Задачі для самостійного розв’язування

Завдання І

Для розв’язування задач цього завдання достатньо опрацювати §1, §7 та пункти 2 і 4 з §4. У всіх задачах числа n — натуральні.

Обов’язкові задачі

1. {a_n} — арифметична прогресія з різницею d, S_n — сума перших n її членів. Довести методом математичної індукції, що:

а) б)

2. {b_n} — геометрична прогресія зі знаменником q, S_n — сума перших n її членів. Довести методом математичної індукції, що:

а) б)

Довести методом математичної індукції рівності:

3. .

4.

5.

6. (n + 1)(n + 2) ×…× (n + n) = 2ⁿ × 1 × 3 × …× (2n – 1).

Вивести формули для таких сум:

7.

8.

Довести методом математичної індукції нерівності:

9.

10.

11. 2ⁿ > 2n + 1, n ³ 3.

Довести методом математичної індукції подільності:

12.

13.

14.

15. Обчислити: а) 8!; б) ; в) ; г) ; ґ)

16. Розв’язати рівняння з невідомим n: а) б)

Довести тотожності:

17.

18.

19. якщо n — парне.

20.

21. Розкласти за формулою бінома Ньютона:

а) (а + b)⁷; б) в)

22. Знайти член розкладу який містить Чи існує в даному розкладі член, який не містить х?

23. Знайти значення показника m у розкладі (1 + x)^m, якщо коефіцієнт п’ятого члена дорівнює коефіцієнту дев’ятого члена.

24. Використовуючи формулу бінома Ньютона, довести, що (3²ⁿ – 8n – 1) M 64.

Додаткові задачі

Довести тотожності:

1.
де х — дійсне число, n — натуральне.

2.

3.

4.

5. Довести нерівність:

6. Довести, що розклад на прості множники числа (n + 1)(n + 2)×…×(n + n), де n — натуральне, містить n двійок.

7.Довести, що число, запис якого складається з 3ⁿ одиниць, ділиться на 3ⁿ.

8.Довести, що число, запис якого має парну кількість цифр, перша і остання з яких — одиниці, а решта — нулі, ділиться на 11.

9.Довести методом математичної індукції, що n прямих площини, жодні дві з яких не паралельні, а жодні три не проходять через одну точку, ділять площину на частин.

10. Довести, що n кіл, які лежать в одній площині, ділять площину не більше, ніж на n² – n + 2 частини.

11. Довести, що при довільному цілому а i простому р число a^p – a ділиться на р; якщо числа a i р — взаємно прості, то a^{p – 1} – 1 ділиться на р (мала теорема Ферма). Користуючись цією теоремою, знайти остачу від ділення:

а) 15¹⁷¹ на 17; б) 43⁴³ – 17¹⁷ на 5.

12. Не розкриваючи дужок, визначити коефіцієнт при х⁶ у многочлені (1 + x)⁴ + (1 + x)⁵ + ... + (1 + x)¹⁰.

13. Знайти найбільший член розкладу

14. Сума біноміальних коефіцієнтів розкладу дорівнює 256. Визначити члени цього розкладу, які не містять а.

15. Знайти суму перших n членів послідовності 1, 11, 111, … .

16. Знайти суму 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + … + n ×(n + 1)(n + 2).

17. Знайти кількість членів розкладу (a + b +c + d)ⁿ.

18. Довести, що коли то

19. Довести, що для довільного цілого невід’ємного n вираз (x + 1)²ⁿ⁺¹ + xⁿ⁺² ділиться на вираз x² + x + 1.

Завдання 2

Обов’язкові задачі

І. Скільки існує чотирицифрових чисел, в записах яких усі цифри різні?

2. Скільки існує чотирицифрових чисел, в записах яких цифри можуть повторюватися?

3. Від класу, в якому є 36 учнів, потрібно вибрати делегацію у складі чотирьох учнів і одного вчителя. Скількома способами це можна здійснити, якщо у школі працює 20 вчителів?

4. Автомобільний номер складається із трьох букв і чотирьох цифр. Скільки різних номерів можна утворити, використовуючи 30 букв і 10 цифр?

5.У профспілковий комітет обрано 7 працівників. Із них потрібно обрати голову, його заступника та секретаря. Скількома способами це можна здійснити?

6.Є 6 видів конвертів і 5 видів поштових марок. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для відправлення листа?

7.На площині задано 10 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Скільки існує трикутників з вершинами у цих точках?

8.На вершину гори веде 6 стежин. Скількома способами турист може зійти на вершину гори та спуститися з неї? Як зміниться відповідь, якщо для спуску він не може вибирати стежину, якою піднімався?

9.Скільки усіх дільників має число 12¹²?

10. Скільки усіх дільників має число 21600?

11. Для виконання певної роботи необхідно залучити на менше двох столярів, не менше трьох мулярів і не менше двох різноробів. Скількома способами це можна зробити, якщо у бригаді є всього 6 мулярів, 4 столяри і 10 різноробів?

12. У купе є два дивани, на кожному а яких може сидіти по 5 пасажирів. Скількома способами можна розмістити 10 осіб у цьому купе, якщо троє з них воліють сидіти так, щоб дивитися у напрямку руху поїзда, троє — проти напрямку руху поїзда, а чотирьом пасажирам це байдуже?

1З. Скількома способами можна розмістити за партами 28 учнів класу, в якому є два ряди двомісних парт по 8 парт у кожному ряду?

14. У кіоску продають 12 видів листівок. Скількома способами можна закупити 7 різних листівок? Скількома способами можна вибрати 8 листівок? Скількома способами можна закупити 15 листівок?

Додаткові задачі

І. Скількома способами можна розмістити на шахівниці дві тури так, щоб вони не загрожували одна одній?

2. Є квадратна таблиця розміром 8 × 8. Скількома способами у клітинках цієї таблиці можна записати три літери а і дві літери b?

3. Скільки різних чотирицифрових чисел, які діляться на 4, можна записати за допомогою цифр 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри у записі числа можуть повторюватися?

4. План міста має вигляд прямокутника, розділеного вулицями на квадрати. Таких квадратів у напрямку північ-південь є m, а у напрямку схід-захід — n. Скільки різних найкоротших доріг зв’язують одну з вершин прямокутника з протилежною вершиною?

5. При повороті аркуша паперу в його площині на 180° записи цифр 0, 1, 8 не змінюються, записи цифр 6 і 9 переходять один в одного, а записи решти цифр втрачають зміст. Скільки, існує семицифрових чисел, записи яких не змінюються при повороті аркуша паперу на 180°? Чому дорівнює сума всіх таких чисел? Скільки серед них чисел, що діляться на 4?

6.Скільки пар різних підмножин можна утворити з множини М = {1; 2; 3; …; 10}, якщо в одну підмножину можна включати два, три або чотири різні елементи множини M ?

7.Номер автобусного квитка складається із шести цифр. Квиток вважається щасливим, якщо сума перших трьох цифр дорівнює сумі трьох решти. Довести, що сума номерів усіх щасливих квитків ділиться на 1001.

8.Скільки існує квадратів, вершини яких знаходяться у вузлах квадратної сітки розміром (9 квадратиків) × (10 квадратиків), а сторони паралельні сторонам сітки?

9.На колі, що обмежує круг, узято n точок і проведено усі можливі хорди, що сполучають попарно ці точки. Відомо, що жодні три з проведених хорд не перетинаються в одній точці. На скільки частин розбивається круг цими хордами?

10. Відстань від А до В дорівнює 999 км. Уздовж дороги стоять кілометрові стовпи, на яких відстані від А до В записано так:

Скільки серед цих стовпів таких, на яких тільки дві цифри різні?