Передача тепла теплопровідністю

Температурне поле і температурний градієнт

Передача теплоти теплопровідністю пов‘язана з наявністю різниці температур тіла. Сукупність значень температур в даний момент часу для всіх точок середовища, яке розглядається, називається температурним полем. В найзагальнішому випадку температура в даній точці t залежить від координат точки (х, у, z) і змінюється в часі τ, тобто температурне поле виражається функцією

, (1.6.)

тобто поле є нестаціонарним або невстановленим.

Якщо температура тіла не змінюється в часі, то таке температурне поле називається стаціонарним або встановленим і виражається функцією

; . (1.7.)

На відміну від температури, яка є скаляром, тепловий потік пов‘язаний з напрямком перенесення тепла, і являє собою векторну величину.

Якщо розрізати тіло площиною і з‘єднати всі точки з однаковою температурою, то одержимо поверхню однакових температур, яку називають ізотермічною. Оскільки в будь-якій точці тіла в певний момент часу можливе тільки одне значення температури, то ізотермічні поверхні не перетинаються, вони або замикаються на себе або закінчуються на границі тіла. Тому ізотермічна поверхня є геометричним місцем точок з однаковими температурами.

Нехай різниця температур між двома ізотермічними поверхнями Δt (рис. 1.1.).

Найкоротшою відстанню між цими поверхнями є віддаль по нормалі Δn. У разі наближення вказаних поверхонь відношення прямує до границі

t (1.8.)

Похідна температури по нормалі до ізотермічної поверхні називається температурним градієнтом. Цей градієнт є вектором, напрям якого вказує на підвищення температури. Значення температурного градієнта визначає найбільшу швидкість зміни температури в даній точці температурного поля.

Потік тепла може виникнути тільки тоді, коли температурний градієнт не дорівнює нулеві (grad t ≠ 0). Отже перенесення тепла відбувається в напрямку зниження температури і пропорційне до температурного градієнту з від‘ємним знаком. Кількість тепла, що передається через одиницю поверхні за одиницю часу становить

Закон Фур‘є

Основним законом передачі тепла теплопровідністю є закон Фур‘є, згідно з яким кількість тепла dQ, що передається за рахунок теплопровідності через елемент поверхні dF, перпендикулярний до теплового потоку, за час dτ прямо пропорційна до температурного градієнта , до поверхні dF і до часу dτ

(1.9.)

або густина теплового потоку

(1.10.)

Знак мінус перед правою частиною рівнянь (1.4) і (1.5) вказує на те, що тепло рухається в бік зменшення температури.

Коефіцієнт пропорційності λ називається коефіцієнтом теплопровідності. Розмірність коефіцієнта теплопровідності визначається з рівняння (1.4.)

Коефіцієнт теплопровідності показує, яка кількість тепла (в Дж) проходить внаслідок теплопровідності за одиницю часу через одиницю поверхні теплообміну у разі зменшення температури на один градус на одиницю довжини нормалі до ізотермічної поверхні. Коефіцієнт теплопровідності характеризує здатність тіл проводити тепло і тому є фізичним параметром, що залежить від природи речовини, його структури, температури та деяких інших чинників. Коефіцієнт теплопровідності газів (за нормальних умов) знаходиться в межах – 0,006-0,165 Вт/(м·град), крапельних рідин – 0,1-0,7 Вт/(м·град), теплоізоляційних матеріалів – 0,006 – 0,175 Вт/(м·град), чистої міді – 340 - 394 Вт/(м·град), сталі Ст.3 – 45-52 Вт/(м·град). Коефіцієнти теплопровідності речовин залежать від температури і тиску. Для газів вони підвищуються із зростанням температури і мало залежать від тиску, для рідин із підвищенням температури переважно зменшуються. Виключенням є вода, коефіцієнт теплопровідності якої дещо зростає із підвищенням температури до 130⁰С і за подальшого її зростання починає зменшуватися. Теплопровідність твердих тіл з підвищенням температури здебільшого зростає.