Шредингер теңдеуі жəне оның негізгі қасиеттері

Планк болжамы, Эйнштейннің фотондар теориясы жəне де Бройльдің бөлшектердің толқындық қасиеті жайындағы болжамы микробөлшектер қозғалысының жалпы теориясын жасаудың алғашқы қадамдары ғана болды.

Кванттық механиканың фундаменталдық негізін қалауда ең ірі қадам жасаған австрия ғалымы Э. Шредингер болды. Ол микробөлшектердің қозғалысын толқындық теңдеумен сипаттауды ұсынды. Шредингер теңдеуі кванттық механиканың негізгі постулаты болып табылады жəне оны ескі классикалық физикаға сүйене отырып, қорытып шығаруға болмайды.

Классикалык злектродинамикадан белгілі толқындық теңдеуден Шредингер теңдеуіне қалай келуге болатындығын қарастырайық

Мұндағы Y(r , t) - толқындық функция, ол U - фазалық жылдамдықпен тарайтын

толқындық процесті сипаттайды. Егер толқын монохроматты жазық толқын болса, онда (5.1) теңдеудің шешуін мынадай түрде іздестіреміз:

Мұндағы w, u -екі параметрдің орнына монохроматты жазық толқынның толқын ұзындығын алалық:

Енді толқын ұзындығын l -ның орнына микробөлшектің де-Бройль толқындарының толқын ұзындығын алалық. (Монохроматты жазық толқынды де-Бройль толқындарымен ауыстырамыз!);

(5.8)-ші теңдеуді Шредингердің стационар теңдеуі деп атайды. Бұл стационар теңдеуді сфералық координаталар (r,q ,j ) жүйесінде де жазуға болады:

Стационар теңдеумен қатар Шредингердің уақытқа байланысты толық теңдеуін де алуға болады. Ол үшін (5.2)-ші формуладан Y(r ) -ді табамыз:

Y R = Y R _iwt

(r ) (r , t)e

(5.10)-ды (5.8)-ші теңдеуге қойып, түрлендірсек:

(5.10)

(5.11)

(5.11)-ші теңдеу Шредингердің уақытқа байланысты толық теңдеуі деп аталады. Шредингер теңдеуіне дербес туындылы екінші ретті Штурм-Лиувилль теңдеулер типін қанағаттандыратын мынадай талаптар қойылады:

1) Толқындық функция Y(r , t) үзіліссіз, шектелген жəне бір мəнді болуы керек. Бұл шарт орындалу үшін толқындық теңдеудің тек кейбір мəндерде ғана болады. Бұл жағдайда мұндай параметр энергия Е жəне оның меншікті мəндері E₁ , E₂ , E₃ ,... осы

мəндерге сəйкес келетін толқындық теңдеудің шешулері меншікті функциялар деп аталады: Y₁ , Y₂ , Y₃ ,... Энергияның мүмкін мəндерінің жиыны энергетикалық спектр

құрайды. Егер бөлшектің қозғалысы кеңістікте шектелген болса, онда энергетикалық спектрдің үзіліссіз болатындығын көреміз.

2) Толқындық функцияның бірінші туындысы болуы керек, жəне ол үзіліссіз, əрі шектелген болуы қажет.

жылдамдықпен таралатын толқындық процесті сипаттайтын теңдеуді алып

оны уақытқа байланысты Шредингер теңдеуімен салыстырайық:

Бірақ мұндай нақты шешулер Шредингер теңдеуін қанағаттандыра алмайды. Себебі

Шредингер теңдеуінің ерекшелігі – бұл тендеуге уақытқа бірінші ретті, коор-динаталарға екінші ретті тəуелді туындылардың шешуі параметрдің кез келген мəнінде емес, меншікті мəндер деп аталатын енуінде. Екінші жағынан, біз іздестіріп отырған толқындық теңдеу де-Бройль толқындарының w - жиілікке бірінші дəрежеде тəуелді дисперсия заңдылығына сəйкес келеді:

Бұл фактінің Шредингер теңдеуін түсінуде маңызы зор. Ол Шредингер теңдеуінің дербес жағдайда бұл теңдеудің физикалық ортада таралатын нақты толқындарды сипаттай алмайтындығын көрсетеді. Ал, кейбір əдебиеттерде материяның тұрғын немесе қозғалыстағы толқындары, олардың түйіні немесе жалы туралы айтылса, олар тек кванттық процестің көрнекі болуы үшін ғана пайдаланылғаны. Қазіргі уақытта қабылданған кванттық механиканың статистикалық интерпретациясы бойынша Шредингер тендеулерінің шешулерінің мағынасының мүлдем басқа болатындығы 2-ші тараудан белгілі. (5.11)-ші теңдеуді мынадай түрде де жазуға болады:

(5.12)-ші теңдеу уақыт бойынша бірінші дəрежелі теңдеу болғанмен де, жорамал санның болуына байланысты бұл теңдеудің периодтық шешулері болады. Сондықтан Шредингер теңдеуін көптеген жағдайда толқындық теңдеу деп те атайды, ал оның шешулері – уақытқа тəуелді функциялар – толқындық функциялар деп аталады. Егер

^ˆ -гамильтон операторының түрі берілген болса, (5.12)-ші теңдеуден алғашқы уақыт

H

моменттерінде белгілі Y(r , t) толқындық функцияның кейінгі уақыт моменттеріндегі

барлық мəндерін де анықтауға болады. Сондықтан Шредингер толқындық теңдеуі кванттық механикада себеп- салдар принципін сипаттайды.

Энергиясы нақты мəндерге ие болатын күйлер жүйенің стационар күйлері деп

аталады. Стационар күйлер ^ˆ - гамильтон операторының меншікті функциялары

H

больш табылады, Y(r , t) толқындық функцияларымен сипатталады, яғни бұл

функциялар (5.12)-ші теңдеуді канағаттандырады. Энергияның мүмкін мəндерінің ең кішісіне тең болатын стационар күй жүйенің қалыпты немесе негізгі күйі деп аталады.