастырып, х-ті сан деп алайық:

 

ˆ = H d (9.3)  
Px          
i dx  
шамасы (9.2)-теңдікпен Y(x) - толқындық функциясына єсер еткен жағдайда  
               

ˆ операторының меншікті мєні болып табылады:

Px

 

ˆ ˆˆ ˆ H    
(Px X - XPx )Y(x)= i (9.4)  
       

(9.3)-ші қатынасты (9.1)-ші қатынасқа қойсақ гамильтониан мынадай түрде жазылады:

 

ˆ H 2   d 2 m0 w2   (9.5)  
H =       +   X    
2m0 dx 2    

 

Бір өлшемді гармоникалық осциллятор үшін Шредингер теңдеуінен ( x-көріністе)

 

  E - Ax + B d 3   Y( x)=0 (9.6)  
           
     
    dx    
                 

Мұнда,   m0 w2   H 2 4   B       H    
A =   , B =   , x0 =         =        
2m0   A   m0 w  
               

энергияның меншікті мєндерін табамыз:

     
En = Hw n +      
   
     

мұндағы: n = 0,1,2,3,...

 

Ал меншікті функциялар мынадай қатынаспен анықталады:

 

            x    
             
Yn ( x)=                  
        x0      
    e        
2n × n!                
p ¢x0            

жəне олар нормалау шартын қанағаттандырады:

 

¥∫Yn ( x)2 dx =1

-¥

 

Кванттық теорияның негізгі қағидалары бойынша тєжірибеде шамалар операторлардың орташа мєндері больш табылады, ал функцияның өзі көмекші роль атқарады. Гармоникалық осциллятор маңызды шамалардың бірі координаталардың матрицалық элементтері:

xn¢n = ¥   * ˆ          
∫            
  Y n¢ xYn dx    
ал импульс үшін: -¥                
                   
P = ¥ Y * H   d Y dx  
∫        
       
n¢n   -¥ n¢ i dx n  
       

 

(9.7)

 

(9.8)

 

 

(9.9)

 

(9.10)

 

бақыланатын

 

толқындық

 

теориясында

 

 

9.11)

 

(9.12)


Соңғы интегралды шешу үшін     гармоникалық осциллятордың толқындық  
функциялары мен єртүрлі мəндерінің арасындағы қатынастарды аламыз:    
                                                   
              n                 n +1     (9.13)  
        x × Yn     Yn-1 +             Yn+1        
        = x0                  
                                                 
    H dYn                                          
                n               n +1     (9.14)  
          = -im0 wx0         Yn-1 -         Yn+1    
    i dx            
                                       
толқындық функциялардың ортонормалау шартын   ескере отырып,    

¥

∫Y n*¢Yn dx = d n¢n

 

-¥

 

координатаның матрицалық элементтері үшін 0-ден өзгеше болатын төмендегідей мєндерді табамыз:

 

xn-1,n =   n , xn+1,n = x0     n +1   (9.15)  
         
           
жəне импульс үшін                      
Pn-1,n = -im0 wxn-1,n , Pn+1,n = -im0 wxn+1,n (9.16)  


§ 2. Импульстік көрініс (Р— көрініс)

 

ˆ ˆˆ ˆ H қатынасында импульсті жєй сан деп қабылдап, ал коорданатаны  
Px X - XPx = i  
                       
оператор деп алайық:                  
        ˆ H d     (9.17)  
        X -              
        i dP      
                 
Бұл оператордың енді импульске тəуелді толқындық функцияға єсері  
нєтижесінде мына теңдеу орындалуы керек:        
      ˆ ˆˆ ˆ H      
      (Px X - XPx )j(P)= i j( P) (9.18)  
                       

Гармоналық осциллятор теориясын импульстік көріністе тағайындайық:

  ˆ 2   m0 w      
ˆ P x        
H = 2m0 +   X    
           

 

теңдеуіне (9.17)-ден x - тің операторлық мəнін қойсақ мынадай қатынас аламыз:

    d      
E - A1 P 2 + B1   j( P)=0 (9.19)  
dP 2  
         

 

мұнда A1= , B1 m0 w2H (9.20)  
       
    2m0        

Бұдан гармоналық осциллятор үшін х-көріністен р-көрініске ауысқан кезде толқындық теңдеуге басқа белгілеулер енгізілетіндігін көреміз:

l =   E   = 2E    
         
  A1× B1     Hw  
         
Сонда негізгі теңдеу мынадай түрде жазылады:          
j ¢¢ + (l1 -h 2 )j = 0 (9.21)  

Бұл теңдеуді шешу нєтижесінде p - көріністегі энергияның меншікті мєндері мен


 

меншікті функцияларын анықтаймыз:

      = l Hw           +        
En     Hw n              
         
                                 
      (- i)               P            
      n                    
                      P  
                    P0        
                               
jn ( P)=                                  
                e             × H n      
                         
    2n × n! pP0               P0  


 

(9.22)

 

 

(9.23)


толқындық функция j(P)ортонормалау шартын қанағаттандыруы керек:

 

¥ ( P)jn ( P)= d n¢n (9.24)  
∫dP ×j n*¢  

-¥

Бұл жағдайда j(P)- Y(x) толқындық функциясының Фурье-бейнесі болып табылады:

            i P x      
Y( x)=           ∫Y( P)e H dP (9.25)  
           
2pH  
            -i P x    
j( P)=           ∫Y( x)e H dx (9.26)  
           
  2pH    
                             


 

Егер мынадай қатынасты ескерсек


                    P                              
    ∫dPe -i   ( x-x¢) = d ( x - x¢)      
  H      
толқындық функция: 2pH                  
                                                   
Y(     ∫ dx¢       x¢∫ d Pe-i P ( x-x¢)    
x              
        H    
                           
  ) = 2pH   Y(   )                  
Фурье түрлендіруді пайдаланып, жəне:                                  
                                  x            
                                           
Yn ( x)=                         -             x  
                            x0        
                                     
                                             
                        e           × H n      
    2n × n! px0              
                                x0  

екендігін ескерсек, импульстік толқындық функция:

                                                  x     Px          
                                                 
jn ( P)=                   ¥     -         -i x    
                                   
                                       
      ×                         x0   × e H     =  
                              ∫ dxe                   H n      
                                       
            2n × n! px0                      
          2pH -¥                         x0      
                              ¥   - x 2       -i Px0 x (x )        
=                                              
                                               
      ×                     ∫ dxe 2 × e       H H n        
                                               
2p                                      
    2n × n! px0                  
          -¥                                      


 

 

(9.27)

 

 

(9.28)


j(p)-толқындық функцияны импульстер кеңістігінде анықтағаннан кейін

 

координаталар мен импульстер үшін матрицалық элементтерді төмендегідей өрнектер бойынша табамыз:

  *     H d    
        (9.29)  
xn¢n =∫Y   -         jn dP  
       
  n¢     i dP    
    *   ˆ (9.30)  
Pn¢n =∫ j n¢ ×Pjn dP  

 

 

Матрицалық көрініс

 

(9.2)-ші қатынасты импульс P мен X - координатаны матрицалар түрінде жазу арқылы да қарастыруға болады:

ˆ ˆ ˆ ˆ H  
(Px X )-(XPx )=   I (9.31)
      i  
           

мұндағы: I - бірлік матрица. Гамильтониан:

  ˆ   m0 w        
             
ˆ (Px )     ˆ    
H = 2m0 +   (X ) (9.32)  
             

 

Бұл жағдайда (9.17) жєне (9.18)-ші қатынастардағы матрицалық элементтер мынадай үзіліссіз диагональды матрицалар құрайды:

 

                                         
  х00 х01 х02 ... 1/2          
    0 ...    
                                         
  х10 х11 х12 ... 1/2 0   2/2 0... (9.33)  
( x)=         = x =                            
  х20 х21 х22 ...     2/2   3/2 ...    
  ... ...       ... ... ... ... ...      
  ... ...        


                                               
  P00 P01 P02 K     - i 1/2    
        0 ...    
  P10 P11 P12                                        
  K   i 1/2   0 - i            
      2/2 0...    
( Р)= P20 P21 P22 K   = m0 wx0 =                             (9.34)  
        0 i 2/2 0 - i 3/2...    
  K K K K                                      
        ... ... ... ... ...    
             

Бұл матрицалар Pn¢n =P n¢n* қатынасы орындалатын эрмиттік матрицалар болып табылады.

 

Екі матрицаның көбейтіндісі сєйкес жолдың бағанаға көбейтіндісінің қосындысына тең болатындығын ескерсек:

      ( PX )n¢n = ¥ Pn¢k X k ¢n (9.35)  
      ∑  
      k =0  
                     
(9.33) жєне (9.34)-ші өрнектердің көмегімен (9.31)-ші қатынас былай жазылады:  
      ∑         H    
                     
( PX ) n¢n ( Pn¢n X kn - X k ¢n X kn )= i d nn¢ (9.36)  
-( XP) n¢n = k  
Бұл теңдіктің оң жағы H - ге көбейтілген бірлік матрица. Сондықтан кванттық  
   
  i                  

теорияның негізгі қатынасы (9.32)-ші өрнек матрицалық көріністе дұрыс жазылған болады. Енді гамильтонианның матрицалық элементтерін жазалық, (9.33)-ші жєне (9.34)-ші қатынастардан:

H n¢n =   Pn¢k Pkn - m0 w   = H d nn¢ (9.37)  
   
∑      
         
  2m   X n¢k X kn i  
  k              
               

Бұл теңдікке координата мен импульстің матрицалық элементтерінің мєндерін қойсақ. Бұдан (Н) гамильтонианның диагональды матрица екендігі шығады:

    1/ 2 0 0 0 ...    
           
ˆ   0 1/ 2 0 0 ... (9.38)  
(Н )=Hw 0 0 5/2 0 ...    
         
       
           
    ... ... ... ... ...    

Егер қарастырылатын шама диагональды матрица құраса, онда ол Шредингер толқындық теңдеуінің тілінде бұл оператордың меншікті мєндерінің, матрицаның диагональдық элементтерімен анықталатындығын көрсетеді. Сонымен, гармоникалық осциллятор теориясын қарастыру салдарында бұл үш көріністің де ко

Просмотров 940
Эта страница нарушает авторские права


allrefrs.su - 2024 год. Все права принадлежат их авторам!